一种利用双先验知识的稳健STAP算法

张宇轩 金禹希 陈世进 吴永清 郝程鹏

（1.中国科学院声学研究所，北京 100190；2.中国科学院大学，北京 100049）

1 引言

当目标具有一定运动速度时，目标信号与杂波信号在角度-多普勒平面上是可分离的，而空时自适应处理（Space-Time Adaptive Processing，STAP）技术正是利用这种可分离性对杂波加以抑制，从而提升机载雷达的运动目标检测性能［1-2］。在实际应用中，STAP 滤波器的设计需要通过训练样本来估计杂波协方差矩阵（Clutter Covariance Matrix，CCM）。传统STAP 方法通过极大似然准则来估计CCM，然而根据Reed-Mallett-Brennan 准则，最大似然估计方法需要二倍于系统自由度的独立同分布训练数据，才能使输出信杂噪比损失小于3 dB。由于在非均匀环境中样本量过少，STAP 杂波抑制能力将显著下降［3-4］。为了缓解非均匀杂波环境中训练样本数量不足时的STAP 性能下降问题，研究者提出了降维STAP 和知识辅助STAP（Knowledge-Aided STAP，KA-STAP）等方法来减少对训练数据量的需求［5-8］。降维STAP 方法理论上可以将数据需求量从系统自由度的两倍降至CCM 秩的两倍，此类方法本质上是DOF 与数据需求量的一种权衡，在减少数据需求量的同时也会损失系统自由度，造成最小可检测速度增加、系统误差容忍能力降低、杂波抑制性能下降等问题［6-7］。KA-STAP 技术旨在利用各种不同形式的环境知识提高CCM 的估计精度，但一般情况下环境知识获取难度很高，大幅增加了系统设计成本，并且当系统获取的环境知识存在误差时会进一步导致STAP性能下降［8］。

近期国内外学者提出了稀疏恢复STAP 方法［9-13］（Sparse Recovery STAP，SR-STAP），此类方法通过将角度-多普勒平面网格化构造过完备空时导向向量字典，然后利用该字典对杂波功率进行稀疏恢复从而获得CCM，从而在训练样本数量受限情况下实现了比传统STAP 算法更好的杂波抑制性能。最常见的SR-STAP算法主要为正交匹配追踪STAP算法［10］（Orthogonal Matching Pursuit STAP，OMP-STAP）和欠定系统 聚焦解STAP 算法［11］（FOcal Underdeter⁃mined System Solution STAP，FOCUSS-STAP）。这类算法简单、高效，其缺点是性能十分依赖于超参数的设置，理论上这些超参数可根据真实环境的信噪比进行调整，然而在实际应用中真实信噪比的获取是难以实现的。为拓展算法的实用性，文献［12］提出一种迭代自适应STAP算法（Iterative Adaptive Ap⁃proach STAP，IAA-STAP），这种算法是一种非参数化稀疏恢复算法，对稀疏度不敏感，可以避免OMPSTAP 和FOCUSS-STAP 算法中超参数难以设置的问题。上述SR-STAP 算法均只从待检测单元（Cell Under Test，CUT）中恢复杂波能量，是一种单观测样本（Single Measurement Vector，SMV）方法，因为单个样本包含的信息有限，SMV 方法在信噪比较低或者目标移速较慢时，杂波抑制效果严重下降。为了充分应用多个样本所包含的信息，文献［13］提出了一种多快拍自适应迭代STAP 算法（Mul⁃tiple snapshots Iterative Adaptive Approach STAP，MIAA-STAP），将SR-STAP 扩展至多观测样本（Multiple Measurement Vector，MMV）的应用背景中。MIAA-STAP 先从多个训练样本中恢复杂波谱，再根据杂波谱恢复结果设计相应的STAP 滤波器，获得了比IAA-STAP 更好的杂波抑制性能。

