利用“转化”策略实践具身数学

文∣李悦

一、“离身”学习仍然存在

在一次课后练习中，学生遇到了这样一道题：“有64支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制进行(即每比赛一场淘汰1支球队)，一共要进行多少场比赛才能产生冠军？”这道题目出自苏教版《数学》五年级下册第七单元练习题，学生可以利用图形直观表征，将现实问题转化为数学问题；也可以转化解决问题的视角，将“进行多少场比赛产生冠军”转化成“去掉冠军球队，剩余几支队伍，就要比赛多少场”。借助于课堂学习经验，学生只需要运用这样的逆向思维就能解决这个问题，但是实际解答的正确率却只有73.56%，问题出在哪里？

通过对学生的错误进行分析，笔者发现主要存在以下三个问题。

(一)关键词理解不清

问题是要比赛多少场，这个“场”是指每两支球队比一场；而图1学生作品中的“场”，有点类似于我们生活中说的“轮”，64进32是一轮，32进16是一轮，它涵盖的是所有球队的比赛轮次，并不聚焦于具体某两支球队的比赛场次。学生将两个概念混淆了。

图1

(二)简便计算方法不对

图2学生作品不仅漏掉了冠亚军之争的“1”，且整个计算应用等比数列求和，学生用的却是等差数列求和公式，因此答案相差甚远。公式应用错误的本源是学生对于各数所代表的实际含义不理解。

图2

(三)解决问题思路不佳

查看两幅学生作品，虽然错因不同，但思考路径都是正向思考，从64支队伍两两比赛中层层递进，争夺冠军。回看本题的知识点，从学生的答题中我们不难发现，他们并没有将“进行多少场比赛产生冠军”转化成“去掉冠军球队，剩余几支队伍，就要比赛多少场”，虽然两种思路都可以解决问题，但转化之后的逆向思维更简单、快速。

通过以上问题，窥探错题本质，都是因为在课堂教学时，缺乏让学生经历知识的形成过程，忽略了让学生亲身体验“单场淘汰制”的含义，使学生的数学学习没有“具身性”，陷入“离身”状态。

二、“具身数学”课堂范式

(一)“具身数学”的内涵

“具身认知”理论认为，“在人的认知活动中，身体发挥着至关重要的作用，而在影响人身体的众多要素中，身体结构、身体经验、行为活动形式对人的认知发挥着重要作用”。基于此理论，结合学科教学实践，我们尝试建构“具身数学”课堂。“具”是指给学生提供具体、明确、熟悉的学习情境，“身”是指学生本人亲身经历、体验；“具身数学”的内涵是为学生创设熟悉的、可参与的学习情境，以学生自身为参与主体，基于亲身体验获得直接感受或积累直接经验，自主构建知识体系，从而提升其数学素养的一系列活动。

(二)“具身数学”的基本特征

1.实践性

“具身数学”基于学生的亲身体验，可实践性是它的第一属性。这里的实践性区别于一般的模仿操作，更多是指学生在理解数学问题的前提下，在合适的教学情境中亲身参与所获得的直接感受和积累的直接经验。当然，强调实践性并不意味着所有的学习素材都必须具有实践性，而是在学习之初以可实践性的素材展开学习活动。随着学习的深入，学生可以做到也应该做到在头脑中将学习任务实践化，以提升思维品质，逐渐提高学习能力。

2.主体性

“具身数学”的操作体验主体一定是学生本身，学生的学习以其主体参与为基准，后续在此基础上有所提升。这一切的前提都是学生自身参与的操作体验，因此主体性是“具身数学”所独有的特征。主体性强调学生获得的是直接经验，它有别于传统课堂的教师讲授、学生代表回答等间接经验获得。在直接经验的帮助下，学生易于构建知识模型，完善知识体系，形成具有个性特征的知识脉络。

3.开放性

开放性强调有三。一是学生具身体验环境的开放。如果环境不够开放，学生没有体验的空间。在活动中，教师可以突破座位、小组等限制，让学生在一定的空间内自由、有序地开展活动。二是学生具身体验问题的开放。如果问题不够开放，学生没有体验的必要。教师活动的问题设计不能琐碎，最好是一个主题式或板块化的大问题，学生能够在问题的引领下开展一系列的体验操作。三是教师具身体验课堂设计视角的开放。如果视角不够开放，既没有打破“离身”的桎梏，又达不到“具身”的要求，课堂将会陷入低效中，无法帮助学生完成知识的深度构建。

(三)“具身数学”课堂建构原则

1.趣味性原则

“具身数学”课堂以学生的亲身体验为学习经验获取的重要来源，而学生愿意甚至主动开展体验活动的前提条件就是活动充满趣味性。教师提供的活动情境要贴近学生生活，便于学生理解和开展。学生在亲身体验活动中能获得乐趣，后续又能脱离情境展开数学思考；这样，教师才能将课堂有趣、深入地推进下去。

2.融合性原则

在开展教学时，教师要秉持融合性原则，跳出固有的学科视角，尝试从学科融合的角度出发，以适合本课教学内容开展的素材为学生具身体验的起始点。在学生后续的学习中，我们的目标不仅是其数学知识的习得，更要关注其适应终身发展和社会发展所需的必备品格和关键能力。

