初中数学解题中化归法的实践运用探讨

林瑞静

【摘要】初中数学有多种方法、路径的解题方式，而其中的化归法能够引导学生将复杂的数学问题简单化，且能够有效锻炼学生的合理转化思维，对培养学生的化归解题思维具有一定的意义.本文将结合初中数学有关内容对学生的化归解题思维培养展开研究，以引导学生掌握化归法的解题方式，进而提升学生的数学解题效率.

【关键词】初中数学;化归法;运用;分析

学生要高效、快速地解答数学问题，就必须掌握合理有效的数学解题方法，而化归法就是诸多数学解题方法中的有效方法.但是，并不是所有数学题目都能运用化归法进行解答，学生要懂得综合数学问题的难易程度，并且学会将题目中的条件进行有效转化，提升自身的数学解题效率，而这些都需要学生长期有效的练习才能最终形成解题的习惯.

一、化归法的实践运用原则

（一）熟悉化

学生运用化归法解答数学问题，可将复杂的数学问题化归为自己较为熟悉和容易的数学问题，以更好地运用数学知识进行问题的解答.因此，在运用化归法时，学生应该懂得遵循解答的熟悉化，将遇到的数学难题化归为自己熟悉的问题，以使得自己能够明白、知道可以运用哪些数学知识进行解答，从而快速、高效地解答数学问题.

（二）直观化

对于一道数学问题，学生想要解出答案，就必须懂得挖掘其中的数学信息条件，并利用自己大脑中的数学知识进行解答，这样才能有效解出正确的数学答案.但是，不是每一道数学问题中的信息条件都是直接给出的，往往存在许多的隐含条件，而这些都需要学生懂得运用良好的数学解题思维进行挖掘.其中，运用化归解题思维就可以将数学题目中的信息条件直观化，从而為解答问题做好准备.

（三）合理化

在教学中，教师既要要求学生分析题目中是否可以运用化归思维，也要引导学生将题目中的信息进行及时归纳，以促使学生做到化归解题的合理化，从而引导学生树立良好的数学解题习惯，帮助学生构建良好的化归解题思维.

二、初中数学解题中运用化归法的策略

（一）方程解答中的运用

与其他解题方法不同，运用化归法的一个重要特点就是学生不能直接去分析和解答数学问题，而是先将信息复杂且具有一定隐含条件的数学问题进行适当转化，化归为自己容易解决的数学问题，然后根据分析后的数学问题选择自己所学的数学概念、定理，从而解答出数学问题的答案.但是，不是所用的数学问题都能运用化归法解答.在解答初中数学解方程组问题中，学生就可以运用化归法进行数学问题的解答，但要懂得分析方程组是属于二元一次方程组还是三元一次、二元二次方程组，从而运用化归解题思维，对方程组进行降次或者消元，以使得方程组能够化归为易于解决的问题.

例1 解方程组

ab+a+b=-13，

a2+b2=29.

解题分析：观察上述方程组，我们可以发现方程组为二元二次方程组，学生运用目前的知识无法解决，但运用化归思维可以将看似复杂的方程组问题简单化，从而运用所学的数学方程解答方法进行问题的求解.学生可以同时进行降次和消元，并结合代入思维进行数学问题的解答.

解题过程：令x=a+b，y=ab，

则x+y=-13，x=-13-y…①，

那么a2+b2=29，x2=a2+b2+2ab=29+2y.

将①代入，得169+26y+y2=29+2y，

即y2+24y+140=0，得y=-10，x=-3 或y=-14，x=1，

由a+b=-3，ab=-10，解得a=-5，b=2或a=2，b=-5.

由a+b=1，ab=-14，解得a=1-572，b=1+572 或a=1+572，b=1-572.

解题反思：在解题的过程中，学生既要保持清醒的头脑，也要主动利用化归思维去解答数学问题，以将复杂的方程组进行化简，从而化为简单的方程进行解答，再将解答出来的结果代入原方程组中，最终解出原方程组中未知数的值.这些都需要学生有序、有规则地利用化归思维，如学生只是贪快，而忽略了方程组的关系，就会导致解答的错误.

（二）几何解答中的运用

初中数学几何问题也是一个学习和解答的难点，它考验学生的空间和逻辑思维能力.学生需要懂得自我构建几何抽象图形，并学会从自己的思维习惯来解答问题，这样的数学解题才具有效率.但是，很多学生一拿到数学问题就习惯性地盲目解答，很少去寻找更为便捷的解题路径.比如，在解答一些较为复杂的数学平面几何问题时，有些学生只是记住了几何定理，但只要教师稍微对几何问题进行变式，他们就不会解答了，其主要原因还是学生不会寻找几何问题的有效解题路径，同时缺乏对几何定律的有效理解和认知.因此，在解答初中数学几何问题中，学生仍然需要锻炼自身的数学解题思维，学会运用化归的思维进行问题的解答，从而将复杂的几何问题简单化.

例2 如图1，A，B两点在直线l的两侧，点A到直线l的距离AM=4，点B到直线l的距离BN=1，且MN=4，P为直线l上的动点，则|PA-PB|的最大值为多少？

解题分析：从几何图形中，我们可以知道这是一道关于三角形的几何最值求值问题，但题目中给出的数据信息并不多，且难以发掘其中存在的联系，这就需要学生利用化归思维，对这道题进行适当的化归，以化成自己熟悉的几何问题.其中，学生可以从作图和轴对称变换角度运用自己所学的勾股定理进行问题的解答.比如，作点B关于直线l的对称点B′，则可以得到PB=PB′，从而促使|PA-PB|=|PA-PB′|，进而学生可用平行线及勾股定理等知识点求出最值.

