精准施策 破解与高等数学知识接轨的考题

福建 汤小梅 郑金木

高等数学知识中的狄利克雷函数、黎曼函数、泰勒公式、欧拉线、高斯函数、托勒密定理、洛必达法则、不动点原理、特征函数、卡西尼卵形线等知识与高中数学知识接轨，在高考、各省市质检题中常以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养．因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利于培养学生的探究、创新精神，拓宽思维视野，提升核心素养．现聚焦2022年各省市的质检题，欣赏与高等数学知识接轨的考题，旨在揭示此类考题的特点与解题策略，以期能为读者提供帮助．

考向1 以“狄利克雷函数”为背景的函数题

A．f(x)的定义域为{0,1}

B．f(x)的值域为[0,1]

C．∃x∈R，f(f(x))=0

D．任意一个非零有理数T，使得f(x+T)=f(x)在x∈R上恒成立

【点拨】利用狄利克雷函数的解析式，即可得其定义域与值域，从而可判断选项A,B的正确性；分别讨论x∈Q和x∈RQ，即可判断选项C的正确性；利用周期函数的定义，即可判断选项D的正确性．

当x∈Q时，f(f(x))=f(1)=1；当x∈RQ时，f(f(x))=f(0)=1，所以C错误；

对于任意一个非零有理数T，若x∈Q，则f(x)=1,且(x+T)∈Q，所以f(x+T)=1，所以f(x)=f(x+T)；若x∈RQ，则f(x)=0,且(x+T)∈RQ，则f(x+T)=0，所以f(x)=f(x+T).

综上，任意一个非零有理数T，使得f(x+T)=f(x)在R上恒成立，故选D．

【策略点津】本题以“狄利克雷函数”为背景创设的函数的定义域、值域、周期性、含有量词的命题的真假判断等问题．破解本题的关键需“四会”：一会翻译，即狄利克雷函数翻译为分段函数，集合RQ翻译为无理数集；二会用定义，即会利用函数的周期性的定义判断函数的周期性；三会分段赋值，需注意从内向外层层求函数值；四会判断，即会判断含有量词命题的真假：某条件下的所有x都满足条件p，就可判定含有全称量词命题为真命题，否则为假命题．某条件下存在一个x满足条件p，就可判定含有存在量词的命题为真命题，否则为假命题．

考向2 以“黎曼函数”为背景的函数问题

【典例2】(2022·山东省潍坊市期中)波恩哈德·黎曼(1866.07.20-1926.09.17)是德国著名的数学家．他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础．他提出了著名的黎曼函数，该函数f(x)的定义域为[0,1]，其解析式为：

下列关于黎曼函数的说法正确是( )

A．f(x)无最小值

C．f(x)=f(1-x)

D．f(ab)≥f(a)f(b)

【点拨】对黎曼函数的自变量进行分类，从而可求出其最值与判断f(x)=f(1-x)的正确性；要判断f(ab)≥f(a)f(b)的正确性，只需对a与b分类讨论，求出f(a)，f(b)的值，即可得出结论．

对于C，①当x=0或x=1时，有f(0)=f(1)=0成立，满足f(x)=f(1-x)，

②当x为(0,1)内的无理数时，1-x也为(0,1)内的无理数，所以f(x)=f(1-x)=0，满足f(x)=f(1-x)，

对于D，①若a与b中至少一个为0或1或(0,1)中的无理数时，则f(a)f(b)=0，而f(ab)≥0恒成立，满足f(ab)≥

f(a)f(b)，

【策略点津】本题以“黎曼函数”为背景创设的函数的性质的考题，考查了直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养．破解本题的关键是过好双关：一是分类关，即会对自变量进行分类，从而得到函数的最值与函数值；二是转化关，即会把所需判断的等式与不等式转化为求函数值，再判断等式与不等式是否成立，并渗透函数单调性在解题中的应用．

考向3 以“泰勒公式”为背景的不等式问题

A．5 B．6 C．7 D．8

【策略点津】本题以高等数学的“泰勒公式”为背景考查阶乘的运算、估算思想、公式的应用，意在考查数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养．求解此类题的突破口是理解泰勒公式中的各个元素的意义，读懂题意，提炼出含参数的不等式，经过解不等式及估计思想，即可获解．