另一方面，当阵列为均匀线阵时，空域协方差矩阵可具有斜对称特性，文献［14］和［15］均利用了该先验知识来提高训练数据数量不足时阵列协方差矩阵的估计精度。受到这些工作的启发，本文注意到当机载雷达的接收阵列为等间隔均匀线阵，并且系统在一个相干处理间隔（Coherent Processing Interval，CPI）中脉冲重复频率恒定时，CCM 同样具有斜对称特性。因此可以考虑将该特性推广到STAP 中，并与SR-STAP 方法相结合，以联合利用CCM 的斜对称特性和杂波谱稀疏性两项先验知识，进一步提升CCM 估计精度和杂波抑制性能。该算法首先使用斜对称变换矩阵对CUT 中的数据和训练样本进行预处理，从而完成了对等效训练样本的扩展；随后，将扩展后的训练样本与协方差稀疏迭代算法［16］（Sparse Iterative Covariance-based Estima⁃tion，SPICE）相结合，实现杂波谱的稀疏恢复和CCM 的重构。仿真结果表明，提出的算法能够在训练样本量不足时表现出稳健的杂波谱恢复和CCM重构能力，相应的STAP 滤波器能够有效地抑制杂波。

2 杂波谱稀疏恢复问题的建模

本节首先对机载雷达的杂波信号模型进行介绍，随后根据该模型构建空时导向向量字典，将雷达地杂波信号和CCM进行稀疏表示。

2.1 机载雷达地杂波信号模型

考虑如图1 所示的工作环境，机载雷达飞行速度为v，运动方向与x轴的正向夹角为θv，平台高度为H，θ、φ和ϕ分别表示杂波块与平台的方位角、俯仰角和空间角。

假设在一个相干处理间隔（Coherent Processing Interval，CPI）内发射机发射M个脉冲，脉冲重复频率为fr；接收阵列为等间隔均匀线阵，其中阵元个数为N，阵元间距为d=λ/2，λ表示工作波长，则雷达接收的一个距离环内杂波信号xc∈CMN×1可以表示为［17-18］

式中，[⋅]T表示转置运算。

2.2 杂波谱的稀疏恢复模型

SR-STAP 所需要的超完备字典由多个具有不同多普勒频率和空域频率的空时导向向量所构成，若将整个角度-多普勒平面离散为Ns×Nd个网格点，则所有网格点对应的空时导向向量就可以组成一个字典，其中Nd=ρdN和Ns=ρsM分别表示多普勒轴和空间轴上的网格点数量，参数ρs、ρd分别为网格的空域、多普勒域分辨率。利用超完备字典，可将杂波信号近似表示为［19］

SR-STAP 方法关键在于估计杂波空时功率谱p，空时功率谱的求解方法可以分为SMV 方法和MMV方法，其中SMV方法仅从CUT中的数据恢复γ并计算出空时功率谱p，即

式中[⋅]*表示共轭运算，⊙为Hadamard 积，和分别表示向量的l0范数和l2范数，参数ϵ为噪声的允许误差水平。因为单个样本包含的信息有限，这种方法在信噪比较低或目标运动速度较慢时，杂波谱恢复效果和杂波抑制效果下降。相对的，MMV 方法旨在从多个训练样本中恢复空时功率谱p并估计CCM。具体来说，假设有K个独立同分布的训练样本y1，y2，…，yK，其表达式分别为

其中nk为第k个距离单元的噪声向量，满足与目标距离单元的噪声向量独立同分布条件。此时，MMV方法的实现可描述如下

3 联合利用杂波双先验知识的稳健STAP算法

由于MMV 类SR-STAP 算法的杂波抑制效果和样本数量呈正相关，当训练样本不足时，CCM 的最大似然估计估计精度下降，从而导致式（10）中杂波谱的恢复性能下降。针对这一问题，本节提出一种联合利用CCM 斜对称特性和杂波谱稀疏性的STAP 算法以减少训练样本需求量，进一步提升杂波谱恢复性能。算法通过引入斜对称变换矩阵对训练样本进行预处理以提升CCM 的最大似然估计准确度，随后将处理后的样本与SPICE算法相结合，对CCM进行重构。

