工程教育专业认证背景下高等数学课程中函数极值的教学设计

张 爽 张 敬

齐齐哈尔大学理学院 黑龙江齐齐哈尔 161006

工程教育专业认证是国际通行的工程教育质量保证制度，也是实现工程教育国际互认和工程师资格国际互认的重要基础，其核心是确认工科专业毕业生达到行业认可的既定质量标准要求，是一种以培养目标和毕业要求为导向的合格性评价。工程教育专业认证在人才培养的各个环节中树立以学生为中心、以学习产出为导向和质量持续改进的教学理念，强调能力导向和持续改进，重点考察人才培养目标的合理性与人才培养的实效性。实施工程教育专业认证无疑会将促进我国高等教育的质量监控体系，推动我国工程教育改革，从而提升工程教育的质量。

作为一门基础科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点，有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。高等数学课程是覆盖所有工科专业的基础必修课，在工程教育专业认证的12个通用标准毕业要求中涉及两项内容，如第1项：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题；第2项：能够应用数学和自然科学基本原理，并通过文献研究，识别和表达分析复杂工程问题，以获得有效结论。由此可见，高等数学课程不仅为学生学习后继专业课程提供数学工具，而且在工程教育专业认证中也起到重要的支撑助力作用。

随着专业认证的广泛实施和课程教学改革的不断深入，目前我校高等数学课程的教学采用线上线下混合式教学模式，教学全过程分为课前预习、课堂学习、课后检验和课外拓展四个主要环节，在每一环节都致力于传统教学和在线学习有机结合并制定相应的实施步骤。本文以高等数学课程中函数极值为例进行教学设计，打破教师课堂讲授的传统教学模式，将涉及的例题与工程教育背景相结合，提高高等数学课程与学生专业的融合度，充分发挥学生的主体作用，实现教学效果优化。

1 课前预习

学生在课前需要进入教学平台，在线领取由教师提出的预习任务单，明确预习目标和预习任务。在平台教学视频栏目中按照章节知识点目录找到相应视频并进行在线学习，学习后在教学视频下发表问题讨论。

预习目标：理解函数极值的概念；(2)掌握函数极值的求法。

预习任务：(1)观看教学微课视频——3.5.1函数的极值及3.5.2函数最大值与最小值。

2 课堂教学设计

2.1 预习成果检验

以随机提问和小组代表汇报的形式对主要教学内容进行预习检验，主要包括如下四个问题。

函数取得极值的必要条件。设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则f′(x0)=0。

函数极值判定的第二充分条件。设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f′(x0)=0，f″(x0)≠0，则(1)当f″(x0)<0时，函数f(x)在点x0处取得极大值；(2)当f″(x0)>0时，函数f(x)在点x0处取得极小值。

2.2 重点难点知识讲解与分析讨论

2.2.1 函数极值定义注释

①函数极值是个局部概念，只在U(x0)内考虑；②函数极值未必是最大值或最小值。

2.2.2 求函数极值点与极值的步骤

①求出导数f′(x)；②求出f(x)的全部驻点和不可导点；③列表判断(考察f′(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况，以便确定该点是否是极值点。如果是极值点，还要按函数极值判定的第一充分条件确定对应的函数值是极大值还是极小值(对于f(x)的驻点x0满足f″(x0)≠0，也可以用函数极值判定的第二充分条件进行判定)；④确定出函数的所有极值点和极值。

2.2.3 求函数最大值与最小值的方法

先求出函数在[a，b]内的一切可能的极值点(所有驻点和导数不存在的点)处的函数值及端点函数值f(a)和f(b)，比较这些函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。

在实际问题中，如果在指定区间内的根只有一个，而且从实际问题本身又可以知道在区间内必定有最大值或者是最小值，那么所求得的最大值或者是最小值，就不需要在计算出端点的函数值了。

2.3 实例讲解

例1：求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值。

解法一：(利用第一充分条件)

(1)f(x)在(-∞，+∞)上连续，处处可导，且f′(x)=6x(x2-1)2；

(2)(令f′(x)=0，得驻点x=0，x=1，x=-1；

(3)在(-∞，-1)内，f′(x)<0；在(-1，0)内，f′(x)<0；在(0，1)内，f′(x)>0在(1，+∞)内，f′(x)>0；故f(x)在x=-1.x=1处没有极值，在x=0处有极小值，极小值为f(0)=0。

解法二：(利用第二充分条件)

f′(x)=6x(x2-1)2，令f′(x)=0，求得驻点x1=-1，x2=0，x3=1

f″(x)=6(x2-1)(5x2-1)