考向4 以“欧拉线”为背景的直线方程问题

【典例4】(2022·江苏省淮安市期末调研)莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(-1,0),B(3,0),C(0,2)，则△ABC的垂心坐标为，△ABC的欧拉线方程为．

【点拨】由AB边上的高所在的直线方程与BC边上的高所在的直线方程联立可得△ABC的垂心，再求出△ABC的重心，根据欧拉线的定义，由垂心与重心可得△ABC的欧拉线方程．

【解析】由A(-1,0),B(3,0),C(0,2)，可知AB边上的高所在的直线为x=0，

所以△ABC的欧拉线方程为5x+4y-6=0．

【策略点津】此类以“欧拉线”为背景的直线方程试题，意在考查逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养．破题关键：一是读懂题意，并会应用符号语言进行转化，如本题，明晰欧拉线的特征，三角形的“三心”(外心、重心、垂心)共线，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半；二是借形解题，在草稿纸上作出草图，利用图形的特征，可快速找到思维的突破口．

考向5 以“高斯函数”为背景的数列问题

【典例5】(2022·福州市高三期末质检)函数y=[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．已知数列{an}满足a3=3，且an=n(an+1-an)，若bn=[lgan]，则数列{bn}的前2 022项和为．

当1≤n≤9时，0≤lgan<1时，bn=[lgan]=0；当10≤n≤99时，1≤lgan<2时，bn=1；

当100≤n≤999时，2≤lgan<3时，bn=2；当1 000≤n≤2 022时，3≤lgan<4时，bn=3；

所以数列{bn}的前2 022项和T2022=[lga1]+[lga2]+…+[lga2022]=90×1+900×2+1 023×3=4 959．

【策略点津】本题是以“取整函数(也叫高斯函数)”为背景创设的数列试题，意在考查数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养．体现综合性与创新性．解题的关键是理解新定义的高斯函数的意义，通过取特值、列举等方法去理解新定义的高斯函数，并能利用累乘法和函数的单调性、分组求和法以及分类讨论的思想轻松获得结果．

考向6 以“托勒密定理”为背景的解三角形问题

【典例6】(2022·广东省深圳市高三一模)古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，且sin∠ABD:sin∠ADB:sin∠BCD=2∶3∶4，若|AC|2=λ|BC|·|CD|，则实数λ的最小值为．

【点拨】由圆内接四边形性质结合正弦定理可求出|AD|∶|AB|∶|BD|的比值，再利用托勒密定理，结合|AC|2=λ|BC|·|CD|，得λ所满足的不等式，解不等式，得λ的最小值．

【解析】如图，根据圆内接四边形的性质可知，∠BAD+∠BCD=π,sin∠BAD=sin∠BCD，

因为sin∠ABD∶sin∠ADB∶sin∠BCD=2∶3∶4，

所以sin∠ABD∶sin∠ADB∶sin∠BAD=2∶3∶4，

在△BAD中，根据正弦定理得，

故|AD|∶|AB|∶|BD|=2∶3∶4，

由托勒密定理，得|AC|·|BD|=|AB|·|CD|+|AD|·|BC|，

则4|AC|=3|CD|+2|BC|，

所以16|AC|2=9|CD|2+4|BC|2+12|CD|·|BC|，

故16|AC|2=9|CD|2+4|BC|2+12|CD|·|BC|≥24|CD|·|BC|(当且仅当|CD|=|BC|时取等号)，

又|AC|2=λ|BC|·|CD|，

所以16λ|BC|·|CD|≥24|CD|·|BC|，

【策略点津】以“托勒密定理”为背景考查正弦定理、基本不等式应用问题，考查了直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养．破解本题的思维瓶颈：一是会用定理，既会利用托勒密定理的图形语言与符号语言，又会利用正弦定理，把角的问题转化为边的问题；二是会用基本不等式，即会利用基本不等式求最值，注意“一正二定三相等”在解题中的应用．

考向7 以“洛必达法则”为背景的函数的极限问题

【解析】由洛必达法则，得

【策略点津】以“洛必达法则”为背景求函数的极限问题，考查了逻辑推理和数学运算核心素养．破解此类题的关键是利用洛必达法则，把函数比值的极限转化为导函数的比值的极限，从而将无法直接求解的极限转化为可以求解的极限，注意复合函数求导法则的应用．

