基于含参三次函数问题的探究与拓展

江苏 刘祥云

一、探究解答过程，似懂非懂

(1)证明：函数f(x)有三个零点;

(2)当x∈[m,+∞)时，对任意的实数a，f(x2)总是函数f(x)的最小值，求整数m的最小值.

解：(1)证明过程略；

(2)由条件得f′(x)=x2-ax-2，

令f′(x)=x2-ax-2=0,

由根与系数的关系得,x1+x2=a,

x1x2=-2(x1<0

此题是2021年的泰州高三数学期末调研卷的第21题，重点考查三次函数的图象、最值、极值问题.笔者所在学校是当地的第二所四星级高中，没有较优秀学生，生源中等偏上，本题的平均得分为1.17分(满分12分)，且得分仅在第(1)问，第(2)问几乎全军覆没.通过研究学生的解答过程发现，本题的难点在于含参三次函数的因式分解，对于分解过程学生也是似懂非懂，云里雾里，无法真正理解问题的本质.

二、探究解的本质，追根溯源

回归本题的解题路径：

先由图象得到方程，再去解含参的三次方程.该解法计算量大，且两次因式分解都要通过试根，再根据十字相乘法分解，难度较大.通过上面的解法发现分解的因式中x2为二重根，能否先将函数设出来再让系数相等，从而简化计算量呢？要想设出三次函数就要类比二次函数的三种形式：

二次函数(a>0)三次函数 (a>0)一般式f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax3+bx2+cx+d一般式交点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)交点式

续表

通过类比二次函数的顶点式，将对应的三次函数形式称为极值点式，根据上图将函数设为

因为x2的系数相同，

下面过程相同.

三、探究一类问题，形成结论

通过搜索高考试题发现在2016年就已出现类似的问题，下面笔者再次利用三次函数的极值点式进行求解：

【题目2】(2016·浙江卷文·12)设函数f(x)=x3+3x2+1，已知a≠0，且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R，则实数a=，b=.

解：令函数g(x)=f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2，

则方程g(x)=0有三个根x=a(二重根)，x=b，

所以由根与系数之间的关系知2a+b=-3，

又因为x=a是函数f(x)的极值点，

所以有f′(x)=3x2+6x=0，

解得a=-2，b=1.

【题目3】(2016·天津卷理·20(2))设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R，若f(x)存在极值点x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3.

解：设函数f(x)=(x-x0)2(x-x1)+t，

即方程(x-1)3-ax-b-t=0有三个根x=x0(二重根)，x=x1，

由根与系数之间的关系有x1+2x0=3.

下面我们将该问题一般化：

证明：先证明充分性：已知f(n)=t，

则设函数f(x)=a(x-m)2(x-n)+t=ax3+bx+cx+d，

则方程ax3+bx2+cx+d-t=0有三个根x=m(二重根)，x=n，

设f(x)=t时，

方程的解为x=m(二重根)，x=x0，

所以x0=n，即有f(n)=t.

四、探究新的情境，提升素养

CF=|xC-x1|

即有F,H为线段CD的四等分点.

特别地，若图中的矩形为正方形时，

有BC=2EG.

此时EG=|x1-x2|，

BC=|f(x1)-f(x2)|,

由根与系数关系代入得，b2+9a=3ac.

结论2：不单调的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)过两个极值点分别作切线与三次函数图象有两个交点，以这两个交点连接线段为对角线构成矩形，则两个极值点分别是这个矩形边上的四等分点.特别地，当三次函数系数满足b2+9a=3ac时，此时矩形为正方形.

情境2：如图，已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)与直线y=k相交于三个不同的交点，且三点的横坐标分别为x1,x2,x3，若这三个横坐标分别为等差数列、等比数列时，会有什么结论？

解：方程f(x)=k,即ax3+bx2+cx+d-k=0有三个不同的根x1,x2,x3,

若x1,x2,x3为等差数列，

同时有x1+x3=2x2，

代入函数得，2b3-9abc+27a2d=27a2k，

若x1,x2,x3为等比数列，

代入函数得b3d-ac3=b3k.

结论3：不单调的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)与直线y=k相交于三个不同的交点，且三点的横坐标分别为x1,x2,x3，若这三个横坐标成等差数列，则有2b3-9abc+27a2d=27a2k，若这三个横坐标成等比数列，则有b3d-ac3=b3k.