玩转尺规作图 积累活动经验

刘仍轩

【摘 要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》增加了“尺规作图”的有关内容和要求。本文结合“认识线”“三角形的认识”“周长的认识”“三角形的三边关系”四节课例，从课程标准的新要求、教材修订的新设想、教学实践的新探索、教育价值的新思考四个方面，阐述了在小学阶段通过“尺规作图”的教学如何让学生在玩中学、做中学、创中学，积累活动经验，培养几何直观、推理意识和数学品格，最终提高学生的数学核心素养。

【关键词】数学教学 尺规作图 活动经验

在空间与图形领域的第二、三学段，增加了尺规作图的有关要求。除保留传统的“用圆规画圆”之外，分别在“内容要求”“学业要求”“教学提示”中多次出现“用直尺和圆规……”的有关描述。何为尺规作图？在小学引入尺规作图有哪些教育价值？学生以什么样的方式开启尺规作图体验之旅？又如何将积累的活动经验应用到后续的学习中？本文以四节课的教学实践为例，阐述学生玩转尺规作图、积累活动经验的新尝试。

一、课程标准的新要求

（一）尺规作图

尺规作图是起源于古希腊的一个古老的研究课题，指用没有刻度的直尺和圆规，在有限次数的前提下，解决不同的平面几何作图问题。2022年版数学课标在案例26“用直尺和圆规作等长线段”中也明确指出，这里的直尺是指“无刻度的直尺（或不看直尺的刻度）”。

数学教育家傅种孙曾指出，直尺，既直又长;圆规，腿长而且开闭灵活。它们有定线、作圆、求交点三种功能。尺规作图将工具限定为无刻度直尺和两脚可开合的圆规，虽有限制，两种工具却能相互结合发挥其效能，主要体现在：①过两个已知点作一条直线;②确定两条已知直线的交点;③已知圆心和半径作圆;④确定已知直线和已知圆（弧）的交点;⑤确定两个已知圆（弧）的交点。上述几条也称为作图公法。运用有限工具，探索无限可能，体现了数学的简洁美，也体现了数学学科对培养人的逻辑思维能力和理性精神的重要作用。

（二）課标变化

与2011年版数学课标相比，2022年版数学课标关于尺规作图的有关内容主要体现在两个方面：用直尺和圆规作一条线段等于已知线段;用直尺和圆规画三角形，探索三角形任意两边之和大于第三边。

二、教材修订的新设想

基于课程标准的新变化，我们需要考虑知识结构顺序的调整问题，具体包括以下几个方面。

（一）“周长”相关内容移至“线段、射线、直线”之后

在2011年版数学课标中，“结合实例认识周长”安排在第一学段（1～3年级），而“结合实例了解线段、射线和直线”则安排在第二学段（4～6年级）。2022年版课标关于“周长”和“线段”的内容都安排在第二学段（3～4年级），但由于在“认识周长”内容中增加了尺规作图的有关内容，而尺规作图首次出现在“作等长线段”中，因此针对第二学段的教材结构，需要先学习有关“线段”的内容，后学习有关“周长”的内容，并在相应的单元分别增加有关尺规作图的内容。

（二）“三角形的认识”和“三边关系”需安排在不同的学段

2011年版数学课标中，“认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边”安排在第二学段（4～6年级），现行各版本数学教材将三角形的认识和三边关系也大都安排在同一个单元。而在2022年版数学课标中，“认识三角形和四边形，会根据图形特征对三角形和四边形进行分类”安排在第二学段（3～4年级），“知道三角形任意两边之和大于第三边”则安排在第三学段（5～6年级）。因此，现行教材有关“三角形”的单元需要拆分，分别安排在两个学段，在相应的单元分别增加有关尺规作图的内容。

（三）“周长”的教学安排在“三角形的认识”之后

2011年版数学课标中，由于“认识周长”和“认识三角形”分别安排在第一学段（1～3年级）和第二学段（4～6年级），现行数学教材通常在三年级安排“周长的认识”，在四年级安排“三角形的认识”。

