积分上限函数求极限：理解公式与技巧互嵌

贾天理，王奕都，何奕恒，都怡汝，何宝源

(成都锦城学院：a.通识教育学院；b.智能制造学院，四川成都 610097)

在高等数学学习中，极限是一个最基本的概念，它贯穿着整个微积分的始终，掌握求极限的方法是学好高等数学的基础。但是普遍现象是学生都不太愿意去学，而且学得也不是很好，经常是一知半解的[1]。针对不同函数的特点求它的极限会有多种不同的方法，积分上限函数是一类重要的函数，它是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分上限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，在许多场合都有重要的应用，它最著名的应用是在牛顿-莱布尼兹公式的证明中[2]。在各种《高等数学》或《微积分》的教材中，主要针对的是简单的含积分上限函数问题求导的讨论，对积分上限函数求极限的方法讲解得都比较简略，以致很多学生都把这个知识点作为难点内容予以舍弃，对于被积函数中存在抽象函数的求极限问题，更是少有涉及和讨论。而积分上限函数求极限是高等数学中一个重要的知识点，是学生考研和高等数学竞赛中的常备知识、常考内容。在各种《高等数学》或《微积分》教材中，主要针对简单的公式型含积分变限函数求导问题进行讨论，而对于被积函数中也存在求导变量的求导问题，却少有涉及和讨论。常规的处理该类问题的方法较为繁杂，学生学习时掌握起来较为困难[3]。因此，值得高等数学教师和学生更多关注和研究。

一、概念与公式的理解

（一）定义及性质

图1

（二）对积分上限函数Φ( x)=f(t)dt的理解

积分上限函数的难度系数不算是很高，在高等数学考试中，积分上限函数是一个必考的知识要点。然而学生在求积分上限函数极限的过程中，由于计算程序复杂、步骤较多，求解过程中若有任何一个步骤出错就会得出错误的结论。我们注意到，学生练习过程中经常去死搬硬套课本上的求解方法，结果导致计算错误，因此对积分上限函数的理解非常重要。

4.既然Φ(x)是一个函数，就可以讨论它的各种特性，在满足一定条件下就可以进行各种运算，求极限是其中的一种运算。

（三）积分上限函数求导数，求导定理的使用方法

二、积分上限函数求极限，运算性质应用与技巧互嵌

含积分上限函数求极限的问题，可归纳为如下三种基本情况，下面以三种考试题型为例进行分析，给出一般的求解思路与方法。

（一）基本题型求极限，采用循规蹈矩的方法

（二）复杂题型求极限，采用技巧互嵌的方法

说明 解题中我们多次用到了等价无穷小的代换，之后才使用洛必达法则，这样求极限就比较方便了。

（三）抽象函数求极限，采用以小见大的方法

说明 当求极限遇到被积函数里边含有抽象函数时，就需要考虑使用积分中值定理去求了，这就是“以小见大”解决极限问题的手法。

三、结束语

积分上限函数是一类重要的函数，它是产生新函数的重要工具，尤其它能表示非初等函数，只有将数学思想、概念、公式和法则通过不断积累并逐渐内化为自己的技巧，才能实现学好大学数学的重要目标。积分上限函数除了拓展我们对函数概念的理解外，它还可以将积分学问题转化为微分学的问题来研究，在许多场合都有重要的应用。因此，有必要对其进行较广泛和深入地探讨，以便对其有一个较全面地认识和较深刻地掌握。计算积分上限函数的极限是大学数学及考研数学的重要考查内容，求解积分上限函数的极限需用到换元法、积分中值定理、重要极限公式、变限积分的相关性质、变限积分的等价无穷小代换、夹逼准则，以及洛必达法则等多种高等数学的求极限方法，做题时不确定因素很多，我们要学会合理使用所学方法，教学与复习中需要熟练掌握这部分知识。应用积分上限函数的求导方法，还可解决如求函数的单调区间、极值、隐函数的导数以及偏导数求解等相关问题，下一步我们将再进行相关研究与交流。