3.1 构造基于CCM斜对称特性的稀疏恢复模型

首先对斜对称特性进行介绍，对于任意一个N维向量a=，若该向量满足［20］

则称该向量具有斜对称特性。容易验证当时域导向向量和空域导向向量相位中心取于中间位置时，两者均满足斜对称特性。

当一个N维矩阵A∈CN×N满足［20］

则称该矩阵具有斜对称特性，其中Aij表示矩阵A第i+1 行、第j+1 列的元素。更一般的，具有斜对称特性的向量和矩阵满足a=JNa*，A=JN A*JN，其中，JN为N维变换矩阵，表达式为：

根据斜对称特性的定义和性质，可以得到如下3条推论：

推论1：单位矩阵具有斜对称特性。

推论2：若N维向量c=αa，其中α为一复数域上的数且α满足斜对称特性，则N维矩阵C=ccH也具有斜对称特性。

推论3：当N维向量a和b满足斜对称特性时，c=a⊗b也具有斜对称特性。

推论1、2 可通过将单位阵、c=αa和C=ccH代入式（13）进行矩阵运算得到，推论3 可见附录1。由于均匀线阵的空域导向向量和雷达脉冲间隔相等时的时域导向向量均满足式（11），根据上述三条推论可以将斜对称特性推广至空时导向向量和CCM中。

通过引入MN×MN维斜对称变换矩阵T，可以将斜对称特性应用到CCM 的最大似然估计中。矩阵T的表达式如下所示

变换矩阵T满足以下性质［21］：

性质1：对于任意斜对称向量h∈CMN×1，Th是实向量；

性质2：对于任意斜对称矩阵H∈CMN×MN，THTH是实矩阵。

利用上述性质，可以对CUT 中的数据和训练样本进行以下预处理：

利用是实矩阵的特性，可以证明其最大似然估计为［22］

其中，Re[·]表示取实部运算。与不使用斜对称特性相比，式（18）的估计精度等效于将原训练样本数量扩充为原来的两倍［22］。此外，变换后的CCM具有如下稀疏表示

3.2 算法求解和STAP滤波器设计

将式（18）与式（19）代入式（10）中，可以获得如下优化问题

该优化问题的求解面临两方面的困难：一方面是参数ϵ受环境影响较大，很难给出一个合适的值进行优化；在另一方面，上式为一个NP 难问题，往往难以求解。因此本文引入SPICE 算法［16］，该算法是一种无参数稀疏恢复算法，同时具有较高的运算效率。SPICE 算法通过以下优化问题求解空时功率谱p

文献［23］证明上式对协方差中参数的估计结果可以渐进达到克拉美劳下界。为了描述方便，将变换后的CCM重新表示为

又因为最大似然估计为一致估计，则有：

根据上式结果，可以将（23）转化为以下渐进等价的优化问题

该问题具有半正定规划形式，为凸优化问题。另一方面，注意到约束项是累加求和的形式，这种形式正是加权l1范数约束，因此事实上该优化问题为一个稀疏恢复问题。为了求解该优化问题，引入矩阵，将优化问题（27）等价变化为以下形式

注意该优化问题中的待优化变量包括bn以及矩阵G。可以使用循环优化算法［24］分别对两者进行优化：先固定矩阵G，对bn进行优化；再固定bn，对G进行优化，二者交替循环迭代。假设在第i次迭代中获得了矩阵G(i)，需要求解。不妨记Q(i)=，则有：

且不等式的等号成立的条件为

不等式（30）中，左边为原优化问题的代价函数，右边是与bn无关的常数，因此该不等式取等号时即为优化问题（28）的解。根据等号成立的条件可知原优化问题中关于bn的优化结果为

将式（32）代入原优化问题（28）中的第一个约束项，即可获得

至此为止获得了矩阵G被固定时，（28）对bn进行优化的结果。接下来考虑固定bn，求解对G的优化。假设在第i+1 次迭代中获得了bn(i+1)，此 时（28）中第一个约束项不再有意义，该优化问题可改写为以下形式