2022年版数学课标中，两部分内容均在第二学段（3～4年级）呈现。关于“周长的认识”“学业要求”“教学提示”均指出，要让学生经历用直尺和圆规将三角形的三条边画到一条直线上的过程，引导学生自主探索三角形的周长，对此，教材中也有相应的呈现。

笔者建议教学时可将“三角形的认识”安排在“周长的认识”之前。关于“三角形的认识”，2022年版数学课标在“学业要求”和“教学提示”中均有如下相关描述：根据角的特征对三角形分类，认识直角三角形、锐角三角形和钝角三角形;根据边相等的关系，认识等腰三角形和等边三角形。所有这些特征中，并未提到有关“高”的内容。马云鹏老师认为，“图形的认识”的重点是认识图形本身的特征，底和高是否是三角形本身的特征需要思考。因此，笔者建议在“三角形的认识”单元只学习三角形的定义、分类等内容，而有关“高”的内容后移至第三学段（5～6年级）“多边形的面积”单元。这样，一是解决了“三角形的认识”前移而有关“垂线”的内容尚未学习的问题;二是在学习周长时可深化认识三角形“首尾相接”的特征;三是在探究多边形面积的过程中产生认识“高”的必要性，体现了学习“高”的价值。

三、教学实践的新探索

教师在小学数学尺规作图的教学实践中应充分思考四个作图内容之间的内在关联。首先，在尺规作图的教学实践中，以“作等长线段”为尺规作图的开启，让学生在初步尝试中感受“尺”和“规”的相互作用。其次，“作等边三角形”及“认识周长”中的尺规作图都可以看作是“作等长线段”的应用。用尺规作等边三角形，是把“作等长线段”由一维拓展到二维空间，学生感受到画出一条等长线段后，只有借助直尺和圆规，才能找到等边三角形的另一个顶点，进而作出等边三角形，也可以进一步感受三角形的特征;在认识周长时，则需要经历三次“作等长线段”的过程，直观理解周长的概念，也可以进一步巩固三角形的特征。最后，运用尺规作图探索三角形的三边关系时，学生不仅可以借助尺规作三角形，还可以结合尺规作图的过程进行推理，该过程可视为学生对尺规作图的深化应用。

基于此，在教学实践中，以尺规作图四个内容之间的联系为切入点，以螺旋上升的结构进行整体架构，让学生在玩一玩、比一比、画一画的活动中，拾级而上，打通关联，形成思维链，不断积累数学活动经验，循序渐进地促进数学核心素养的提升。

（一）初探尺规，作等长线段

在“认识线”一课中，当学生认识了线段之后，教师引导学生用直尺和圆规作给定线段的等长线段，感知线段长度与两点间距离的关系。这是学生在小学阶段第一次接触尺规作图，是后续学生继续学习尺规作图的起始和基础。

教学片段1：

师：你能想办法画一条与已知线段AB长度相等的线段吗？

生：可以用尺子测量线段AB的长度，然后再画与它相等的线段。

师：大家都想到了用有刻度的直尺测量、描画。如果我们手中没有测量的工具，可以怎么画呢？请同学们开动脑筋，试一试。

生：我用本子比着这条线段，然后在本子边缘处标上线段端点的记号，把本子移到空白处，借助记号标出两个端点，再把两个端点连起来，这条线段就与已知线段一样长。

师：你的方法很巧妙。老师刚才看到，有的同学用本子，还有的同学用铅笔，用了做标记的方法画出了等长线段。我们还可以借助一对“好朋友”来帮忙——直尺和圆规。不过这把尺子可没有刻度，敢挑战吗？把你的想法在小组里交流一下。

