“教学”与“习题”：谈化归思想的应用

陈文庆

现如今社会定义人才的基本要求也包含对数学思想及知识的掌握能力。而且，随着我国社会经济的飞速进步，对人才的需求增多，这就使得掌握数学思想方法变得更加重要。小学阶段是学生能力培养的初期，教师教学中注重对学生化归思想与能力的培养，关注并启发学生举一反三，有助于丰富学生思考问题的思路，让学生能够提高对理论知识的理解和应用，进而促进学生数学综合能力的提升。

一、 将化归思想应用于“数学教学”中

素质教育下，小学数学教师为了能够提高与学生之间的默契，促进师生感情，常常会设计一些课堂活动。而教师应当怎样利用化归思想来保障课堂活动的质量，提高课堂教学效果，学生在学习中又要怎样才能够保证学习的质量，是需要思考和研究的重要问题。因此，针对小学数学人教版“代数”与“图形”两大模块的内容可知，化归思想不单在教学中有所应用，更是与小学阶段的数学教学全部融合。那么教师应当怎样将抽象的转化思想更好地与教学各个环节相融合，让学生能够真切地感受到化归思想的优势和作用价值？

(一)借助教材素材，深入挖掘化归思想

数学思想是支撑教材灵魂的关键，教材中包含很多理论概念、数学问题等，数学思想的存在就是为了将这些要素相互连接起来，从而促使小学数学教材构建出一个系统的、完整的知识体系。其中化归思想就是在对数学真理进行深入探究后累积到的，将它融进教材的基础知识中，是无法以形象具体的文字描述或公式法则表示出来的。教材中所体现的化归思想也并不似以往学者们所探究时的真实记录。尽管教材中除了化归思想还存在其他的数学思想方法，但教师还是要对化归思想进行深入的研究与分析，让理论知识等所包含的化归思想变得清晰明了。所以，教师进行备课的时候，首先要做的就是深入透彻地研究教材，将其编写结构以及各个单元的知识体系的作用整理出来，还要从单元知识中找到方法。在整理完教材中的化归思想后，教师则要开始设计教材内容，联系素材充分发挥其作用，紧紧抓住素材与化归思想之间的联系，进而促进教学效果的提升。

(二)运用化归思想教学，完善学生的认知结构

在素质教育教学的要求下，教师需要明白其目的就是促进学生学科素养的发展。而有效的途径就是通过提升学生数学能力，进而促进数学素养的发展。因此，为了能够锻炼学生的化归思想，教师应当结合学生的学情和认知能力，关注教学设计环节，积极激发学生的自主学习力，让学生集中注意力于课堂当中，并提升学生的认知能力，促使学生的数学能力得到提升，优化学生的化归思想。基于此，教师可组织学生进行自主探究活动，让学生在小组讨论中，了解其他人员的想法，以及求解过程。同时，教师也要注重反思教学，引导学生进行课堂反思，有助于巩固旧知，促进新知识的迁移与完善，如教师可选择利用旧知无法求解的数学问题，促使学生产生认知冲突，激发探求新知的动力，并在探究中结合其个性化的思维方式，完成新知的科学构建，从而满足数学问题求解的需要。

例如，“植树问题”是小学数学中高年级常用到的教学素材，在初次接触到此类型题的时候，很容易引发学生的认知冲突。

师：公园小路一侧需要植树，已知此小路全长是1000米，树与树之间的距离为5米，如果小路两端都栽种树的话，公园需要采购多少棵小树树苗？

生1：已知的是小路全长1000米，那么直接用1000除以树与树之间的距离就能够得到所需树苗棵数，即1000÷5=200(棵)。

生2：我的做法与上一位同学不同，题目中提到小路两端是栽种，所以在最后需要将两端的2棵树加上。即1000÷5=200(棵)，200+2=202(棵)。

师：现在我们有两个同学提出了不同的答案，针对他们的计算方法我们现在一同来研究下，到底谁的方法正确，我为大家准备了一个表格，如下表。

路长距离间隔数棵数10米5米15米5米20米5米

此题教学中，教师弱化了问题的复杂程度，引导学生借助观察就可以找到树的棵数与间隔数之间的关系，即间隔数+1=棵数。因为此题结论是学生通过探究总结而得，所以能够充分提高学生对此类问题的认知。

另外，在高年级的时候，学生还学习到了几何图形面积求解，像学习平行四边形的时候，教师就可以在学生借助教材素材数方格求解面积的时候，引导学生发现实际就是图形的底与高相乘。接着，教师提问“是不是任意一个平行四边形的面积求解都是底乘高呢？”，学生在教师的问题下产生思考。教师继续提问“我们是不是可以将平行四边形转化成以往熟悉的图形，能够转化成哪个图形呢？”。在学生提出将其转化成长方形后，深入启发学生说出两个图形之间存在的联系，进而归纳出求解平行四边形的面积公式。这种通过课堂操作的形式有助于激发学生的发散性思维，促使学生的化归思想能力提升，强化学生抽象思维。

二、 将化归思想应用于“问题求解”中

化归思想在数学学科中既属于数学思想的一部分，同时也是求解数学问题的方式之一。利用化归思想可促进学生思维进步，让学生的数学综合能力得以提升，而这在一定程度上也代表着学生的求解问题的能力。尤其是小学中高年级时所需求解的数学问题较低年级要更为丰富，有些问题题型比较新颖，其中所包含的知识面也很广，学生在掌握基础知识的同时也要具备一定的求解能力。为此，教师可从学生能够自主解答的问题入手，并将无法攻克的问题做转化处理。通过将难题转化促使学生的思维发散，并将这些问题化归成自己能力范围内能够解决的问题，进而得到所求答案。另外，教师在此过程中需要引导学生找出化归思想方法，鼓励学生通过化归方法完成问题的独立解答。而且，教师在总结的时候也要明确该方法的使用思路以及作用，从而让学生能够在后续的练习或考试中运用。