3.发展性原则

具身数学的课堂不是割裂的，在同类知识或并列知识的教学中，其体验内容也应该具有发展性。学生借助之前的具身体验所获得的学习经验，可以作为后续体验的基础。课堂初始的体验可以为教学重难点的突破埋下伏笔，课堂结尾的悬念设置可以帮助学生将学习延续到课后。总之，以发展性为原则开展的“具身数学”课，能突破单一的课时结构，整合知识内容，便于学生形成知识脉络，构建知识体系。

三、“转化”策略实践具身教学

(一)化虚为实，“辩”中厘清思维脉络

为了让学生亲身感受前述例题中“一轮”“一场”的区别，在教学时我们要化虚为实。

课始，通过引入猜拳游戏，两人一组，一局定输赢，让学生亲身经历游戏过程，理解游戏规则。一轮游戏结束之后，让学生简单表述一下全班同学的游戏情况，这时学生可以用列举法，也可以用统计法，比如胜出的男生有几人，女生有几人……让学生将目光从经历游戏过程转向辨别游戏结果。接着可以继续下一轮游戏，结合之前学生分享的经验，总结新一轮的游戏情况。教师引导学生在第一轮关注获胜人数的基础上，尝试从输、赢两个方面表述比赛结果，比如获胜的有8人，淘汰的也有8人，这一轮比赛有8场。

接下来进行至关重要的一步：让学生不再继续进行游戏，但需要描述后续游戏进程。将学生的关注点从进行游戏转向为思考问题。有的学生提出，现在有8人，两人一组可以分成4组，也就是还要比赛4场，然后胜出2人，淘汰2人；最后2人只要再比赛1场，就能够决出冠亚军，我们不继续游戏也能利用数学知识推导出后续游戏进程。当然，还会有不一样的声音：我们只知道接下来的冠军是按照这样的方式产生的，但究竟谁才是冠军，我们是不知道的，只有把游戏进行下去，才能揭晓最终答案。

“具身数学”视角下的教学活动，借助亲身参与的游戏活动，让学生给数赋予生活含义，比如8可以表示8人获胜，8人被淘汰，进行了8场比赛。学生借此活动将数学问题与生活问题相关联。最后又回到游戏情境，思考数学问题成立的条件，完善思维路径。正是有了这样的实际体验做基础，学生学习才能“四两拨千斤”。

(二)化数为形，“变”中转化问题视角

实践表明，学生进行深度学习的基础是数学高阶思维的发展与提升。在数学教学中，教师要探寻学生的思维起点，深化学生的认知视角，激发学生的数学思维。数形结合是帮助学生思维发展的一大利器。在本节课的学习中，学生一开始无论是直接计算比赛场数，还是用总人数减1，视角都只停留在数的计算上，前者没有和转化策略结合起来，后者没有深度感受数学思想。而“具身数学”视角下的课堂探索，可以帮我们突破这个桎梏。

图3

回顾反思是“具身数学”课堂的重要组成部分。让学生重新回顾解决问题的路径。在解决这道题时，我们不仅可以像题目要求的那样正向思考，一步一步计算；还可以逆向思维，比如，32人去掉最终获胜的1人，剩下的就是淘汰的人数；而单场淘汰制表明要淘汰31人，也就是比赛31场。

在“具身数学”视角下，当学生将注意力聚焦到“观察这些数，你还想到了什么”这一问题时，学生之前的学习经验被唤醒，而将数学问题用几何直观地表征出来，转化问题视角，使“数”和“形”联动，让学生思维可视化，促进了学生超越“低阶认知”，形成高阶思维，发展深度学习。

(三)化隐为显，“辨”中明晰错误本质

在以往的教学中，我们只看到题目本身的知识点，容易忽视练习题与例题的联系，忽视练习题自身所“蕴藏”的数学思想方法，导致教学“只见树木不见森林”，学生“知其然而不知其所以然”。

在“转化”策略学习的最后，我们还需要和学生一起，从宏观视角出发，重新审视游戏条件。我们可以这样设问：“如果其他班级也像这样玩游戏，请问这个游戏对班级的人数有要求吗？他们又要比多少场呢？”这一问题将数学游戏延伸进真实生活，学生在前面游戏、学习经验的基础上，会产生只要是双数就可以进行比赛的一种数学直觉。这时我们可以随机举例，验证游戏条件。比如，游戏人数为32和34，通过验证发现人数为34时，游戏无法进行下去。

学生的认知冲突已经产生，错误也明晰，但错误背后的原因还未找到。这时我们需要帮助学生建立正确的数学模型，启发他们进行逆向思维：最终胜出1人，那么倒数第二轮就要有2人，倒数第三轮就要有4人……每一个数都要是前一个数的两倍。也就是说，参加比赛的总人数要符合这样的规律“1、2、4、8、16、32、64…”。

从生活中来，到生活中去，让学生带着抽象出来的数学模型，顺利迁移并应用到更大范围、更多情境的场景中去，这是学生完善自我构建的最后一步，也是“具身数学”顺利进行的最重要一环。让学生对“总人数要符合什么要求”这一问题分析，就是帮助学生自我构建的一个脚手架，在学生互相交流、质疑、补充时，其学习能力自然而然地获得了生长。

综上所述，“转化”策略能将“具身数学”落到实处，将数学问题与生活问题相融合，将数学计算与图形表征相结合，将隐性知识与显性知识相配合，给予学生思维空间；为学生提供思维支点，启发他们深入思考，触摸到数学知识的本质内核。该方法切实有利于深化学生的策略意识。