（学生尝试探索，玩圆规，了解圆规构造、特性等）

师：哪位同学和大家交流一下？

生：我先用直尺画一条直线，在直线上先画出线段的其中一个端点。然后把圆规的两脚分别放在已知线段的A和B两个端点上，保持圆规两脚尖距离不变，把圆规的针尖对准刚刚画出的那个端点上，然后用圆规铅笔在直线上画一道弧，弧线与直线相交的这个位置就是线段的另一个端点，这样，这条线段就与给出的线段一样长了。

师：用直尺测量、用物體作记号和尺规作图，这些不同的方法之间，有什么联系？

生1：它们都可以画出与已知线段等长的线段。

生2：都是先确定了线段的端点再连接。

师：确定了线段的两个端点，这条线段也就确定了。那么，在作图过程中，直尺和圆规都有什么作用呢？

生：直尺可以帮助我们确定直线或线段，圆规可以帮助我们确定给定线段的长度。

上述教学片段中，由于学生缺乏尺规作图的经验，教师引导学生在操作中不断地过渡和深化，感受“尺规作图”的优势和价值。在抛出“想办法画与已知线段相等的线段”问题后，教师引导学生从用有刻度的直尺画，到借助本子做标记画，再到探究“尺规作图”，层层递进地进行探究，让学生感受尺规作图的简洁和作用。

教学片段2：

师：现在只给一个点，如果以这个点作为线段的一个端点，你能再次借助圆规和直尺画出与它等长的线段吗？

（学生尝试操作）

生：我先用圆规的针尖和铅笔分别对准已知线段的两个端点，保持圆规两脚不动，把针尖对准给出的这个点画弧，用铅笔在弧上找一个点，把两个点连接起来，这样，这条线段就和已知线段的长度相等了。

师：用圆规画出了小弧线，在小弧线上找到一个点，连接起来画出等长线段。那弧线上还能找出这样的点吗？

生：弧线上能找到无数个点。

师：这样的线段能找到多少条？你有什么发现？

生：所有这条弧上的点与已知点之间的线段长度都是一样的。

上述教学片段中，学生经历了给出一个点画等长线段的探索过程，随着探究的不断深入，学生逐渐感受到圆弧上任意一点与已知点的距离都相等，将“作等长线段”的内涵进行了深化，为后续的学习打下了良好的基础。

（二）应用拓展，作等边三角形

在“三角形的认识”一课中，学生学习了什么是三角形和三角形的分类以后，教师可以尝试让学生运用尺规画一个等边三角形。教师给定几条线段供学生选择，引导学生基于“作等长线段”的经验，从一维到二维，探索作等边三角形的方法。

教学片段：

师：这里有几条线段，可以选择它们其中的一条为边长作一个等边三角形。请你先想象你要作的等边三角形的样子，再动手操作（见图1）。

（学生尝试动手操作，教师组织学生进行交流）

师：还有其他的画法吗？

师：为什么只用直尺测量长度后画的不标准？

生：只用直尺很难正好找到三角形的第三个顶点，用圆规可以画弧，就很容易找到第三个点了。

师：观察用尺规画出的这些不同的等边三角形，你有什么发现？

生1：我发现这些三角形都是首尾相接的三条线段围成的。

生2：我发现尽管这些等边三角形的大小不同，但它们的形状都是一样的。

上述教学片段中，学生在会用尺规作等长线段的基础上，从给定的不同线段中选择一条线段为边作等边三角形。在交流其他画法的尺规作图的过程中，学生用圆规截取等长线段画弧，寻找三角形的三个顶点进而用直尺连接三角形的三条边，在动手操作中进一步感受三角形是由三条线段首尾相接围成的图形，感受尺规作图的优势。在学生呈现出用尺规作的边长不等的等边三角形后，教师组织学生进行讨论，感受这些等边三角形虽然大小不同但形状唯一，帮助学生巩固等边三角形的特征。

（三）再探尺规，明晰周长本质

“周长的认识”一课中，在学生初步感知图形一周边线的长度就是它的周长这一概念后，教师出示一个三角形，布置动手操作任务，让学生借助积累的“作等长线段”的经验，探究三角形的周长。

