基于概念教学 让数学思维拔节生长

江梦瑶

摘 要：数学概念的形成是一个抽象的过程，《倍的认识》这一节课的教学目标是让学生形成和建立“倍”的概念，掌握解决有关“倍”的相关问题的方法，提升学生学习数学的思维逻辑。本文通过剖析当下，聚焦疑难困惑;追本溯源，理解概念本质;深入挖掘，建立数学模型;回顾反思，彰显概念本质，让学生多次进行对比分析，在质疑中交流，在归纳中抽象出“倍”的概念，真正领悟出“倍”的本质内涵。

关键词：倍的认识;倍比关系;数学思维

数学概念是学生学习数学知识、形成数学技能的基础，“倍的认识”这一节课是学生第一次接触两个量之间的倍比关系，为以后学习“分数”，“百分数”，“小数”和“比”打下基础。《课程标准》提出，要充分了解学生的认知发展水平和具备的生活经验，以学情为基础来确定概念数学的教学目标，使得目标具有针对性，准确性和合理性，从而更好地激发学生学习数学的兴趣，建立相应数学模型，提高学习数学的思维能力。

一、剖析当下，聚焦疑难困惑

（一）概念模糊，浮于表面

认知心理学家洛斯认为，记忆中的种种概念，是按照概念的具体例子来表示的，而不是以某些抽象的规则或者一系列相关特性来表示的。比如讲到“倍”时，可能人的意识中首先出示的是直观的圆形和正方形的数量比较，而不是它的形式定义。在“倍的认识”中，学生无法真正深入理解倍就是在两个量的相互比较下产生的，也就是一个量为标准量，另一个量里有几个这样相同的几份就是几倍。在处理“某班男生人数是女生的5倍，男生有30人，求女生有多少人？”的问题上，大多数同学都认为30×5=150人，只有部分同学能准确求出女生是6人，并清楚说明自己的想法。由此可见，概念的教学存在偏差，缺乏形象直观的表征意义，因此增加了学生理解和记忆的难度。

（二）技能缺失，生搬硬套

当下新课标提出的过程与方法旨在学生理解一个新知识之后，还要具备灵活解决该知识点的技能，也就是“会学”。技能是指在某种操作规则或操作程序下通过实践，练习等方式获得的操作技术和运用数学知识解决问题的能力。在“倍的认识”这一节课中，大多数同学通过背诵和机械模仿记住了倍的“三段式”，当真正着手处理相关实际问题，却无从下手，不清楚什么是标准量，找不到标准量，更无法通过标准量去寻找比较量和它的关系。

（三）思维定势，形式单一

数学思维能力主要指的是逻辑思维，具备逻辑思维能力，能够使学生思维开阔，善于总结和归纳，能够将数学中遇到的问题准确推理出来，同时还具备在数学中发现问题，解决问题的一种独特的思维能力。当前学生学习存在的通病是跟着老师的思路，可以解决相关练习，一旦脱离指导，甚至题型略有变化，使得简易数学模型无法直观显现，对他们来说就成了一个全新的知识。学生对倍的认识仅仅停留在标准结构模型上，当面对非标准结构模型的时候，学生认为倍数不存在，束手无策，失去了解决倍数问题的通常策略。如果在教学中加入数学思维能力的培养，那么就能提高学生自主学习的能力和创新能力。

二、追本溯源，研究教学意义

（一）解读教材体系，确定教学方向

“倍的认识”这一节课是新人教版小学数学三年级上册的内容，人教版将其内容安排在三年級上册的好处是知识后移之后使得难度下降，并且在教学利用倍的知识解决实际问题的时候不再受乘除知识的限制，使得知识更具有逻辑性，最后在统一教学利用乘除的相关方法去解决含有“倍”的实际问题的时候，能够让学生对除法含义有更进一步的认识。