结合式（32）、（33）和（35），可以获得求解优化问题（28）的循环优化算法。

算法的初始值可设置如下

在获得变换后的CCM 后，需根据线性约束最小方差方法准则设计STAP 滤波器，由于CUT 中的数据受到了变换矩阵T的预处理，为与之匹配，目标空时导向向量也要进行相应处理，最后获得的STAP滤波器设计准则为

其中=Tvt，vt表示目标的空时导向向量，计算得到的最优权向量为

综上，提出的稳健STAP算法实现流程如表1所示。

表1 算法步骤Tab.1 Procedure of the proposed algorithm

4 仿真实验和计算复杂度分析

通过实验评估所提出的STAP 算法，检验所提算法的杂波谱恢复性能和杂波抑制性能，并与IAASTAP、MIAA-STAP算法进行比较。为了分析引入CCM斜对称特性对算法的影响，也将提出的算法与未应用斜对称变换矩阵T预处理时的实验结果进行比较，后者称为SPICE-STAP。最后，对算法的复杂度进行分析。仿真设置的机载脉冲多普勒雷达系统参数如表2 所示。

表2 系统仿真参数Tab.2 System simulation parameters

从距离20 km 处选择杂波样本，杂波环宽度为100 m，设置每个杂波环划分为360 个杂波块并选择网格分辨率参数ρd=ρs=10，收敛阈值设为κ=10-3。仿真结果通过100 次蒙特卡洛实验的均值获得。

4.1 杂波谱稀疏恢复性能

第一个实验比较本文算法与上述各算法恢复出的杂波Capon谱，杂波Capon谱的表达式为

图2（a）是仿真原始杂波谱，其为当R已知时计算出的杂波Capon 谱，是对仿真数据的超分辨结果。图2（b）至（e）分别展示了IAA-STAP、MIAASTAP、SPICE-STAP 和本文算法估计得到的杂波谱，其中除了IAA-STAP 算法为SMV 类法，训练样本被设置为1 外，其他算法训练样本量均设置为3。在各距离单元统计特性相同的前提下，由于这四种算法都是建立在恢复杂波谱的基础上估计CCM，而图2（a）中假设CCM 已知，因此仿真原始杂波谱可以视为这些算法的性能上限。根据杂波谱恢复结果可以看出，由于单个样本包含的信息有限，IAA-STAP 算法恢复出的杂波谱在整个平面上有较为严重的扩散。SPICE 算法相较于MIAA算法能够有效抑制杂波谱的展宽，恢复出的杂波谱更加集中在杂波脊线上。本文算法在SPICESTAP 的基础上利用了CCM 斜对称结构，将等效训练样本的数量扩展成原来的两倍，因此形成的空时杂波谱更加清晰，更接近图2（a）中的仿真原始杂波谱。

4.2 杂波抑制性能分析

第二个实验采用改善因子（Improvement Factor，IF）来评估各算法的杂波抑制能力，其定义式为［25］

图3 与图4 分别展示了理想情况与存在杂波内部起伏（Intrinsic Clutter Motion，ICM）时的实验结果，其中杂波信号表达式为［26］

式中α=[α0，α1，…，αM-1]∈CM×1为杂波信号的时域复起伏，其时间自相关函数为

式中σv为速度标准偏移量，设置为0.3。

图3 和图4 分别给出理想条件下和存在ICM 时的IF性能变化曲线，其中图3（a）和图4（a）展示了各算法在样本量为3 且目标归一化空间频率为0 时IF随归一化多普勒频率的变化曲线，图3（b）和图4（b）展示了各算法在目标归一化多普勒频率为0 时IF随归一化空间频率的变化曲线，其样本量与图3（a）、4（a）相同。由图3（a）和图4（a）可以观察到，IAA-STAP算法抑制效果最差，SPICE-STAP算法和MIAA-STAP 算法在归一化多普勒频率处于-1 至0.4 部分时杂波抑制效果近似，但是SPICE-STAP 算法的凹口展宽程度相较于后者更小，这是因为其恢复出的杂波谱更加集中在真实位置处。其中本文算法的IF 曲线凹口最窄，在各多普勒频率上均优于另外3 个算法。图3、4（b）中各算法的IF 性能曲线趋势与（a）中类似，在理想条件下和存在ICM 时本文算法的凹口展宽程度均为最小，在各空间频率上都表现出更好的杂波抑制性能。图3（c）与图4（c）为目标归一化多普勒频率为0.5，归一化空间频率为0 时IF 随样本量的变化曲线。其中，当样本量为1 时，MIAA-STAP 算法退化为IAA-STAP 算法。从图3（c）与图4（c）可以看出，样本量增多时，SPICESTAP 算法的杂波抑制性能提升更大。由于利用了CCM 的斜对称结构，本文算法的IF 性能与SPICESTAP取两倍样本量时的IF性能近似。