(一)适时启发

数学问题求解的路径就是对问题化归的一个过程。如果学生在求解数学问题的时候，正向思维无法找到求解问题的最佳方式或突破口，教师就可以适当地给学生一些启发，指导其使用化归方法，促使学生突破思维定势，从正向转为逆向，进而在新的思考方向中发现求解问题的方法。

例如，如图所示，这是一个直角梯形，现要将此图形涂上清新的蓝色，已知涂阴影部分的时候涂色的涂料一共用了2kg，依照此方式求解，将此图形全部涂完一共用多少涂料？

分析：依照正常的求解思路，需要借助单位量、面积等进行求解。第一步就是要求解出直角梯形的面积，但根据已知条件，由于高未知，所以无法计算出面积。这时候，教师可适当启发学生：先可将阴影面积与直角梯形面积的比求解出来，然后再依据已知条件进而计算出总量。虽然上述例题较容易求解，但是一定会有学生因找不到突破口而放弃求解，而教师的适时启发能够促进学生产生求解动力。

再如，在学习几何部分的知识时，针对内角和的求解问题是小学数学较为常见的问题。为此，在学习了三角形内角和后，教师提出要求学生求解出下面两个图形的内角和。

分析：求解该问题的关键在于思考与此问题有关的数学理论知识有哪些。为此，教师需引导和启发学生思考。学生在教师所绘制的辅助线的启发下想到了三角形内角和，而对应的数学思想就是化归思想。由此推断出此问题本质就是要借助三角形的内角和进行变式求解。在教师启发和引导的过程中，学生最先思考的便是多边形内角和与谁存在联系。由于小学时期的学生数学知识有限，学习到的有关于内角和方面的知识也仅有三角形内角和，在教师辅助线的帮助下让学生对这一猜想得到验证。那么接下来要做的就是将多边形内角和求解问题转化成三角形内角和这一已知问题来解答。这种从未知问题直接转化成已知问题的思想方法就是化归思想。所以，此问题中的两个图形中，第一个图形被辅助线分割成了两个三角形，那么它的内角和就是两个三角形内角和之和，即180°+180°=360°。而第二个图形被辅助线分割成了四个三角形，那么其内角和就应该是四个三角形内角和之和，即180°×4=720°。

(二)合理练习

化归思想属于一种数学思维意识，学生形成此意识要经过系统的、长期的训练，并在不断地练习和方法总结中获得感悟。在课堂中，教师通过教学向学生渗透化归思想，学生此时对该思想有了初期的感悟，但要想让学生充分掌握这一能力，就需要结合对应的练习，通过反复的练习实现对化归思想能力的内化。所以，教师在为学生挑选练习题的时候，就可以着重选择能够凸显出化归思想的针对性练习题，并尽可能地让班级中各个层次的学生都能够建立化归思想意识，加强对该思想的应用与理解。

分析：此运算题中包含了分数与小数，如果学生在求解的时候是依照顺序依次计算的话，那么就会让整个运算过程变得十分麻烦。这样不但会使得求解此题目花费过多的时间，甚至还有可能导致运算的正确率降低。为此，教师就要引导学生先从整体角度对此问题进行观察，然后对比前后两个部分分析。学生在将前半部分的小数换算成分数后发现，恰恰与后面的括号内分数一样。所以，根据化归思想需要将此算式中的小数全部转化为分数，然后再进行运算求解。通过乘法结合律可以将小数算式部分看作整体，两部分在数值上一模一样，那么就让整个运算过程变得简单，最终求解运算结果是1。

=1

再如，小明十分喜欢吃包子，周末小明妈妈准备给小明蒸包子。小明开心极了，并想要让妈妈教他如何包包子。在小明学会后，小明同爸爸妈妈一起进行了一场包包子大赛。最终小明所包包子的数量比爸爸包的数量少2个，爸爸包包子的数量则超过了妈妈包的数量，小明仔细数过后超过了5个。最终，小明和爸爸妈妈一共包了158个包子，求：小明的妈妈包了多少个包子？

分析：上述问题是基于生活情境的数学应用型问题，问题中包含的数学关系较为复杂。针对学生来说，首先需要思考的便是将已知条件中的各个数值之间的数量关系厘清，从而达成统一的认识。为此，教师鼓励学生针对此题求解绘制线段图，由于问题所求的是妈妈包了多少包子。所以，在画图的时候就可以用妈妈作为标准，这样就能够结合已知条件给出的数值，将彼此的数量关系厘清，问题最后也能够得到准确的解答。

解：小明妈妈所包包子的数量：(158-5-3)÷3=50(个)。

三、 结语

综上可知，在小学数学教学中，教师需明确数学思想方法对学生数学能力和素养发展的重要作用，由于化归思想属于小学阶段所需掌握的基础数学思想方法，所以教师要格外重视。上文在结合中高年级学生课堂学习中利用化归思想学习和练习，从而提高对相关理论知识的理解与认识，促进学生能够在独立求解中应用化归思想顺利解答问题，此过程有助于锻炼学生发散性思维能力，促使学生在数学学习中发现数学理论知识的本质与规律，这对学生核心素养的培养具有重要作用。