这一块内容，它是学生第一次接触“整数倍”，是“量”到“率”的起始课程，是以后学习小数倍，百分数，分数，比等内容的基础，而小数倍，分数，百分数，比等这些概念它们的本质都是“比率，。比率在概念教学中发挥着非常重要的作用，是学生在学习比例和一元函数的基石，关于比率，我做了如下整理，请见图1。

因此，在实际教学中，先要让学生对“倍比”和“差比”有一个清晰的认识，从对“份”到“几个几”再到对标准量以及比较量的认识，理解倍的本质概念。在倍的概念建立之后，要学会应用倍的相关知识去解决“求一个数是另一个数的几倍”以及“求一个数的几倍是多少”的数学问题，不断培养学生解决问题的能力和应用意识。

（一）基于学生学情，制定教学策略

1.追寻知识起点

学习“倍的认识”这一节课之前，学生在二年级已经掌握了乘法和除法的相关知识，理解并且掌握了什么叫做“几个几”以及“包含除”的概念，这些都是学习“倍的认识”的基础知识。二年级“乘法的初步认识”中，学生认识了相同的加数以及相同加数的个数，也理解掌握了乘法表示的就是相同加数相加。乘法和除法两者都表示两个量的关系，与“倍的认识”存在一定的相同点，基于此，学生在理解倍的同时能够和旧知建立起一定的联系。

2.明确学生问题

在学习本节课之前，学生在一年级接触了“比多少”，在二年级的学习中学习了“差比”，倍相对“比多少”来说要更加抽象，不容易理解，学生在学习的过程中也常常将“倍比”与“差比”搞混。尽管在生活中部分学生具备了对倍的认识，也都听说过倍，但每个人的理解层次都是不一样的，对于“标准量”，“比较量”和“倍数”三者的关系是模糊的，也就是缺乏对倍本质概念的理解。

基于这节课的教学对象是三年级的学生，因此，通过对学生学习心理的分析以及生活经验的了解，“倍的认识”教学设计遵循学生主动建构，环环相扣，内化深入的途径，设计出以学情为线索，以活动为抓手，以练习为载体的的教学过程，逐渐完善学生对倍概念的深入理解，掌握解决和倍数有关的实际问题，从而在头脑中建立相应数学模型，不断增强学生的数学逻辑思维，渗透相关数学思想。

三、深入挖掘，建立数学模型

（一）以学情为起点，形成概念本质

1.例题整改，感知概念

心理研究表明，儿童对色彩具有一定的敏感性，但如果研究对象颜色过于鲜艳和丰富，则会影响孩子逻辑思维的延伸性，使得接收的信息短而碎。《倍的认识》这一节课采用的主题图就是色彩鲜艳的红萝卜和胡萝卜，它在视觉上给了学生一定的冲击，但是由于学生无法区分红萝卜和胡萝卜，导致教学无意识向区分两种萝卜靠拢，所以我将主题图改为正方形和圆形。

简单的图形对比图，消除了判断两种萝卜带来的知识负担，使得教学对象清晰直接，从而能更加顺畅引入有关倍的相关知识。同时，利用正方形和圆形这样的材料，可以很好地贯穿整个教学，使得教学流程环环相扣，具有一定的整体性。

2.错中明晰，确定概念

概念的形成不是一蹴而就的，必须主动经历概念的形成过程，教师要善于将学生的错误转化成具有教学意义的重要内容。“倍”是从“加法结构”向“乘法结构”的一个过渡，认知结构发生了质的变化，因此，容易将“倍比”和“差比”搞混。在利用正方形和圆形这一组图形教学3倍关系的时候，学生由于受到“差比”關系的影响，部分学生认为“圆形是正方形的2倍”，如图2。

这是一个非常具有教学价值的观点，它是学生倍的概念与原有认知产生冲突的结果。抓住这个错误信息，继续追问“圆形是正方形的2倍，你是怎么想的？？”引发生生之间的争辩，由认为“圆形是正方形的3倍”的同学来阐述他们的想法，并思考“3在哪里？”，“为什么3个圈？”“明明2个，为什么说成是1？”，连续多个问题之后再提出“把两个正方形看成1份，圆形有这样的3份，我们就说圆形是正方形的3倍”，从而理解倍的概念本质。

