导数恒成立中同构问题探究

安徽 胡守强

导数是整个高中数学教学的重点，也是学生学习的难点，更是高考考试的热点.研究近年高考试题可以发现，在导数问题中，关于同构类型的题目出现频率有着显著提高.结合平时教学发现大部分学生对导数问题缺乏自信.本文主要是研究导数恒成立中的同构问题，什么是同构，同构的常见类型等.

一、下面是一道经典放缩同构的函数题

【案例1】已知不等式xex≥ax+lnx+1恒成立，求a的取值范围.

所以可得a的取值范围为(-∞,1].

解题心得:本题是导数经典题型中恒成立问题，如果学生直接对f(x)进行求导，求其最小值，可能会非常麻烦，导致无法求解.通过应用ex≥x+1构造函数，进行放缩，避免了指、对数函数求导的烦琐，降低了解题难度.

二、关于同构问题常见类型如下

1.地位等同同构，主要是针对双变量

在解析几何中的应用：如果A(x1,y1),B(x2,y2)满足的方程为同构式，则A,B为方程所表示曲线上的两点.则该方程即为直线AB的方程.

对于含有同等地位的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构(函数同构),往往通过函数的单调性进行求解，这类同构也是比较基础的一类，学生也易于掌握.

2.指、对数同构，左、右同取对数或指数

(1)积型同构:aea≤blnb⟹

在积型同构中，通过两边同时取对数方式求解最为便捷，然后应用函数的基本性质.

(3)和差型同构：ea±a>b±lnb⟹

例如：eax+ax>ln(x+1)+x+1⟺eax+ax>eln(x+1)+ln(x+1)⟺f(x)=ax-ln(x+1).

因为lnx≥1,m>0,且当x≥e时，g′(x)=(x+1)ex>0,

得g(x)在[e,+∞)上单调递增，

令h(x)=xlnx,h′(x)=lnx+1>0,h(x)在[e,+∞)上单调递增,

所以h(x)的最小值为h(e)=e,所以m≤e,即m的最大值为e.

设计意图:让学生找出相同的同构函数，体会如何变成积型同构，理解积型同构的三种处理方法.

3.拼凑型同构，无中生有同构法

(1)aeax>lnx⟺axeax>xlnx⟺elnaxeax>xlnx⟹积型同构.

(2)ex>aln(ax-a)-a⟺ex-lna-lna>ln(x-1)-1⟹ex-lna+x-lna>ln(x-1)+x-1=eln(x-1)+ln(x-1)⟺x-lna>ln(x-1).

说明：因为ax和logax互为反函数，根据反函数的性质可以直接由ax>logax得到ax>x,对于某些隐藏比较深的不等式，通过观察左、右两边是否互为反函数，再利用反函数的性质，对左、右两边同时取对数，会有意想不到的效果.

【案例3】求函数f(x)=2x2e2x+lnx的零点个数.

解析：方法一(比形同构)：

令f(x)=2x2e2x+lnx=0,则

令m(x)=lnx+2x,因为m(x)在(0,+∞)上单调递增，

方法二(换元同构)：

令t=2x2e2x,则lnt=2x+ln2+2lnx,

令f(x)=lnx+t=0,

所以lnt=lnx-t+2x+ln2⟹lnt+t=ln2x+2x,

令g(x)=lnx+x,g(t)=g(2x).

因为g(x)在(0，+∞)上单调递增，则t=2x，

设计意图:让学生体会指、对数之间的转换，通过拼凑，构造相同格式的函数，加深学生对同构本质的理解，提升学生的数学核心素养,再通过换元利用单调性进行求解.

4.切线放缩，主要是局部放缩

(1)指数式ex的常见放缩

常见变形:①xex=ex+lnx≥x+lnx+1；

(2)对数式lnx的常见放缩

②lnx≤x-1⟹lnx≤ex-2；

说明：指、对数进行放缩变换在最近几年出现的试题或者高考题中的频率显著提升，特别是关于指、对数结合不等式中恒成立问题，通过局部放缩变换会有意想不到的效果.

三、典例赏析

【例1】(2021·八省(市)联考·8)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则( )

A.c

C.a

当x∈(0,1)时，f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0，

又a<5,b<4,c<3,

所以a,b,c∈(0,1),且f(a)>f(b)>f(c),

所以0

【例2】(2020·全国卷Ⅰ理·12)若2a+log2a=4b+2log4b,则( )

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

解析：由题设知2a+log2a=4b+2log4b=22b+log4b2.

又因为log4b2=log2b=log22b-1，

所以2a+log2a=22b+log22b-1,

从而2a+log2a<22b+log22b.

同构函数f(x)=2x+log2x,x∈(0,+∞)⟹f(a)

又因为f(x)在(0,+∞)上为增函数，所以a<2b,故选B.

【例3】已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1)

(2)方法一：由f(x)≥1,可得aex-1-lnx+lna≥1,

即ex-1+lna-lnx+lna≥1,即ex-1+lna+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx,

令g(t)=et+t,则g′(t)=et+1>0，所以g(t)在R上单调递增,

所以g(lna+x-1)≥g(lnx)⟺lna+x-1≥lnx,

即lna≥lnx-x+1,令h(x)=lnx-x+1,

当00,h(x)在(0，1)上单调递增;

当x>1时，h′(x)<0,h(x)在(1，+∞)上单调递减,

所以h(x)≤h(1)=0,因为lna≥0所以a≥1，故a的范围为 [1,+∞).

方法二：由f(x)≥1可得aex-1-lnx+lna≥1,x>0,a>0,

即aex-1-1≥lnx-lna,设g(x)=ex-x-1,g′(x)=ex-1>0恒成立,

所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0，

即ex>x+1，

所以h(x)≥h(1)=0⟹x-1-lnx≥0⟹x-1≥lnx，

所以ex-1≥x,则aex-1≥ax,此时只需要证ax≥x-lna，即证x(a-1)≥-lna，

当a≥1时，x(a-1)>0>-lna恒成立，

当0

综上所述,a的取值范围为[1,+∞).

设计意图：指对同构具有很强的技巧性，对学生的观察能力、变形能力要求较高，因此，在平时教学时，要让学生体会怎样变形、配凑系数常数.要鼓励学生不畏难，敢于动手，培养他们自主探究的能力，合作交流的团队精神，归纳反思的良好习惯.

四、回归梳理，提炼升华

虽然我们很多题都可以一题多解，但正所谓，同构出马，技压群雄，不仅可以秒杀压轴小题，也可以简化导数大题，同构思想放光芒，转化之后天地宽.

同构主要包括：

一个主题：指对跨阶，参数不易分离，参数出现2次或4次要同构.

两条途径：比形同构，换元同构.

三点注意：定义域，单调性，子函数的整体范围.

四种思想：化归与转化，数学抽象，逻辑推理，数学运算.