解题过程：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长交直线l于P，B′N=BN=1，过B′点作B′D⊥AM于点D，利用勾股定理求出AB′=5，

∴|PA-PB|的最大值为5.

解题反思：学生若直接求解，会浪费大量的时间，而只要学生懂得将上述几何图形进行转化和归纳，就可以求解出几何问题的答案.比如，学生可以利用作线段的方法，构建题目中几何线段之间的关系，从而利用其中的关系求解出问题的答案.

（三）函数解答中的运用

在大多数初中数学考试当中，函数问题属于比较普遍和基本的数学知识考核点，但仍有很多学生不能有效解答函数问题，这与学生缺乏良好的数学解题思维有关.其实，学生依然可以用化归法对函数问题进行解答，将复杂的函数问题简单化，从而促使数学解题变得更高效.首先，教师可以引导学生应用化归法将初中数学函数问题简单化，然后，促使学生利用已经学习过的函数知识去研究新函数问题的规律，从而降低函数问题的难度，帮助学生树立数学解题的信心.

例3 在下图中，反比例函数y=-8x与y=-x+2的图像交于点A和点B，请求出两点的坐标.

解题分析：在解答函数坐标问题时，学生应该懂得利用化归思维将函数问题转化为自己熟悉的解方程组问题，从而实现数形结合的有效转化，归纳出有效的数学解题路径.比如，构建方程组，即y=-8x与y=-x+2所组成的方程组，从而求解出二者交点的坐标.

解题过程：列解方程组y=-8x，

y=-x+2，即x1=4，

y1=-2，x2=-2，y2=4.

则A（-2，4），B（4，-2）.

解题反思：无论函数图像怎样复杂和多变，只要我们懂得有效分析函数题目所求的內容，就可以构建知识点间的联系，即在题目中寻找两个函数的重叠之处，就可以获知交点的坐标.教师引导学生将函数问题转化为方程组的简单解析问题，就可以让学生的解题更简便，最终促使学生不再因为解题的烦琐而放弃作答.

三、化归法在初中数学解题中的重要性

（一）推陈出新，拓展解题思路

初中学生往往对于未见过或者未熟练掌握的题型产生恐慌和困惑，无法找到解题切入点.教师应该针对这种情况，结合学生已经掌握的题型解答方法，将旧题型的解题思路和化归法解题进行对比，让学生更直观、更高效地产生深度理解，促进学生对化归法的运用和掌握，从而在之后的解题当中做到游刃有余.

例4 已知x2+y2+2x-4y+5=0，求解x和y.

在这道题中，一个方程式出现了两个未知的变量，学生的困惑也随之而来，对于解题无从下手.所以，为了学生更好地理解和使用化归思想，教师就会先给学生展示两个题目，一是：x2+2x+1=0，求解x的值;另一个是：y2-4y+4=0，求解y的值.当学生看到这些数学问题时，能够通过以前的知识顺利解答出来.紧接着，教师向学生展示（x+1）2+（y-2）2=0，这样一来，学生很容易就得出了正确的答案.

结合案例我们不难看出，即便一些题型是学生没有熟练掌握或者根本没有见过的，但是万变不离其宗，只要学生具备一定的数学解题基础，在掌握化归法之后，也可以做到高效解题.教师在教学实际当中应该注重旧知识和新知识的联动性，做到模块化，再结合数学解题方法，衔接各模块，构建初中数学知识网络和解题框架，让学生形成系统化、框架化的知识体系，促进数学知识的前后衔接、融会贯通，促进对学生学科核心素养的培育，提高其数学解题能力.

（二）去复杂化，解题更简捷

将化归思想用到复杂的问题中去，能够将复杂的问题简单化.教师在初中数学解题教学当中，一定要注意培养学生对于题目的宏观化理解，只有立足于宏观角度，才能深度剖析题目，简化解题的路径.教师可以通过有效地引导式教学帮助学生建立这种解题习惯，再辅以反复的练习与强调，培养学生高效的解题习惯，从而让学生充分意识和理解解题的根本思路，即将问题简单化，有效降低解题难度，在这种潜移默化中提高学生的学习能力，培育学生的学科核心素养.

如在“一元一次方程”的讲解中，教师可以要求学生按从简单到复杂的原则进行学习，当学生了解方程变形的目的的时候，就会很容易地解答方程问题.如果遇到非常复杂的一元一次方程，学生也会通过自己独特的解答方式将方程转变为x=a的形式，即方程的解，使复杂的一元一次方程求解变得简单.

（三）已知条件利用最大化，解题更高效

初中学生在数学学习当中往往会碰到不会解的题型.一方面，这种难题可以锻炼学生的解题能力，更可以提高学生的计算水准，促进数学学科素养的培育;另一方面，可以筛选出数学天赋强的学生加以培养.一般这种难题具备复杂性，学生只有有效结合题目已知条件去挖掘隐藏条件，才能通过复杂的运算得出结果.所以，初中学生学习数学首先要能对已知条件进行挖掘和归纳，如此才能将问题简单化、直观化，这也是化归法在初中数学解题当中的重要作用.

四、结 语

综上所述，初中数学解题方法有多种，而化归法是提升学生解题能力的有效方法.因此，在解答初中数学问题时，教师应该结合函数问题、方程问题及几何问题等，教会学生如何运用化归思维解答数学问题，从而促使学生能够利用化归思维高效解题.

【参考文献】

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