游花观景赏三角

张薇

【摘要】章引言课是一个章节教学的开始，能帮助學生形成数学概念的“大观念”，引导学生像“数学家一样思考”，有利于学生数学认知结构的良好构建.所谓大单元教学，是以主题为线索，对教材进行重组整合，以指导学生学会学习为主线，进行连续单元教学的教学模式.三角函数引言课是对学生深度学习的一次研究与实践，目的在于落实学生的主体地位，形成有助于未来发展的核心素养.

【关键词】章引言;核心素养;深度学习;大单元教学;数学史

2019年10月，笔者参加了由省教研室举办的高中数学骨干教师培训，本期培训与往期最大的区别在于由多位教师对《三角函数引言课》同题异构.笔者有幸参加并展示课例，在磨课、上课、评课中，收获良多，现呈现本节课的教学设计与教后反思.

一、教学目标及重点难点

（一）教学目标

（1）从大量生活实例中体会周期现象的普遍性;

（2）以圆周运动为例，探究周期现象的运动规律，在探究表示周期现象数学模型的过程中体会角的扩充和弧度制扩充的合理性;

（3）培养学生从已有的学习经验来研究新的问题的能力;

（4）引导学生学会用数学的眼光看世界，用数学的语言表达世界，培养学生的直观想象及数学建模的能力.

（二）教学重点、难点

教学重点：构建三角函数模型;

教学难点：感悟x，y，r，α，l之间的内在联系，从而利用这些量的联系进行角的扩充及弧度制的引入.

二、教学实录

（一）创设情境，引入课题

日出日落，月圆月缺，潮起潮落……自然界中有许多“按一定规律周而复始”的现象，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象.

问题1 你能举一些生活中具有周期现象的例子吗？

生：手表的运动，日历的周而复始，星期一到星期日的重复，生肖的轮回，摩天轮的运动……

师：能否概括一下它们的特征？

生：每隔一定的时间会重复出现.

问题2 摩天轮上一点P按怎样的规律不断重复出现？用什么样的数学模型来刻画呢？

物理中，匀速直线运动用一次函数模型来刻画位移与时间的关系，匀加速直线运动用二次函数来刻画位移与时间的关系，指数函数刻画了数据的指数爆炸.今天我们学习能刻画这类具有周而复始现象的函数——三角函数.

反馈评价：兴趣是最好的老师.在大量实际生活中感受周期现象周而复始的运动规律，从摩天轮运动中抽象出一般的数学模型，培养学生的数学抽象能力与直观想象的能力.

（二）转换背景，形成概念

问题3 摩天轮的半径为r，做匀速圆周运动.点P在运动过程中，从数学角度怎样刻画点P的位置？

反馈评价：学生动手探究并相互讨论，展示成果，得到了三种方法：分别用（x，y）、（r，α）、 （l，r）来表示点P，在展示过程中发现不足，并对现有的方案进行修正.学生积极参与到知识的探究中，发现问题并及时进行修正，从而打破已有知识体系，对已有知识进行拓展延伸，体会了“像数学家一样去思考”的过程，体会到了成功的喜悦.

师：对于用坐标表示我们非常熟悉，我们知道坐标与点是一一对应的关系.那么用（r，α）表示点的位置是否合理？

生：有点问题，表示的点不唯一.

师：你觉得怎样才能准确刻画点的位置？

生：可以加上旋转的方向，用顺时针旋转α或者逆时针旋转α来刻画.

师：我们发现初中时候学过的角的范围0°～360°已经不再适用，我们需要对角的范围进行扩充.初中的时候我们是怎么定义角的呢？

生：初中时，我们定义角为从一点出发的两条射线所形成的几何图形，范围为0°～360°.

问题4 请你给我们现在所需要的角一个定义.

生：射线OA绕顶点O旋转所形成的角.

师：那怎么解决刚刚旋转90°所形成的角？

生：按不同的旋转方向分逆时针旋转所成的角和顺时针旋转所成的角.

师生总结任意角的定义.

反馈评价：学生通过探究与讨论，发现点的不同表示方式，并对不同表示方法探究合理性，这是建立数学模型的基础，培养了学生发现问题、解决问题的能力，拓宽了学生思维的宽度与广度.数学的发展很多时候是在已有知识无法解决新问题的情况下对旧体系的不断扩张延伸，从而产生新知的过程.

（三）深度研究，全面构建

问题5 我们用（x，y）和（r，α）刻画了点的位置，那（x，y）与（r，α）有何关系？你能用怎样的数学模型来刻画这两者之间的联系？

生：过点P作PH⊥x轴，则sin α=yr，cos α=xr，tan α=yx.

