基于数学核心素养的高考试题评析——以2021 年新高考I、II 卷及全国乙卷(理科)为例

华中师范大学数学与统计学学院(430079) 谭雪莹 胡典顺

一、引言

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》(以下简称“《课标2020》”)指出数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现,是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的[1]. 高中数学核心素养被凝练为数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个要素,这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融,是一个有机的整体[1].

随着高考改革的实施与课程改革的不断推进,数学核心素养已经成为数学教育研究的热点[2]. 基于数学核心素养的高考试题评析,突出了素养导向的高考改革,是当前实施核心素养教育的必然要求. 本文根据《课标2020》的理念,设计了基于数学核心素养的试题分析框架,根据框架对2021 年教育部命制的新高考I 卷、新高考II 卷以及全国乙卷(理科)(以下简称“全国乙卷”)共三套试题进行具体的内容分析,通过定量研究进行数据分析比较, 最后对分析结果进行总结,从中得到教学启示.

二、基于数学核心素养的试题评析

(一)2021 年高考数学试题分析框架的建立

数学学科核心素养通常是在综合化、复杂化的情境中,通过个体与情境的有效互动生成的,可见素养的形成与情境有密不可分的关系[3]. 素养导向的高考命题注重情境化试题的考查[4]. 本文对于试题情境的分析采用PISA2012 划分的4 个类别,分别是个人情境、社会情境、职业情境和科学情境,对于没有设置情境的试题,则把它归类为无情境.

数学考试中在考查数学核心素养时要求有一定的数学知识基础[5]. 高中数学课程内容包括预备知识、函数、几何与代数、概率与统计以及数学建模活动与数学探究活动. 由于数学建模活动与数学探究活动是一种综合的实际活动,在高考中不对其进行单独考查,因此为了方便统计,将从预备知识、函数、几何与代数、概率与统计这四个内容主题出发,对2021 年三套高考数学试题进行分析.

2016 年教育部考试中心构建的高考评价体系明确了“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”的考查目标. 其中必备知识指的是学生长期学习的知识储备中的基础性、通用性知识,关键能力指的是学生学习与运用知识解决问题需要的能力,而数学学科的关键能力包括了逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力[6]. 由于必备知识和关键能力是新高考提出的两个考查目标,因此分析试题所含的必备知识和关键能力是必要的.

数学核心素养是数学课程目标的集中体现,是在数学学习的过程中形成的,内隐性和不易传递性决定了这是一个长期的、渐进的过程[7]. 试题要突出核心素养导向,以真实情境为载体,全面覆盖基础知识凸显内容主题,注重必备知识和关键能力的考查,将考试内容与素质教育有机结合,方能落实立德树人的根本任务,体现数学学科的育人价值.

根据上述分析以及已有的数学核心素养评价框架的研究[8-10],基于数学核心素养的试题评析将从试题情境、内容主题、必备知识和关键能力4 个角度出发,对2021 年三套高考数学试题进行分析评价,因此建立了如表1 所示的试题分析框架.

表1 试题分析框架

(二)2021 年高考数学试题分析

1. 编码与赋值

(1)编码

在“试题情境”中,a=无情境,b=个人情境,c=社会情境,d=职业情境,e=科学情境. 在“内容主题”中,Z=预备知识,H=函数,S=几何与代数,G=概率与统计. 在“关键能力”中,L=逻辑思维能力,Y=运算求解能力,K=空间想象能力,J=数学建模能力,X=创新能力. 在“核心素养及水平”中,A、B、C、D、E、F 分别代表数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析;序号1、2、3 分别表示《课标2020》对核心素养划分的三个水平,如“B1、E2”,表明本题考查了逻辑推理素养水平一,数学运算素养水平二.

(2)赋值

在“关键能力”中,该题涉及到了几个关键能力就赋值几分,例如该题的关键能力为“Y”,则关键能力赋值1 分;该题的关键能力为“L、Y”, 则关键能力赋值2 分, 以此类推. 在“核心素养及水平”中,根据核心素养的水平等级进行赋值,即水平一赋值1 分、水平二赋值2 分、水平三赋值3 分;对于考查了多个核心素养的试题,则将该题的所有素养水平分值进行累加,例如该题的核心素养及水平为“E1”,则核心素养及水平的分值为1 分, 该题的核心素养及水平为“A1、D2、E1”,则核心素养及水平的分值为4 分,以此类推.

2. 试题分析细目表

根据表1 的试题分析框架,从试题情境和内容主题出发,以解决问题所需的必备知识和关键能力为线索,提炼出内隐于每一道试题的核心素养及其水平. 由于全国乙卷最后两题为选考题,为了与两套新高考卷的题数一致,本文只将全国乙卷两道选考题的第一题(第22 题)纳入分析样本中,得到一个试题分析细目表,见表2.