教学片段：

师：你准备怎样测量下面这个三角形的周长（见图2）？

生：可以分别量出线段AB、BC、CA的长度，再把它们的长度加起来，结果就是三角形的周长。

师：你能试着用没有刻度的直尺和圆规把三角形的三条边画在一条直线上吗？

（学生尝试动手操作，教师组织学生进行交流）

生：我先画一条直线，再用圆规截取线段AB的长度，在直线上画线段AB，再继续以B为端点，截取线段BC的长度画线段BC，再以C点为端点，以线段AC的长度画线段CA´，弧线与直线的交点为点A´，线段AA´的长度就是三角形的周长，我量得三角形的周长是10厘米（见图3）。

师：为什么线段AA´的长度就是三角形的周长？

生：因为用圆规作出的线段AB、BC、CA´的长度与三角形的三条边对应相等，而且AB、BC、CA´三条线段是首尾相接的，也就是AB+BC+CA´=AA´，所以AA´的长度就是三角形的周长。

师：作图的时候，你有什么要提醒大家的吗？

生：把三条边画在直线上的时候一定要首尾相接，只有首尾相接，画出来的线段的长度才是三角形的周長。

师：你的思维真严谨，说得有理有据。除了可以以点A为起点画出三角形的三条边，还可以怎样画？

生：还可以从点B和点C展开。

师：这三种方法有什么不同点和相同点？

生：起点位置不一样，画的边的顺序也不一样，但都把三条边首尾相接画在了一条直线上，他们的总和是不变的，都是三角形的周长。

师：无论选择哪个起点展开作图，三角形的周长都等于它三条边的和，与边的前后顺序无关。

师：再来对比一开始测量周长的方法和尺规作图的方法，又有什么不同？

生：一开始测量周长的方法是先分段测量然后再求和，尺规作图的方法是先展开后测量。

师：是呀，不管哪种方法都是把三条边的长度加起来，就是它的周长。

上述教学片段中，在核心问题“你能试着用没有刻度的直尺和圆规把三角形的三条边画在一条直线上吗”的引领下，学生借助尺规作图，将三角形三条边的长度之和转化为一维的线段长度，可以使学生深刻地感悟周长的本质，又进一步加深了对三角形“首尾相接”的理解。在此基础上，教师引导学生思考“还可以从哪个顶点展开”“这几种方法有什么不同点和相同点”等问题，学生在手脑并用做数学、想数学的过程中进一步丰富了对“周长”概念的理解。

（四）深化明理，探索三边关系

在“三角形的三边关系”一课中，针对“能围成三角形的三根小棒，它们的长度之间有怎样的关系”的问题，教师可以引导学生先尝试画一个三角形，在此基础上，借助尺规进一步探究三角形的三边关系。

教学片段1：

师：要想研究三角形三条边的关系，我们先画一个三角形。这里有三条线段，请你以这三条线段为边，用无刻度直尺和圆规画一个三角形，边画边体会三角形三条边的关系（见图4）。

（学生借助尺规画三角形）

师：你是怎么画的？

生：先用直尺画一条射线，用圆规截取线段c的长度，画出一条边，标上字母BC，再用圆规量出线段a的长度，从B点出发画弧线，再截取线段b的长度，从C点出发画弧线，找到它们的交点，再用直尺连接交点，就作出了三角形ABC（见图5）。