考向8 以“不动点原理”为背景的函数问题

【典例8】(2022·吉林省长春市农安县期末)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L．E．J．Brouwer)，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，如果存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是( )

A．f(x)=sinx+x

B．f(x)=x2-x-3

【点拨】根据“不动点函数”的定义，将判断是否为“不动点函数”问题转化为判断方程f(x)=x是否有解问题．

【解析】对于选项A,令sinx+x=x，得sinx=0，解得x=kπ,k∈Z，故f(x)=sinx+x是“不动点函数”；

对于选项B,令x2-x-3=x，解得x=3或x=-1，所以f(x)=x2-x-3是“不动点函数”；

【策略点津】以“不动点原理”为背景的函数题，意在考查直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养．破解此类判断“不动点函数”问题的突破口是细审题，读懂新定义的“不动点函数”的含义，函数f(x)的“不动点”实质就是方程f(x)=x是否有解问题，也可以理解为函数f(x)的图象与直线y=x是否存在交点．若方程f(x)=x有解，则说明f(x)为“不动点函数”，否则，说明f(x)不为“不动点函数”．

考向9 以“特征函数”为背景的函数问题

【典例9】(2022·江西省期末调研)若定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意的实数x都成立，则称f(x)是一个“λ～特征函数”．下列结论正确的是( )

A．f(x)=0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”

B．f(x)=2x+1不是“λ～特征函数”

D．f(x)=ex是一个“λ～特征函数”

【解析】对于选项A，设f(x)=c是一个“λ～特征函数”，则(1+λ)c=0，当λ=-1时，c∈R，因此f(x)=0不是常数函数中唯一的“λ～特征函数”，故A不正确；

对于选项D，若f(x)=ex是一个“λ～特征函数”，则ex+λ+λex=0对任意实数x恒成立，即eλ+λ=0，令f(x)=ex,y=-x，如图，由函数的图象可知，两图象有一个交点，所以方程eλ+λ=0有解,故D正确,故选BCD．

【策略点津】本题以“特征函数”为背景考查函数的基本概念及其应用，以及函数的零点，意在考查直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养．破解此类特征函数问题的关键：一是读懂题意，即明晰“λ～特征函数”的含义；二是会转化，即把是否存在“λ～特征函数”进行转化，如f(x)=ex是一个“λ～特征函数”转化为存在常数λ(λ∈R)使得ex+λ+λex=0对任意实数x都成立，再转化为eλ+λ=0有解．三是利用定理，利用零点存在性定理，即可顺利破解是否存在零点问题．

考向10 以“卡西尼卵形线”为背景的解析几何问题

【典例10】(2022·江苏省淮安市期末调研)为纪念法国天文学家乔凡尼·多美尼科·卡西尼，数学史上，把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线(Cassini Oval)．在平面直角坐标系内，曲线C是到两个定点F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之积为5的点的轨迹．以下结论正确有( )

A．C关于x轴对称

B．C与y轴的交点为(0,±3)

D．C上存在点P，使得△PF1F2面积为3

【点拨】题眼“曲线C是到两个定点F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之积为5”，利用直译法，即可求曲线C的轨迹方程，用-y代入所求的方程中的y，若C的方程不变，则说明曲线E关于x轴对称，即可判断选项A的正确性；令曲线C的方程中的x=0，求其纵坐标，即可判断选项B的正确性；利用基本不等式可判断选项C的正确性；利用任意三角形面积公式，结合三角函数性质，可得△PF1F2面积的最大值，从而可判断选项D正确性．

令x=0，则4+y2=5，解得y=±1 ，C与y轴的交点为(0,±1)，B错误；

【策略点津】本题是以“卡西尼卵形线”为背景创设的曲线的方程、曲线的对称性、最值与存在性问题，意在考查直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养．破题关键：一是会求曲线的轨迹方程，熟悉求曲线的轨迹方程的五种方法，如本题，用到了直译法；二是能从“数”的角度进行判断，即利用方程的特征，判断曲线的对称性；三是会利用基本不等式，求线段长的和的最值；四是利用三角形的面积公式求出三角形的面积，并会利用三角函数的有界性，求最值问题．