表2 试题分析细目表

12 a H 数列的通项公式L Y X A2 B3 E2 13 a S 双曲线的离心率、双曲线的渐近线L Y B1 E1 14 a H 函数的性质、导函数L B2 15 a S 平面向量数量积运算L Y B2 E1 16 a H S 导数的几何意义、直线方程、两点间距离公式L Y X A2 B3 E2新高考II 卷17 a H 等差数列的性质、数列的通项公式、等差数列的前n 项和L Y B3 E2 18 a S 解三角形、三角形的面积、同角三角函数的基本关系L Y A2 B2 E2 19 a S 面面垂直的判定、二面角的平面角、空间向量L K Y A2 B2 D2 E2 20 a S 椭圆的方程、直线与圆的位置关系、弦长公式L Y A2 B3 D2 E3 21 e G H 离散型随机变量的分布列、数学期望、函数的零点、利用导数研究函数的单调性L Y J X A3 B3 C2 E3 F2 22 a H 利用导数研究函数的单调性、函数的零点、构造函数L Y X A3 B3 E3 1 a S 复数的运算、共轭复数的概念Y E1 2 a Z 集合的交运算L Y B1 E1 3 a Z H 正弦函数与指数函数的图象和性质、命题真假的判断L B1 4 a H 函数的奇偶性L Y B2 E1 5 a S 线面垂直的判定、异面直线所成角L K Y B2 D2 E2 6 c G 分步乘法计数原理、排列组合L Y B2 E1 7 a H 三角函数图象的变换L Y B2 E1 8 a G 几何概型L Y J A1 B2 D1 E1 9 c S 解三角形L J A2 B2 C1 D2 10 a H 利用导数研究函数的单调性、不等式L Y A2 B3 E2 11 a S 椭圆的几何性质、最值问题L Y X A3 B3 E2 12 a H 函数的单调性、构造函数比较大小L Y X A3 B3 E2全国乙卷13 a S 双曲线的几何性质L Y A1 E2 14 a S 平面向量的坐标表示、平面向量的数量积L Y B1 E1 15 a S 三角形的面积公式、余弦定理L Y B2 E1 16 a S 空间几何体的三视图L K A2 D2 17 c G 平均数、方差L Y J C1 E2 F1 18 a S 空间直角坐标系、二面角的求解L K Y A2 D2 E2 19 a H 等差数列的通项公式、数列的通项与前n 项和L Y A2 B2 E2 20 a H 函数的极值、利用导数证明不等式L Y A3 B3 E2 21 a S 抛物线、曲线的切线方程、弦长公式、点到直线的距离、直线与抛物线的位置关系L Y J A3 B3 C2 E3 22 a S 圆的参数方程、圆的切线方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化L Y A2 E2

3. 三套试题的比较

(1)试题情境

对2021 年的三套高考数学试题所涉及的试题情境数量分别进行统计,汇总如表3.

利用统计分析软件SPSS26.0 对三套试题的试题情境数量进行卡方检验,数据结果如图1 所示. 由于最小期望计数T= 0.33＜1,故参看费希尔精确检验结果. 费希尔精确检验值为5.878,P= 0.437＞0.05,认为三套试题对情境的设置整体上无显著性差异. 根据表3 可知,三套试题的大多数试题是无情境的;新高考I 卷共有2 道题设置了试题情境,分别是个人情境和社会情境;新高考II 卷共有3 道试题设置了情境,其中1 道试题设置了社会情境,2 道试题设置了科学情境;全国乙卷共有3 道题设置了试题情境,且全部属于社会情境;对于职业情境,三套试题均没有涉及此情境类型.

表3 试题情境数量统计表

图1

(2)内容主题与必备知识

对2021 年三套高考数学试题的内容主题考查频次分别进行统计,见表4.

表4 内容主题考查频次统计表

利用统计分析软件SPSS26.0 对三套试题的内容主题进行卡方检验,数据结果如图2 所示. 由于有50%的期望计数小于5,故参看费希尔精确检验结果. 费希尔精确检验值为1.079,P= 0.999＞0.05,认为三套试题对内容主题的考查无显著性差异. 从表4 可以看出,三套试卷都涵盖了高中数学课程内容所要求的四大主题: 预备知识、函数、几何与代数、概率与统计. 其中,几何与代数考查的频次最多,其次是函数,对于预备知识以及概率与统计这两部分考查的力度较小. 结合表2 中每道题考查的必备知识可知,新高考的两套试卷重点考查了复数、集合、三角函数的图象与性质、解三角形、函数的单调性、函数的奇偶性、数列的通项公式、平面向量的数量积、圆锥曲线、立体几何、离散型随机变量等数学概念,而全国乙卷还有对空间的三视图、几何概型这些知识点进行考查,由于新高考卷是基于《课标2020》的要求进行试题命制的,因此新高考卷在对必备知识的考查上与全国乙卷相比有所差异.

