函数思维在中学数学解题中的应用

李婧赫

【摘要】随着教育改革的不断推进，中学数学教学对教师的教学方法提出了新要求.中学生正处于数学思维初步建立阶段，函数思维和函数知识应用能力的培养对于学生的数学学习能力的提升极为重要.本文对函数思维的概念、特点及其在方程、二次函数、不等式、数列中的应用进行了分析，希望对初中数学教师的教学起到参考作用.

【关键词】函数思维;中学数学;数学解题思路;应用

中学数学解题教学中，数学教师要做的不仅仅是将解题方法教给学生，更要做到培养学生具备清晰的解题思路，使学生真正掌握数学解题方法，真正会应用数学知识.在这一过程中，函数思维的培养尤为重要，具备函数思维能够帮助学生在数学解题中养成良好的學习与思考习惯，但函数对学生来说是难点，教师在教学中要把握学生特点，采取合适的教学方法，提高课堂教学效果.

1 函数思维概述

在数学学习中，函数思维方法可以简单理解为通过对函数的学习和了解，将数学解题过程中遇到的问题进行函数性质转换，并借助函数图象、函数概念来进行解题[1].相较于其他数学解题方法，函数思维可以将复杂的数学问题转换成流程清晰的简单数学问题，降低题目的难度.在解题过程中，学生运用函数知识可以快速提取数学问题中的变量，能够帮助学生快速深入分析数学问题，发现数学问题中变量的变化规律，并以此为依据，得出解题的关键结论.

中学生正处于深入学习函数的阶段，使用函数思维解题能够帮助学生利用所学知识对数学问题进行拆分、简化，这是充分利用学生学习特点和学习规律的一种解题思路，数学教师通过引导学生使用函数思维进行数学问题的解答，能够强化学生的数学思维，有助于学生形成系统化的数学思维，加强函数与其他知识点之间的关系.

2 函数思维的基本特点

2.1 辩证性

函数思维能够通过提取出问题中包含的数学特征，建立起一个基于函数关系的数学模型，在这一过程中，体现了联系与变化的辩证唯物主义观点.函数思维被看作辩证思维的一种，理解函数思维和应用函数思维也是在培养学生的辩证精神和辩证能力.

对于中学生而言，函数思维是他们在学习过程中较早接触到的一种辩证思维理论，在数学解题过程中，通过应用函数思维来探索数学问题中不同数学对象的联系与转化关系，能够使学生理解不同数学对象的内涵以及不同数学对象如何产生关系，他们之间的联系又是如何变化的，学生可以以此为基础，对数学问题和数学知识形成动态认识，有助于学生深入学习数学理论和函数知识，提升学生的钻研能力与解题能力.此外，在函数思维的培养中，辩证思维也能得到培养，有助于学生学习其他科目，以及辩证的应对生活问题，从不同角度认识事物.

2.2 变化性

函数的本质是变化，使不同变量之间产生关系并相互转化的一种数学表达形式，变化性也是函数的基本特点，不同数学对象的转变关系通过函数表达.

在数学问题中，不同数学信息所包含的数量关系也能通过函数表达，利用函数形式来体现数学中的变量变化，也是数学的本质内涵.函数的变化性还体现在函数能够随着数学思维的转变而变化，这也是函数能够与其他知识产生联系的根本原因.在学生进行数学问题解答过程中，充分利用函数思维的变化性特点，能够使学生灵活应对不同数学问题，或是在同一数学问题中研究出多种的解题方法，对中学生数学思维的补充与完善，以及对数学解题的认识与了解都有极大的推动作用[2].

2.3 逻辑性

数学是一门逻辑性非常强的学科，数学逻辑是学好数学的前提.逻辑思维强调的是逻辑性的统一和对不同个体的调整，但却缺少变性特点，缺乏数与形之间的结合与转化，但函数本身具有的辩证性和变化性则很好的弥补了这一点.在数学解题过程中，应用函数思维能够将题目中的代数信息和几何信息进行有机结合，使题目中的信息内容变得一目了然，有助于学生探索更丰富的解题方法，选择更简单的解题方法来处理复杂数学问题.

3 函数思维在中学数学解题中的具体应用

3.1 在方程中的应用

中学数学教学中方程占比较大，为了在实际教学中提高学生的学习成效，教师要采取各种教学手段，不断深化教学内容，使学生真正理解方程知识，并利用方程知识来解决数学问题.教师可以将函数思维应用到教学中，让学生在学习方程的过程中认识到函数思维与方程知识的联系，引导学生加强函数思维训练，帮助学生建立起函数思维与方程知识的联系，运用熟悉的函数思维模式来学习新知识，借助函数的性质与特点了解新学习的方程内容.

在方程问题中，由于方程与函数在知识架构等方面十分相似，知识点之间的联系也极为密切，许多学生容易把二者弄混，但方程与函数是不同的，方程式所表示的通常是函数图象上的一个具体的点，以f（x）=0为例，这个方程的解就是函数y=f（x）的图象与x轴产生的交点的横坐标，同时也可以将函数y=f（x）看做是一个二元方程f（x）-y=0，这就是函数与方程之间的转换关系，通过合理利用这个关系能够解决许多方程有关的数学问题，教师在教学中要重视培养学生的发散思维，使学生能够自然联想到函数在方程问题中的应用.

例已知实数a，b满足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，那么a+b=.

这道题是一道典型的可以通过构造函数来解决的问题，a和b都有其相关方程式，只需要利用函数思维进行转化就可以得到一个新的等式，也就可以求出ab之和.

