例析高考数列误中悟*

广东省深圳市罗湖区翠园文锦中学 (518002) 张正华

安徽省铜陵市枞阳县浮山中学 (246736) 唐录义

数列是高中数学的重要内容，也是高考的必考点，学好数列对于提高数学成绩至关重要.然而学生在学习数列时往往在以下八个方面容易出错，如果我们对这几个方面的常见典型错误引起注意，洞察错因，反思务本，对于学好数列大有裨益.

典误1忽视数列首项的重要性

案例1 已知{an}的前n项之和Sn=n2-4n+1,则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为( ).

A.68 B.67 C.61 D.60

查误索因：已知Sn求an时,an=Sn-Sn-1，(n>1) 易忽略n>1的情况,而a1=S1=-2.这是对定义理解不透彻.

反思务本：等差数列作为基础数列，首先关注首项与公差，有很多题都是由等差数列衍生而来的，所以要由学生灵活掌握，在熟悉基础数列的基础上才能更好更快的解题.

典误2忽视等比数列各项均不为零

案例2 已知Sn表示{an}的前n项和，Sn-Sn+1=an(n∈N+)，则{an}一定是( ).

A.等差数列 B.等比数列

C.常数列 D.以上都不正确

考点涉及：数列通项公式an与其前n项和Sn之间的关系，等比数列的概念.

误解呈现：由Sn-Sn+1=an(n∈N+)，得-an+1=an，即an+1=-an，所以{an}是以公比为-1的等比数列，故选B.

正解参考：由Sn-Sn+1=an(n∈N+)，得-an+1=an，即an+1=-an，当a1=0时，an=0，为常数列，同时也是等差数列；当an≠0时，{an}是以公比为-1的等比数列，故选D.

反思务本：等差、等比数列的基本概念和性质，通项公式、求和公式.简单递推式求通项.突出了“小、巧、活”的特点.

笃行温焐：已知数列{an}中，满足a1=1，an2-2anan-1-an-4an-1-6 = 0，bn=an+2且数列{bn}为等比数列.求数列{an}的通项公式.

典误3忽视等比数列公比的可正可负性

反思务本：实际上，在等比数列{an}中，当公比q>0时，an·an+1>0，即相邻两项同号；当q<0时，an·an+1<0，即相邻两项符号相反.也可以说，在等比数列中，所有偶数项同号，所有奇数项也同号.不能忽视符号的判定.

笃行温焐：已知x>0,y>0，将x，y，-1，-8适当的排序后成等比数列，求2x+3y的最小值.

典误4忽略由Sn求an或含第n-1项的递推公式中n≥2的前提

反思务本：我们的认知是1·a1是数列{nan}的首项，也就惯性思维认为{nan}是以a1=1为首项的等比数列，实际上是从第二项为首项的等比数列.对于新数列的本质把握不全面，导致首项定义出错.

典误5忽略等比数列前n项和公式中q=1的情况

案例5 等比数列{an}的前n项和为Sn，S3+S6=2S9，求公比q.

笃行温焐：已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7,S6=63，则数列{nan}的前n项和为( ).

A．-3+(n+1)×2nB．3+(n+1)×2n

C．1+(n+1)×2nD．1+(n-1)×2n

典误6忽视数列求和中对项数的甄别

案例6 设f(n)=2+23+25+27+…+24n+3(n∈N*),则f(n)=( ).

反思务本：习惯性思维认定数列求和就是求前n项和，而没审清题意到底有多少项而致错.在解决数列问题时，找准数列的项数是必不可少的，要把握数列的项的构成规律，主要是要善于观察数列通项公式的特点.

笃行温焐：已知等差数列{an}中，a2=5，前4项和S4=28.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn=(-1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n.

典误7忽略数列是定义域为正整数集或其子集的特殊函数

案例7 已知{an}是递增数列，且对任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是( ).

A.[0，+∞) B.(1，+∞)

C.[-2，+∞) D.(-3，+∞)

(方法二)因为{an}是递增数列，所以an0对任意n∈N*恒成立，可得λ>-2n-1对任意n∈N*恒成立，又-2n-1≤-3,所以λ>-3.故选D.

反思务本：数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.如果数列{xn}满足xnxn+1，n=1,2,3…，则称数列{xn}为单调递减数列.主要判定方法有：比较法，函数法，导数法等.

典误8在数列求和中错位相减法过程不规范或解答结果不到位

反思务本：一般情况下对于数列{cn}有cn=anbn其中数列{an}和{bn}分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解,我们把这种方法就叫做错位相减法.利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n-1项是一个等比数列．

笃行温焐：已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N*)，a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，an+2log2bn=-1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.