一道THUSSAT测试题的溯源与变式

山东省青岛市即墨区第二中学 (266200) 崔为为

1 试题呈现

评注：试题以导数应用为背景设计的数列不等式证明问题，融构造数列不等式、裂项、数列累加求和、对数运算及放缩于一题，体现了知识间的交会运用.其中的两次“放缩”在证明的过程中起到了关键作用.

2 试题溯源

(2017年高考全国卷Ⅲ第21题)已知函数f(x)=x-1-alnx.

分析：上述测试题与该高考题本质上可谓如出一辙. 由此可以看出，在强调命题改革的今天，通过改编、创新等手段来赋予往年高考真题新的生命，演变为新的高考试题，这已成为高考命题的一种常态化命题趋势.以“题”为鉴，这就启示我们在高考复习教与学的过程中重视“回归”，即回归到对往年高考真题的深层次挖掘和研究，并将这样的“回归”贯穿复习备考的始终.

答案：(1)a=1；(2)m的最小值为3.(过程略)

3 变式探究

变式1 (2021届河南省洛阳市第二次统考21改编)已知函数f(x)=x-lnx．

(1)求f(x)的最小值；

解析：(1)易得f(x)的最小值为1.

(2)由(1)可知，当x∈(1,+∞)时，f(x)>1，即x-lnx>1，所以lnx

(1)若不等式g′(x)-f′(x)≥0恒成立，求a的取值范围；

(1)求函数f(x)的极值；

(2)(i)当x>0时，f(x)>0恒成立，求正整数的最大值；

解析：(1)当k≤0时，f(x)无极值；当k>0时，f(x)的极小值为lnk-k+2，无极大值.

(2)(i)k的最大值为3.

4 结束语

在数列不等式的证明过程中往往需要用到 “放缩”法.放缩法灵活多变、技巧性强，如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在.

高考真题具有很强的典型性和思维性，是命题者精心设计的问题，是对考试大纲的具体诠释，对高考复习具有很强的指导意义和导向性.关注命题者的意图、解题需要的能力和科学的思维方法，使复习跳出题海，并“打磨利器，有的放矢”，利用对往年高考真题检验复习效果，指导复习备考，使复习备考“择高处立，向阔处行”.