因f″(0)=6>0，故f(x)在x=0处取得极小值，极小值为f(0)=0，因f″(-1)=f″(1)=0，因此用第二充分条件无法判别，进而应用第一充分条件考查一阶导数f′(x)在驻点左右临近的符号变化。

按照求函数极值的步骤进行计算，同时分析比较函数极值判定的第一充分条件和第二充分条件应用，分析利弊。结论如下：

两种方法的比较：

第一充分条件第二充分条件使用条件弱强适用范围宽窄繁简程度繁简

两种方法的选择：

例2：做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使用料最少，达到节约成本的目的？

解 设罐头筒的底半径为r，高为h，则其侧面积为S=2πr2+2πrh。

由体积公式V=πr2h有h=V/πr2，则S=2πr2+2V/r，r∈(0，+∞)。

注：(1)若f(x)在一个区间内(开区间，闭区间或无穷区间)只有一个极小值点，而无极大值点，则该极小值点一定是最小值点。对于极大值点也可作出同样的结论。

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调增加(或减少)，则f(x)必在区间[a，b]的两端点上达到最大值和最小值。

例3：一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为4000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加200元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓平均每月需花费400元的维修费。试问房租定为多少可获得最大收入。

令y′=0，得驻点x=7200。由y″<0知x=7200为极大值点，又驻点唯一，由于实际问题，故在该点处取得最大值。即当每套月租房定为7200元时，可获得最大收入。

2.4 理论知识拓展

在函数极值判定的第二充分条件基础上提出新问题。我们可以知道，二阶导函数f″(x)可以看作是对一阶导函数f′(x)的求导，即令g(x)=f′(x)，则g′(x)=f″(x)，进而g″(x)=f‴(x)。此时对函数g(x)应用极值判定的第二充分条件，结合函数极值的定义和函数极值的判定方法进行讨论，总结如下结论。

设函数f(x)在点x0处具有三阶导数且f′(x0)=0，f″(x0)=0，f‴(x0)≠0，则：

(1)点x0不是函数f(x)的极值点；

(2)当f‴(x0)<0时，函数f′(x)在点x0处取得极大值；当f‴(x0)>0时，函数f′(x)在点x0处取得极小值。

例4：设y=f(x)在x0的某邻域内有三阶连续导数，且f′(x0)=f″(x0)=0，f‴(x0)<0，则( )。

A.x0是f′(x0)的极值点，(x0，f(x0))不是拐点

B.x0是不f′(x0)的极值点，且(x0，f(x0))是拐点

C.x0是f′(x0)的极大值点，且(x0，f(x0))是拐点

D.x0是f′(x0)的极小值点，(x0，f(x0))是拐点

答案：C。

解析：将函数f′(x)看成原函数，则其一阶导函数在x0处值为0，二阶导函数在x0处值小于零，应用第二充分条件判定函数极值情况。

2.5 融入课程思政

人生就好像是函数的变化过程一般，每个转折点就如同函数的驻点。每个人的人生不可能总是一帆风顺，在不同阶段会出现波峰也会有波谷。一次失败不重要，重要的是当出现驻点时你的选择和态度，它决定着你未来的变化趋势，决定着你能否克服中间态的阻力走向人生的一个又一个高峰。

2.6 内容小结

以知识结构网图形式进行内容总结，便于学生对内容的整体掌握。

3 课后检验

通过对函数极值知识的学习理解，对自己或其他同学在教学视频下发表的讨论问题做出完整准确的解答；完成课程作业并在课程平台上提交；利用平台上发布的在线测试完成知识考核。

4 课程拓展

(1)结合专业实际寻找可以用函数极值解决的问题，以小组为单位在课程平台上提交项目作业，并计入平时成绩考核。

(2)有兴趣的同学可以深入探讨如下问题。

设函数f(x)在点x0处具有n阶导数且f′(x0)=f″(x0)=…=f(n-1)(x0)=0，f(n)(x0)≠0，则当n分别为奇数和偶数时，函数f(x)是否点x0处取得极值？

本文以高等数学课程中函数极值为例进行教学设计的研究，体现了适用于我校高等数学课程教学的线上线下混合式教学模式。该模式基于在线课程平台，融合课堂教学与在线学习，将传统学习方式和网络化学习的优势自然相结合，体现了互联网+教育的全新教育理念。充分利用互联网的优势，利用网络资源，把函数极值及最值相关知识提前投放在课程平台，使学生充分的加入其中，调动学生学习的积极性和主动性，将线上线下混合式教学模式应用于高等数学课程教学，不仅使学生对高等数学知识的认知方式发生改变，而且使教师的教学方式、教学策略及自身作用也都发生改变。这种改变对提高高等数学课程的教学质量起到了积极作用，同时在很大程度上保证了工程教育认证背景下工科专业人才的培养目标和培养质量的实现。