小技巧解决大难题

王秀芹

【摘要】数学是一门自然科学，蕴含了许多重要的科学理论，很多人感觉数学难学，主要是因为没有把握住其中的内涵，没有掌握数学中的一些规律和技巧.初中阶段的数学，一些几何题常常让同学们感觉到头疼，有时会百思而不得其解，今天我就给大家介绍一些重要的解题技巧，让难题迎刃而解.

【关键词】初中数学;解题技巧;解题思路

1 题目中出现75°，105°的角，要从角的内部作垂线，构造直角三角形

例1 如图1，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=6，则AE=.

技巧点拨 此题中通过∠CDB=90°，∠DCA=30°得出∠AEB=60°，又因为∠ABD=45°，从而求出∠BAE=75°，对于75°的角我们就可以用上规律，从角的内部作垂线，构造直角三角形，从而求解.

解 因为∠CDB=90°，∠DCA=30°，

所以∠CED=60°，

所以∠AEB=60°，

作AF⊥BD于点F，

因为∠DAB=90°，AB=6，∠ABD=45°，

所以AB=AD=6，

所以 BD=62，

所以AF=AB·ADBD=6×662=32，

所以cos30°=AFAE=32AE，

所以AE=26.

例2 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC与点F，则求CF的长.

技巧点拨 通过计算可以得出∠DAF=75°，根据技巧从A往DE上作垂线，构造直角三角形，从而求解.

解析 过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质知：

因为AD=AE，∠DAE=90°，

∠CAE=∠BAD=15°.

所以∠AED=∠ADG=45°

在△AEF中，∠AFD

=∠AED+∠CAE=60°.

所以在Rt△ADG中，AG=DG=AD2=32.

所以在Rt△AFG中，tan∠AFG=AGGF，

所以GF=6，

所以AF=2FG=26，

所以CF=AC-AF=10-26.

总结 105°的角的方法是一样的，在这里就不多举例了.

2 题目中出现120°，135°，150°的角，不要在内部破坏，要用它的外角构造直角三角形来求解

例3 如图3，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=18.

（1）求BC的长;

（2）利用此图形求tan15°的值（结果精确到0.1）.

技巧点拨 因为∠C=150°，所以不要破坏这个角，根据技巧作延长线，用它的外角30°来构造直角三角形，再利用题中其他一些等量关系就能求解.

解 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图4.

因为∠ACB= 150° ， 所以∠ ACD= 30°.

在Rt△ADC中，AC=4，∠ ACD= 30°，

所以AD=12AC=2，

所以CD=ACcos30° =4×32=23，

所以在 Rt△ABD中，tanB=ADBD=2BD=18，

所以BD=16，

所以BC=BD-CD=16-23.

（2）在BC邊上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图4.

因为∠ACB= 150°，

所以∠AMC=∠MAC=15°，

所以tan15°=tan∠AMD=ADMD.

=24+23=2-3≈0.3.

总结 题中遇见120°，135°的角，同样是作延长线用外角来解决.

3 一线三直角的技巧.

理论基础 利用一条线上有三个直角推出三角形相似，利用相似列出等量关系，从而迎刃而解.如图5：在线段BC上，作AB⊥BC，FC⊥BC，且作AE⊥EF.则△ABE∽ △ECF，则ABCE=BECF=AEEF，利用相似（全等）列出的这组等式，就能解出所求.

总之，因为有些几何题需要作辅助线，所以就会感觉有难度，有很多的大方面的找等量关系的理论，例如勾股定理、锐角三角函数，全等、相似等等，上述几个小技巧对解决这类几何问题是非常有效的，希望能对你的几何学习有所帮助，帮助你提升信心，对几何学习产生更大的学习兴趣.