图2

(3)关键能力

根据前文给出的赋值规则,对三套试卷每道题所涉及的关键能力进行赋值,赋值结果见表5.

表5 关键能力赋值表

新高考I 卷新高考II 卷全国乙卷题号分值题号分值题号分值10 2 10 3 10 2 11 3 11 2 11 3 12 4 12 3 12 3 13 2 13 2 13 2 14 3 14 1 14 2 15 2 15 2 15 2 16 4 16 3 16 2 17 2 17 2 17 3 18 3 18 2 18 3 19 2 19 3 19 2 20 3 20 2 20 2 21 3 21 4 21 3 22 3 22 3 22 2

对三套试题的关键能力做差异性检验, 将分值进行方差分析,从SPSS26.0 的数据结果(图3)来看,题号的F 值为2.385,P= 0.008＜0.05,因此每套试卷的不同题目对关键能力的考查是有显著性差异的. 对于新高考I 卷和新高考II卷,题型上与以往的全国卷有所不同,选择题分成了单选题和多选题,解答题去掉了选考题. 根据表5 中的分值可以看出,两套新高考卷的少数单选题仅考查了一个关键能力,而大部分单选题综合考查了多个关键能力;对于多选题,仅有1 道考查了单个关键能力,中等或较难的多选题则是将多个关键能力相结合进行考查. 对于填空题和解答题,三套试题都侧重对多个关键能力的考查,有些题目涉及到的关键能力个数还达到了3 个及以上. 例如,新高考I 卷的第16 题是对数列实际应用的考查,通过构建数列模型,归纳出数列的通项公式并利用错位相减法求出数列前n项和,综合考查了逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力和创新能力;新高考II 卷的第21 题是概率与统计和函数知识的综合问题,需要学生有较强的逻辑思维能力、运算求解能力和数学建模能力,还要求具备一定的创新能力;全国乙卷的第20 题和第21题对于逻辑思维能力和数学运算能力的要求较高. 进一步结合表2 中的具体关键能力来看,三套试题中涉及最多的是逻辑思维能力和运算求解能力,而数学建模能力和创新能力考查的力度较小.

图3

(4)核心素养及其水平

根据前文给出的赋值规则,对三套试卷每道题所考查的核心素养水平进行赋值,赋值结果见表6.

表6 核心素养水平赋值表

对三套试题的核心素养水平做差异性检验,将分值进行方差分析,从SPSS26.0 的数据结果(图4)来看,题号的F 值为7.439,P ＜0.05,因此每套试卷的不同题目对核心素养水平等级的考查是有显著性差异的. 结合表2 进一步分析可知,数学运算、逻辑推理以及数学抽象是三套试题中涉及最多的核心素养,对于直观想象的考查力度居中,而考查数学建模和数据分析的力度较小. 此外,两套新高考卷重视一道题目中蕴含多个核心素养,一些难度较大的选择题和填空题以及所有解答题均涉及到了3 个及以上的核心素养. 新高考I 卷绝大多数的解答题蕴含了4 个核心素养,值得一提的是,新高考II 卷有解答题蕴含了5 个核心素养;而全国乙卷作为旧高考的典型试题,对不同核心素养的综合考查力度较低,一道题目蕴含的核心素养一般集中在2 到3 个,仅有极少数题目会涉及到4 个核心素养. 由此可见,新高考相比于旧高考更注重对数学核心素养的渗透. 关于数学核心素养水平,选择题和填空题的核心素养水平主要集中在水平一和水平二,侧重考查基础知识;解答题一般设置了两个小问,第一小问属于简单或中等难度,核心素养水平一般维持在水平二,而第二小问难度则有所提升,特别对于难度较大的压轴题,其核心素养水平会达到水平三.

图4

三、结论与启示

(一)结论

在试题情境中,大部分试题都没有设置相关的试题情境,可以看出三套试题还是以考查学生掌握知识的程度为目的.对于有设置情境的题目,新高考I 卷的第16 题设置了社会情境,第18 题设置了个人情境;新高考II 卷的第6 题设置了社会情境,第4 题和第21 题的情境都属于科学情境;全国乙卷的第6 题、第9 题和第17 题均设置的是社会情境. 仔细分析可以发现,两套新高考卷对于设置情境的题目数量与全国乙卷相比虽没有较大的差异,但在试题情境的类别上有所变化.全国乙卷在情境类别上相对单一,只设置了社会情境这一类型,而新高考卷还涉及到了个人情境和科学情境,在设置试题情境时融入了更多样的数学文化. 如新高考I 卷第16 题以“民间剪纸艺术”为背景,试题体现了数学文化与美学的融合. 新高考II 卷第4 题以我国航天事业的重要成果“北斗三号全球卫星导航系统”为背景设计立体几何问题,第21 题则取材于生物科学中微生物群体的繁殖问题,情境素材来源于科学技术,体现了数学与其他学科互相交叉渗透.