（二）以活动为抓手，打破机械模仿

1.对比沟通，形成技能

在小学数学的教学过程中，比较是一种比较常用的方法之一，通过比较，可以激发学生的学习兴趣，辨别异同，深化对知识的理解，打破机械式地模仿，提升解决问题的技能。“倍的认识”这一节课，通过两次改变比较量的数量，在标准量不变的前提下去判断圆形和正方形的倍数关系，接着比较量不变，改变标准量的数量，最后将这两组进行对比分析，如图3所示。

学生在标准量不变，比较量发生变化的情况下以及比较量不变，标准量发生变化的练习中，利用圈一圈，说一说，再结合两组例子的对比，与原有知识产生共鸣，初步感知“都是把正方形看作一份，圆形有这样的几份就是几倍”，形成解决倍数有关问题的相关技能，即要先找到标准量，再去找另一个量当中包含几个这样的标准量。

2.多种表征，强化技能

多元表征是指一个概念或者问题用多种不一样的形式表征，与“单一表征”相比，同一个问题，用多种方式进行呈现，会强化对知识的理解，增强解决数学问题的能力。三年级学生以具体形象思维为主，需要提供足够的直观材料和充分的实践操作经验作为基础，运用多元表征的方式，加深学生对倍的理解，突出其本质属性。课堂中，让学生用自己喜欢的方式表示出4倍关系，如图4。

学生在画一画，摆一摆，拍手，列算式等过程中感受描述4倍的多种途径，对描述倍数的“三段式”有了进一步的认识，也能够用画图等方式去反过来证明这种倍数关系，进而在头脑中强化寻找倍数的方法，也就是“一个量中包含几个另一个量”是解决倍数问题的基本策略。

（三）以练习为载体，促进思维发展

1.适时拓展，彰显联系

我们学生普遍都缺少创新思维，喜欢按部就班，我们要教会学生变换自己的思维方式，可以由单一的练习到变式的练习，循序渐进，让学生感受数学的延展性，体会知识之间的联系，增强数学逻辑思维。课堂中，为了打破学生认为少的量就是标准的思想，拓宽对倍比关系的理解，可以安排标准量的数量大于比较量的数量，而且刚好是比较量的一半。

学生通过讨论交流，打破认知里只存在整数倍的情况，同时这一道题的出现帮助学生再一次明白先确定标准量的重要性，明白无论题目怎么变，只要转变思维角度，始终抓住“一个量里面包含几个另一个量”就能轻松解决各种题型。

2.图长思维，完善认知

数学图形它不仅为抽象思维提供具体表象，并且也为促进形象和抽象思维提供最大的帮助。在实际教学过程中，我们都习惯于利用标准图形进行认知，时间长了之后学生的思维就有了定势，一旦碰到非标准结构模型的时候，就会感到困惑，束手无措。在教学过程中，应该要让学生对一个图形有不同角度的认识，用不同的方式去辨图，合理利用图形，是巩固知识，提升解题能力一个非常重要的策略，同时也是培养学生思维灵活性的有效方法。在“倍的认识”这一节课当中，学生头脑中缺少对其非标准结构模型的认识，因此，设计了如图6和图7这样的题目。

学生就这样打破传统倍数相关问题的刺激和探讨中，不断深化对倍的理解，同时体会整体思想在数学学习中的作用，学会转换角度，改变策略去解决相关问题，数学思维也得到了进一步的锻炼。

参考文献：

[1]沈百军.深化概念学习，发展学生思维[J].教育视野，2020（10）

[2]郭建.基于学情的结构化单元教学初探[J].教学月刊，2020（08）

[3]朱梅，揭廷婷.深度对话 多元表征[J].小学数学教育，2020（07）

[4]黄肖慧.倍的认识教学思考与实践[J]中小学数学，2021（02）

[5]李喜融.借助模型，让深度学习在课堂自然发生[J]教学探研，2020（06）