4.3 各距离单元输出功率分析

本小节使用各算法计算出的空时滤波器对不同距离单元回波信号进行滤波，其中假设目标位于第200 个距离单元，且归一化多普勒频率为0.4，归一化空间频率为0。图5（a）和（b）分别给出在理想条件下和存在ICM 时第180 个距离单元至第220 个距离单元的输出功率曲线。由实验结果可以看出IAA-STAP、MIAA-STAP、SPICE-STAP 和本文算法均能探测出目标，其中本文算法杂波抑制性能最优，在不含目标的距离单元中输出功率相比SPICESTAP 算法减少3 dB 左右，而SPICE-STAP 性能略微优于MIAA-STAP，当存在ICM 时，这种优势进一步降低。IAA 算法虽然也能检测出目标，由于其仅仅利用了一个距离单元中的数据，信息量有限，因此其杂波抑制性能最差。

4.4 算法复杂度分析

为比较各算法的计算复杂度，以算法所需复数乘法的次数作为计算量的衡量标准。算法复杂度的分析结果由表3给出，其中KIAA、KMIAA、KSPICE和KPerSPICE分别表示IAA-STAP、MIAA-STAP、SPICE-STAP 和本文方法所需要的迭代次数。因为NdNs远大于MN，故每次迭代中IAA-STAP算法和MIAA-STAP算法的计算复杂度都可以视为O(2NdNs(MN)2)，而SPICESTAP 和本文算法的计算复杂度可以近似为O(4NdNs(MN)2)，因此在每次迭代中计算量约为前者的两倍。为了更加客观地评估各算法的计算量，需要分析其收敛速度，实验结果如图6 所示。可以看到，本文算法的收敛速度稍慢于MIAA-STAP，在设置收敛阈值κ=10-3的条件下，MIAA-STAP 算法和本文算法的平均迭代次数分别为17次和21次，算法所需收敛次数较为相近。综上可知，本文提出的算法能够提高精度，但是缺点是算法的计算复杂度更高，约为MIAA-STAP的两倍。

表3 计算复杂度比较Tab.3 Comparison of computational complexity

5 结论

为进一步提升稀疏STAP算法的协方差估计精度和杂波抑制性能，本文提出一种联合利用CCM斜对称特性和杂波谱稀疏性的稳健STAP算法。该算法利用CCM的斜对称特性将等效训练样本量扩展至原来的两倍，然后结合该特性和SPICE算法实现杂波谱的稀疏恢复并设计相应STAP滤波器。算法不需要人为设置超参数，实际应用中易于操作，仿真实验表明，本文算法能够准确地恢复出杂波谱，在理想条件和存在ICM条件下均保持较好的杂波抑制效果。

附录1：推论3

附录2：优化问题（34）求解过程

下面将证明(34)的解为(35)。首先，将(35)代入(34)中的约束项，易于验证等式成立。另一方面，将(35)代入(34)的待优化函数中，有

如果可以证明对于任意矩阵G，以下不等式恒成立(X≥Y表示X-Y为半正定矩阵)，则可以证明(34)的解为(35)。

上式可以被等价写为

其中，0表示相应维度的全零元素矩阵，且

综上，证明了对于任意矩阵G，(52)恒成立，因此证明了固定时，优化问题(34)关于G的解为(35)。