一道抛物线中定点定值试题的探究

内蒙古巴彦淖尔市第一中学(015000) 杨松松 王东伟

题目 (台州市2022 年4 月高三年级质检第21 题)已知抛物线Γ:y2=2px(p ＞0)的焦点为F,且过F的弦长的最小值为4.

(I)求p的值;

(II)经过点P且不过原点的直线l与抛物线Γ 相交于S,T两点,且直线FS,FT的斜率分别为k1,k2. 问: 是否存在定点P,使得k1·k2为定值? 若存在,请求出点P的坐标.

题目第(I) 问p= 2; 第(II) 问, 存在定点P(-1,2) 或(-1,-2),使得k1·k2=1 为定值.

笔者思考,题目第(II)问中,对于任意抛物线是否也有类似的结论. 经探究得到: