二次函数的平移、翻折与旋转

陈文倩

【摘要】 二次函数是初中数学中一种重要的代数函数， 而二次函数问题在中考中同样也是热点问题. 本文主要对二次函数的平移、翻折与旋转问题进行分析.

【关键词】 初中数学;二次函数;平移、翻折与旋转

1 二次函数平移、翻折与旋转问题的题型分类

1.1 二次函数的左右、上下平移问题

在函数的平移变换中， 我们有口诀“左加右减、上加下减”， “左加右减” 仅对x进行加减， “上加下减” 是对函数整体进行加减.且二次函数在平移变换中， 并不会改变二次项系数a， 左右与上下平移的顺序也不会改变最后的结果.

例1 （1）二次函数y=2x2经过向（左/右）平移单位， 向（上/下）平移单位可得到二次函数y=2（x+1）2-1.

解 本小题为基础题， 运用口诀即可轻松得出答案： 向左平移1单位，向下平移 1 单位.

（2）将二次函数y=2x2+1向右平移2个单位， 再向下平移1个单位得到的二次函数函数表达式是.

解 同（1）的方法， 我们可以快速得出答案

y=2（x-2）2.

（3）将二次函数y=12x2-x-12向左平移3个单位， 再向上平移2个单位得到的二次函数函数表达式是.

解 本小题有两种解题思路.

①直接对二次函数y=12x2-x-12进行平移变换，将所有的x加3，得到y=12（x+3）2-（x+3）-12，再将函数整体加2整理得到

y=12x2+2x+3;

②将二次函数y=12x2-x-12写成顶点式：y=12（x-1）2-1，再将x加3，整体加2得到

y=12（x+2）2+1.

（4）将二次函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到二次函数y=-2x2+4x.

解 本小题考察了学生的逆向思维能力.将题目转化成“二次函数y=-2x2+4x向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的二次函数表达式是.”则用（3）的两种解题思路都可得出二次函数表达式y=-2x2.

例2 已知二次函数y=x2-2x-2.

（1）若二次函数沿x轴方向平移后经过点（4，1），求平移后所得二次函數的函数表达式，并说明怎样平移.

解 沿x轴方向平移说明二次函数左右平移.先将二次函数化成顶点式：y=（x-1）2-3，设平移后的二次函数表达式为y=（x+h-1）2-3，再将（4，1）带入得出h1=-1，h2=-5.则二次函数表达式为y=（x-2）2-3或y=（x-6）2-3，将原二次函数向右平移1个单位或者向右平移5个单位得到新二次函数.

（2）若二次函数沿y轴方向平移后经过点（3，0），求平移后所得二次函数的函数表达式，并说明怎样平移.

解 沿y轴方向平移说明二次函数上下平移.设平移后的二次函数表达式为y=（x-1）2-3+k，将（3，0）带入得出k=-1.则二次函数表达式为y=（x-1）2-4，将原二次函数向下平移1个单位得到新二次函数.

（3）如何将二次函数沿对称轴上下平移后所得到的新的二次函数与坐标轴只有两个交点？

解 沿对称轴上下平移即为沿y轴方向平移.方法同（2），设新的二次函数表达式为y=（x-1）2-3+k.因为新的二次函数与坐标轴只有两个交点，则有两种情况：

①令y=0，（x-1）2-3+k=0，

整理得x2-2x-2+k=0，

由b2-4ac=22-4（-2+k）=0，得k=3;

②将（0，0）带入新的二次函数y=（x-1）2-3+k，得k=2.

综上，将二次函数沿对称轴向上平移3个单位或2个单位即可.

例2直接用一般式也可以求解.方法参考例1（3）①.

2 二次函数的翻折与旋转问题

二次函数y=a（x+h）2+k经过翻折与旋转不会改变开口大小，则此问题可以归结于两点：1.a的正负;2.顶点坐标的变换.最后通过顶点式得出变换后的二次函数表达式.

或者可以运用整体思想.二次函数y=a（x+h）2+k的翻折与旋转可以看做是二次函数上的任意一点（x，y）进行变换，将变换后的（x′，y′）带入二次函数，即可得到变换后的二次函数表达式.

例3 已知二次函数y=-2（x+1）2-3.

（1）将二次函数关于x轴对称，得到的新二次函数函数表达式为.

解 y=-2（x+1）2-3关于x轴对称，其开口方向改变，则a=2，其顶点坐标（-1，-3）关于x轴对称后的坐标为（-1，3），所以新二次函数函数表达式为

y=2（x+1）2+3.

或者运用整体思想.在二次函数上的任意一点（x，y）关于x轴对称后的坐标为（x，-y），将（x，-y）带入y=-2（x+1）2-3，整理得

y=2（x+1）2+3.

（2）将二次函数关于y轴对称，得到的新二次函数函数表达式为.

解 y=-2（x+1）2-3关于y轴对称，其开口方向不改变，即a不变，其顶点坐（-1，-3）关于y轴对称，变换为（1，-3），所以新二次函数函数表达式为

y=-2（x-1）2-3.

或者运用整体思想.在二次函数上的任意一点（x，y）关于y轴对称后的坐标为（-x，y），

将（-x，y）带入y=-2（x+1）2-3，整理得y=-2（x-1）2-3.

（3）将二次函数关于原点对称，得到的新二次函数表达式为.

解 y=-2（x+1）2-3关于原点对称，其开口方向改变，则a=2，其顶点坐标（-1，-3）关于原点对称，变换为（1，3），所以新二次函数函数表达式为

y=2（x-1）2+3.

或者运用整体思想.在二次函数上的任意一点（x，y）关于原点对称，变换为（-x，-y），将（-x，-y）带入y=-2（x+1）2-3，整理得

y=2（x-1）2+3.

（4）将二次函数y=-2（x+1）2-3绕顶点旋转180°，得到的新二次函数表达式为.

解 y=-2（x+1）2-3绕顶点旋转180°，其开口方向改变，则a=2，但顶点未改变，所以直接可以得出新二次函数表达式为

y=2（x+1）2-3.

例3中关于x轴，y轴对称，其实就是关于y=0，x=0对称，关于原点对称就是关于（0，0）对称.由此我们也可以延伸到求二次函数y=a（x+h）2+k关于x=m，y=n，（m，n）对称后的新二次函数函数表达式.

总结

函数是最能体现数形结合的知识点，而二次函数更是中考题中的重难点，再结合上图形的变换，因此学生接触到此类问题时，更会显得手足无措.在二次函数解题中，数形结合思想、分类讨论思想、类比思想等数学思想方法可以充分体现出来，从而提升学生的数学素养，使学生体会到数学的研究精神.本文借助二次函数顶点的变换或是二次函数上任意一点的变换，直击问题关键，从而做到简单有效地解决问题.