在内容主题和必备知识中,三套试题对四个内容主题的考查力度相当,且考查函数、几何与代数的题目数量较多,概率与统计主题则是以一道解答题和一至两道小题的形式来考查,而预备知识基本上是以一道小题或者融入于其它内容主题当中来考查的. 进一步分析可以发现,两套新高考卷相比于全国乙卷更注重在一道题目里将不同的内容主题结合在一起,如新高考I 卷第7 题和新高考II 卷第16 题都是综合考查了函数及几何与代数两个主题,新高考II 卷第21 题则是将概率与统计和函数相结合. 对于必备知识,除了函数、向量、圆锥曲线、立体几何等重点数学概念外,新高考I 卷还突出了对相互独立事件、互斥事件、离散型随机变量的分布列、数学期望等知识的考查. 新高考II 卷则还涉及到了球的表面积、棱台的几何特征、函数的零点等知识点.

在关键能力中, 五个关键能力在三套试题里均有涉及,其中对运算求解能力、逻辑思维能力和空间想象能力的考查居多,而对数学建模能力和创新能力考查的力度较小. 每套试题的不同题目对关键能力的考查具有显著性差异,对于简单的填空选择题,试题一般涉及1 至2 个关键能力,3 个及以上关键能力相结合则更多地体现在中等或较难的填空选择题以及解答题中. 与全国乙卷相比,两套新高考卷更突出考查创新能力,新高考适度设计了“结构不良问题”,加大了创新力度,给不同水平程度的考生提供了充分发挥自身数学能力的空间,具有更好的选拔性.

在核心素养及其水平中,三套试题对六大核心素养均有涉及,其中蕴含数学运算、逻辑推理以及数学抽象素养的题目居多,而数学建模和数据分析素养则涉及较少. 每套试题中不同题目的核心素养水平是有显著性差异的. 两套新高考卷与全国乙卷相比,加强了对数学核心素养的渗透程度,对不同核心素养的综合考查力度更高. 对于数学核心素养的水平,选择题和填空题考查的素养水平主要集中在水平一和水平二;解答题一般设有两个小问,因此考查的素养水平等级较为多元,同一道题既考查了多个核心素养,又考查了某一具体核心素养的不同级水平,题目既保证了基础性又体现了综合性.

(二)启示

(1)关注时代前沿,精心设置试题情境. 试题情境化是高考改革的一个重要环节,情境活动是学科核心素养的载体[1],试题情境的设置可以让数学知识的考查变得更加生动、更有意义. 2021 年新高考数学试题情境材料主要来源于传统文化、科学技术、经济发展、生产生活等,具有较强的时代气息.因此,数学教师尤为需要关注时代的前沿信息,了解国家时事以及当今社会的热点问题,挖掘其中所体现的学科价值和社会价值,引导学生从数学视角关注现实世界各领域的问题.设置试题情境,将现实生活融入到数学试题中,可以加强学生对数学与实际生活的联系与理解,让学生体会到数学并不是孤立存在的. 创设新颖的试题情境,还能有效考查学生的逻辑思维能力和创新能力,增进学生对数学的理解.

(2)重视关键能力,培养学生创新思维. 2021 年高考数学试题涉及的知识面广、综合性较强,突出对关键能力的考查,体现出高考数学的科学选拔功能. 因此,对于每一节课教师都要有明确的关键能力培养目标,要科学设计培养关键能力的有效途径,从而把学生关键能力的培养落到实处. 教师应在教学实践中强调对知识的理解和灵活应用,合理设置“结构不良问题”“存在问题”等,科学把握数学题型与数学思维的开放性,实现稳中求新. 此外,还可通过一题多解、一题多变来引导学生从多角度思考问题,寻求问题的本质. 教师鼓励学生通过联想、判断和推理得出问题的答案,更有利于学生迸发出创新的火花,帮助培养学生的创新思维.

(3)聚焦核心素养,深入贯彻“五育”并举. 高考数学命题朝着数学核心素养的测评方向改革,核心素养视角下的命题形式重视以知识为载体,素养为导向,思维为核心的考察[11].在高考中,德智体美劳五育之间,互为依托,互相影响,相辅相成,密不可分,五育共同服务于立德树人这个根本目标[12].2021 年高考数学强调素养导向,整体上更加突出对六大数学核心素养的综合性考查,随着新高考试题向多元化方向不断发展,试题对学生的核心素养提出了更高的要求. 教师不仅要提高学生分析问题和解决问题的能力,还要重视对学生发现问题和提出问题的训练,加强对学生批判性思维和创新意识的培养. 在平时的教学过程中,加强学生对数学核心素养的认识,提升学生的数学核心素养水平,做到真正落实“立德树人”的根本任务.