师：为什么这两条弧的交点是三角形的第三个顶点呢？

生：因为这一点既满足到B点是线段AB的长度，又满足到C点是线段AC的长度。

师：观察一下自己和同伴画出的三角形，你有什么发现？

生：我们画出的三角形的大小和形状都是相同的。

师：结合画的过程，你认为围成三角形的三条边的长度有什么关系？

生1：上面的两条边要搭起来，才能作出三角形。

生2：搭起来的这两条边的长度之和一定要比另一条边长。

师：是这样吗？请你用喜欢的方法验证，然后将验证的方法和同伴交流一下。

生1：我把相交的两条弧落下来，发现它们中间有重合，说明上面两条边加起来比下面这条边长。

生2：我借助圆规，把AB与AC的长度连在一起，和BC比较，发现AB+AC>BC。

（教师转动三角形，使AB边在最下面）

生3：AB和BC加起来也比AC长。

生4：我画的三角形和老师转过来的一样，下面本来就是最短的线段，那两条边之和当然大于下面这条边了，所以BC+AC>AB。

师：你能概括地说一说，这个三角形三边之间有什么关系吗？

生：三角形任意两边之和大于第三边。

学生已经有用尺规作等边三角形的经验，教师放手让学生借助已有的三条线段作一般的三角形，在作图的过程中初步感受三角形的三边关系。教师进而引导学生基于作图进行思考，直观地感受三角形上面的两条边搭起来的长度之和大于底下的边。教师又进一步组织学生交流，引导学生多角度思考，引发学生提出“三角形任意两边之和大于第三边”的猜想。

教学片段2：

师：刚才，我们在这一个三角形中有了发现，是不是所有的三角形都是这样呢？

师：这里有几组线段，你们可以借助这几组线段进行研究，也可以在刚才作的三角形的基础上进行验证（见图6）。

（学生进行探索和研究）

师：你们刚刚从三条线段能围成和围不成三角形两个角度进行了验证，现在能解决我们开始提出的问题了吗？能围成三角形的三根小棒，它们的长度之间有什么关系呢？

生：三角形任意两边之和大于第三边。

学生提出初步的猜想以后，教师引导学生借助尺规进行验证，学生可以根据教师提供的线段进行研究，也可以借助已有的三角形进行研究。交流中，有的学生借助教师提供的线段尝试作三角形，验证围成、围不成的情况;有的学生从已有三角形出发，固定其中一条边不变，在不断缩短另外两条边的过程中，体会当两条边长度之和大于第三边时，能围成三角形，在直观的变化中进一步发现、验证规律。

综上所述，学生历经四次尺规作图的活动，从“作等长线段”到“作等边三角形”中将一维拓展为二维，再到“认识周长”中将二维转化为一维，继而在“三角形的三边关系”中借助尺规在三角形一边固定不变而另两边不断变化中探寻、感受规律，学生将作图经验不断应用到后续的探索中，在变与不变中明晰原理、厘清本质，认知从肤浅走向深刻、从单一走向丰满、从粗略过渡到精准。

四、教育价值的新思考

尺规作图植根于几何图形的内在特征和图形之间的联系，作图的过程不仅仅是一种操作，更是数学探究和思维的过程，是联系、重构、内化几何知识的过程，是培养学生几何直观、推理意识和数学品格的有效载体。上述四节课中对尺规作图的实践应用，体现了教师对学生数学核心素养的培育。

（一）以尺规作图育几何直观

史宁中教授指出：“平面几何的教育价值何在？我以为除了公认的几何证明外，就是培养几何直观能力了。”几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯，能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类;根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质;建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型;利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。几何直观有助于学生把握问题的本质，明晰思维的路径。

在“认识线”的教学中，教师引导学生思考：“如果没有测量工具，可以怎么画？”在探索不同工具的过程中，学生感受到尺规作图的简洁、直观，巧妙地解决了“作等长线段”的问题，从形象的思维视角逐步向抽象的空间形式转化，有助于学生几何直观能力的培养。

在“三角形的认识”教学中，教师引导学生自主选择线段作为边长作等边三角形，学生借助尺规，根据已有线段逐步构建出等边三角形，经历了“想象—操作—说理—比较”的过程，发展了学生的几何直观能力。

在“周长的认识”教学中，教师引导学生借助尺规依次度量三角形的三条边，并将其首尾相接连成一条长线段，学生直观地理解了周长概念的本质，将抽象的关系与外在可感的图式建立有力的联结，促进思维由具体直观逐步向更高级、更抽象的空间形式转化，发展了学生的几何直观能力。

