让学生看到数学森林一片
2022-08-09江苏省苏州市陆慕高级中学215131万福昌
江苏省苏州市陆慕高级中学 (215131) 万福昌
1 问题提出
《普通高中数学课程标准》(2017年版)中提出：“提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”，会用数学的眼光观察世界，其中所指的这个世界也应包含数学.
教学中，一方面鼓励学生用数学的眼光看现实生活；另一方面，也要积极鼓励学生用数学的眼光看数学.我们面对数学对象或问题，如何让学生用数学的眼光看数学？如何让学生看到更多的数学背景，并在观察、联想、思考的过程中发展学生的能力和素养？
笔者在一次公开课上尝试用一个数学问题，鼓励学生联想已学习的数学知识，多角度思考解决问题的途径.课堂教学设计旨在探究如何让学生看到数学森林一片，公开课得到了听课者好评，惊叹学生的联想能力和思维发散度.下面录入课堂教学主要片断，与同行们分享教学中的体会.
2 案例
视角一：视为和积式
师：这个题目是我们所熟知的简单题，请根据已知条件和结论中的式子特征联想有关数学知识，并加以解决.
生1：已知为和、所求为积，联想基本不等式.
视角二：视为三角函数平方关系
师：你能联想到三角有关知识吗？
生2：联想到公式sin2θ+cos2θ=1.
师：同样地，也可以联想圆的方程或椭圆方程.
视角三：视为等差数列
师：你能联想到数列有关知识吗？
生3：联想等差数列中项.
视角四：视为平面几何图形中有关量.
师：能否联想有关几何图形?
生4：构造直角三角形，运用几何或三角知识来解决问题.
图1
视角五：视为直线方程
师：有哪些式子和为1，能利用相关知识来解决吗？
图2
生6说出了下列解法8.
视角六：视为函数求值域
师：求变量的范围，还有什么方法？
生7：将xy消元变为一元函数求值域.
视角七：视为方程的根
师：从方程的视角看，两个数的和可以联想到什么？
生8：联想到一元二次方程根与系数的关系，可构造一元二次方程.
视角八：视为方程的系数
师：在求解二元变量时，除了消元变为一元函数，还可以考虑整体设元，回带求解.
生9提供了解法13.
师：整体设元，回代后视为一元二次方程的系数，再用判别式求范围.
视角九：视为线性规划问题
师：在求线性规划中，我们如何求范围.
生10：将目标函数视为整体，变为函数和可行域有公共交点.
视角十：视为工程应用问题
师：还能联想到什么数学问题？
生11：联想到应用问题中的工程问题：一项工作，若甲、乙单独完成分别为x,y小时完成，若甲单独做2个小时，乙再做3个小时，恰好完成工作，求xy的最小值.
师：解法15将问题特殊化，虽然解法不严谨，但敢于联想，联想到应用问题中的工程问题还是值得肯定.
3 教学思考
师生共同探究下，学生通过联想激活思维，对问题“横看成岭侧成峰”，使这节变成了一堂智趣的数学课.一个简单的问题，可以用十种不同的视角，十多种不同的方法来解决，几乎涵盖了函数、导数、三角、数列、不等式、平面几何、解析几何、方程等数学的主干知识.教学后有如下体会.
3.1 让学生看到数学的森林一片
数学发展的动力，一方面来源于生活实际需要，另一方面是数学自身发展的需要.从数学的发现和创造过程来看,数的产生和发展不只是实际需求的结果,也是数学内部矛盾作用的结果.正负数不仅起源于为了表示具有相反意义的量,也是数学自身发展的需要.无理数的产生也是如此.教学实践中既要强调用数学的眼光看客观世界，也要用数学的眼光数学.
在不同的视角中，建立数学知识之间的联系，灵活运用数学知识解决问题，积极发展学生的思维发散力，培养学生的数学思想方法运用意识，培育数学的关键能力.
3.2 数学联想让学生思维翩翩起舞
联想是一种自觉的有目的的想象，是由当前感知或思考的事物，想起有关的另一种事件，或由此再想起其他事件的心理活动，丰富多彩的想象，往往有利于开拓思路．只要善于想象，精心联想，就能做到灵活解题．
在教学中，教师要善于鼓励学生多角度的审视已知条件、结论，把握数学的本质特征，充分联想有关数学知识，着力培养学生的发散思维的习惯.
联想需要数学知识做基础.如|x|=1，在数轴上看是两个点，在平面直角坐标系中看是两条直线，在复平面中是一个圆，在空间直角坐标系中是个球面.掌握数学概念本质，数学公式的特征十分必要，是数学运用的前提，也是数学联想活动的关键.联想思维的方式，主要有相似联想、数形联想、化归联想、整体联想.在数学解题过程中，要针对数学问题的内容和特点展开联想，由于联想的方式以及方向、角度不同，往往可以得出多种解法．而相似联想、数形联想、化归联想、整体联想在解题中并不是独立的，在同一题目中可以相互交错使用．
在数学教学中，培养学生既会用数学的眼光看世界，也会用数学的眼光看数学.面对数学问题，鼓励学生充分联想，多视角审视数学对象，让学生看到数学森林一片.