解 因为a3-3a2+5a=1，

所以（a-1）3+2（a-1）+2=0， ①

又因为b3-3b2+5b=5，

所以（1-b）3+2（1-b）+2=0， ②

设f（x）=x3+2x+2，那么等式①等价为f（a-1）=0，等式②等价为f（1-b）=0，

由此可知f（a-1）=f（1-b），

又因为f（x）为R上增函数，

所以a-1=1-b，

那么就可以知道a+b=2.

这道题通过将方程两边构造成两个函数的方式进行解答，在两个图形的相交处找到合理的点，这是这类问题的常用解题思路，也是较为简单便捷的解题方法，在教学中教师可以多选取这种本身难度不高且便于理解的题目作为切入点，让学生对函数与方程之间的转化关系有初步的了解，而后再逐渐提高难度.

3.2 在二次函数中的应用

二次函数在初中数学教学中是一大章知识点，也是初中数学中的重难点问题，许多学生在学习二次函数时会遭遇困境，学習效果不佳.在实际教学中，教师要对二次函数的表达形式、函数图象、函数表达式以及不同函数的对称轴、交点式、顶点式等众多基础知识进行教学，相互之间虽然有深刻的联系，但涵盖面过于宽广，不同知识点又相对比较琐碎，无形中增加了学生的学习难度.教师在教学中利用函数思想，能够从二次函数的根本性质入手，帮助学生充分发掘二次函数问题中具备的隐含条件，将不同的数学信息拆解分析构建出函数的解析式，而后进一步利用不同函数的性质将复杂问题简单化.利用函数思维解析二次函数问题，有助于学生利用函数思维解决非函数问题，提升学生的数学学科素养.在遇到与二次函数有关的问题时，教师应当向学生示范如何用函数思维解题，二次函数教学过程中学生更容易建立函数思维，更容易在数学解题过程中主动使用函数思维来看待数学问题，教师也可以利用二次函数的教学内容对学生的函数思维进行发掘与培养.除此之外，遇到正比例函数与反比例函数问题时教师也可以利用二者之间的关系让学生明确两个图象的特性和数学内涵，帮助学生在头脑中建立起数学系统化逻辑思维，使学生在遇到其他问题时也能够用函数知识来解答.

3.3 在不等式中的应用

初中数学解题中不等式问题具有许多不确定性，不等式问题的解题方法也多种多样.通常来讲，函数的定义域、零点、值域和极值点都能够用来解决相应的不等式问题，这也是函数思维在不等式解题思路中应用体现，但许多学生在学习不等式过程中产生了误区，将公式与解题思路生搬硬套，对不同问题采用同一套解题方式，这限制了学生数学思维的发散[3]，也不利于学生掌握未知数的数量关系.

在教学中，教师可以利用函数图象帮助学生将题目中给出的不同数学信息进行拆分，并帮助学生理解数学信息中包含的函数知识，使学生将等式转化为函数，再利用函数思维反过来解决不等式题目，减少解题步骤的同时，学生的解题能力也得到提升.

例 设一个不等式2x-1>m（x2-1），对满足m≤2的一切实数m均能成立，那么实数x的取值范围为（）.

由于这是一道不等式题，许多学生第一反应是通过不等式知识来进行解题，这是一种较为常见的思维定势，但利用函数思维则可以利用题目中关于m的数学条件将不等式转化为m的函数表达，由此就可以将一个稍显复杂的不等式求值问题转化为函数中常见的值域问题，自然降低了题目难度.首先是要引导学生问题中的条件提取出来，写出m的一次不等式：fm=（x2-1）m-（2x-1）<0，则fm在{m|-2≤m≤2}上恒成立，即f（2）<0，f（-2）<0，计算后得出实数x的取值范围是（ 7—12，1+ 32）.

这道题的典型之处在于它利用了自变量的选取，将不等式问题与函数知识进行了转化，使题目难度下降.通常来讲，在解决多个变量的不等式问题时，清晰处理不同变量之间关系的关键在于选取合适的变量参数，而面对已经给出参数的不等式则可以通过变换参数与自变量位置的方式，利用函数思维对齐进行转化来解决问题.

3.4 在数列中的应用

数列与函数也有内在的数学逻辑联系，通常来讲，数列的表达式也可以看作是一种函数的解析式，而数列又可以看作是在定义域内正整数集的函数，因此，在遇到数列问题时，也可以运用函数思想来解决数学问题 [4].

例 已知一个数列{an}，其通项公式为an=na（n+1）b，其中a，b均为正常数，那么an与an+1之间的大小关系应当是（）.

这是一道难度比较低的例题，学生在学习数列知识后就能够利用已经掌握的解题方法进行解答，但这道题中体现出了函数知识与数列知识之间的联系，教师可以在教学中引导学生用函数思维进行分析，题目中的变量n的减函数式为t=1nb，那么这个变量n的增函数就应当为an=a（1+1n）b，根据题目分析出这些信息后则可以进行解答，最终得出的结果为an与an+1之间的大小关系是an<an+1.

4 结语

中学数学教师应当认识到数学解题过程中函数思维的重要性，认识到在面对数学问题时函数思维能够对解题所起到的关键作用.在实际教学中需要数学教师把握学生特点，在教学中不断强化函数思维的渗透，在面对不同题目时引导学生使用函数思维拆解数学问题，从而培养学生的数学逻辑思维，强化学生的自主学习能力和数学探究能力.

参考文献：

[1]邱吉. 基于深度学习的初中数学解题深度教学研究[D].喀什大学，2021.

[2]童继红.函数思维在中学数学解题中的应用研究[J].天津教育，2020（33）：147-148.

[3]刘银妹.基于核心素养视角下初中数学解题教学策略分析[J].知识文库，2021（08）：165-166.

[4]章青钦.分析函数思维在初中数学解题中的应用路径[J].数学学习与研究，2020（09）：140.