在“三角形的三边关系”教学中，教师先是引导学生借助尺规作一般的三角形，学生直观地感受到只要三角形的三边确定，三角形的形状就是唯一的，直观地感受了三角形的稳定性。接着，学生在用尺规探究三角形的三边关系时，直观地感受“围成”和“围不成”的情况，发展了学生的几何直观能力。

（二）以尺规作图育推理意识

推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟，知道可以从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论;能够通过简单的归纳或类比，猜想或发现一些初步的结论;通过法则运用，体验数学从一般到特殊的论证过程;对自己及他人的问题解决过程给出合理解释。推理意识有助于学生养成有条理的思维习惯，增强其交流能力，是学生形成推理能力的经验基础。

在“认识线”的教学中，教师给定一个点，让学生再次尝试画等长线段，进而引发学生思考“这样的点在弧上还能找到吗？能找到多少个”，学生依据“作等长线段”的规则，通过逻輯思考和推理，推出“只要在弧上任意选一个点和给出的点连接，都能得到等长线段，这样的线段有无数条”的结论。如此，学生的推理意识得以发展。

在“三角形的认识”教学中，教师引发学生思考“你是怎样找到三角形的第三个顶点C的”，学生基于尺规作图的过程进行反思，明晰三角形的第三个顶点只有与另外两个顶点的距离都相等才是等边三角形，进而确定两弧的交点即为等边三角形的第三个顶点，发展了学生的推理意识。

在“周长的认识”教学中，学生经历了把三角形的三条边画在一条直线上的过程之后，教师引发学生思考“为什么长线段的长度就是三角形的周长”，引导学生明晰图形的周长等于图形所有边的和。学生思维从操作实验的直观具象逐步向推理论证的严谨抽象过渡，丰富了学生对周长概念内涵的深刻理解。

在“三角形的三边关系”教学中，教师引导学生从作出的已知三角形出发，先猜想三角形的三边关系，进而展开验证。有的学生选取教师提供的几组线段进行验证，有的学生在原有三角形的基础上，固定一边不变，逐渐缩短另外两条边，学生在动手操作、验证猜想、归纳说理的过程中，感悟三角形的三边关系，发展推理意识。

（三）以尺规作图育数学品格

对数学教育而言，数学品格是比数学思想和数学意识更上位的价值追求，它是一种不断生成、不断累积并富有持久生机的知识，也是数学教育的原点，数学品格集中体现在思维严谨与理性精神两个方面。尺规作图以其直观、简洁、细致的操作，以及严密的思考，凸显了数学独有的文化魅力，培育了学生的数学品格。

在“认识线”的教学中，学生尝试用自己的思维方法去解决问题，通过叙述作图步骤将自己的想法充分表达，学生在独立思考、探索创新的过程中，形成善于质疑、善于反思的理性精神。

在“三角形的认识”教学中，学生借助尺规作等边三角形，进而有理有据地说明怎样确定三角形的三个顶点及三条边，明晰作出的图形为什么是等边三角形的道理。这种追根溯源的说理有效地培养了学生思维的条理性和严谨性，有利于学生养成严谨的数学思维品质。

在“周长的认识”教学中，学生运用尺规将周长转化为一维的长度，从直观的思维视角观察、思考、分析，在交流表达的过程中，感受逻辑推理的严谨美、 精准表达的简洁美和精确刻画的细致美，形成思维缜密、有理有据的思维品质。

在“三角形的三边关系”的教学中，学生借助尺规作图画出的三角形展开对三边关系的合理猜想，进而用不同的方法进行验证，并“持之有故，言之有理”地表达验证的方法及过程，在求真求实中滋养理性精神。

尺规作图是人类理性思维的瑰宝，是科学和艺术的完美结晶，体现了“真善美”。作为小学数学教学的新增内容，尺规作图扎根几何知识本质，助力学生数学思维发展，是学生几何学习的有力抓手，教师应充分探索其教学实施路径，发掘其教学价值，以尺规作图培育学生的数学核心素养。