师：你是如何想到的？

生：放在直角三角形中.

师：sin α，cos α，tan α之间又有何关系？

生：sin2α+cos2α=1，tan α=sin αcos α.

师：此时α的范围应该是0°～90°.sin α=yr，cos α=xr，tan α=yx能否看成关于α的函数？

生：是函数，因为每一个α对应唯一的函数值.

师：请你回忆一下函数的定义.

生回忆并描述，发现定义域是角度，不是实数，所以发现问题，需要引入一个新的度量单位来衡量角度.

师：这个角度的重新度量，你觉得和谁有关系？

生：与转过的角度有关.

师：这就是我们前面所提的（r，l）与（r，α）之间的关系，你能给这种度量单位起个名字吗？

生：既然与弧长有关，我们就称为弧度制.

师：非常好，这样我们就重新度量了角.

反馈评价：弧度制引入的必要性可以从两方面说明：（1）从初中三角函数切入，让新知与旧知发生联系，引发矛盾.从函数的定义入手，引发角度值与实数的矛盾，从而产生重新度量角的需要.（2）历史上三角函数的引入是为了天文学上简化计算，弧度制的引入是因为角度制会引发计算的烦琐，为了计算简便引入了弧度制.所以教师在课上可以举几个例子，让学生体会角度值的计算较为烦琐，从而产生要简化运算的强烈愿望.

师：弧度制与实数是一一对应的.既然我们已经把角拓展到了任意角，显然我们也可以将三角函数拓展到任意角的三角函数.

师：角α的终边绕点O逆时针旋转一圈、二圈、三圈……得到的角β与α有何联系？

生：β=α+k·360°，三角函数值相等.

师：你能用数学符号表示吗？

生：sin（α+360°）=sin α，cos（α+360°）=cos α，tan（α+3600）=tan α.

师：这个公式我们称之为三角函数的诱导公式，后面我们将继续学习转过不同的角度对应的三角函数的关系.在这个公式中，我们体会到了数学语言的魅力.

师生共同总结：我们得到了刻画周而复始现象的函数——三角函数.以后我们需要研究函数的性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图像等.

师：我们说三角函数是描述周而复始的现象，所以它具有周期性，你现在能从函数的角度来描述这一周而复始的现象吗？

生：当角的终边绕过一圈后所对应的函数值是一样的时，也就是具有周期性.

生：终边相同的角三角函数值是相同的.

师：至此，我们就用三角函数的模型来刻画圆周运动这一周而复始的运动.我们发现谈到转一圈、两圈等整数圈的时候对应的三角函数值是不变的，那终边转半圈、四分之一圈时的三角函数值又会有哪些变化，这是我们之后要学习的内容.

师：在学习的过程中，因为初中所学的角度不能解决现有的问题，引入了任意角的概念;因为函数定义和简化运算的需要，引入了新的度量角的单位;因为角的重新定义，对三角函数进行再一次的定义.数学发展是曲折的，很多问题从提出到解决往往要经历好几个世纪，才能构造新的体系来解决问题，比如微积分的创立、数系的扩充.

反馈评价：引导学生思考从生活中数系是怎么扩充的，从数学内部数系又是怎么扩充的，让学生再次体会数学的发展过程，树立解决问题的信心和勇气.

三、回顾与反思

（一）为何要上引言课

所谓深度学习，就是指在教师引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程.在这个过程中，学生掌握学科的核心知识，理解学习的过程，把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会性情感、积极的态度、正确的价值观;成为既具有独立性、批判性、创造性又有合作精神、基础扎实的优秀的学习者，成为未来社会历史实践的主人.[1]

引言课的主要目的是在学科的分支的第一节课上带领学生“游花观景”，向学生介绍为什么要学习该章节的内容（Why）;通过一些简单有趣典型的例子揭示学习的主要知识脉络及思想方法，即学习哪些内容（What）与从什么方向来研究这些内容（How）.一言以蔽之：了解过去，展望未来，激发兴趣;一斑窥豹，充满期待，再创辉煌[2].引言课数学大单元教学，给学生提供了一种新型的研究问题以及学习的方式，在传统的零碎的知识上首先有个大概的框架，接下来就是自主完善框架的过程.在这样的引导下，学生就有了自己去探究未知问题的意识，并能领会到探究未知世界的乐趣.利用章引言课搭建的学科基本结构将更为完整，更利于学生深刻理解概念及其相关的数学知识，帮助学生形成数学概念的“大观念”，引导学生像“数学家一样思考”，有利于学生数学认知结构的良好构建，形成有助于未来发展的核心素养.

（二）怎样上好引言课

大单元教学着眼于一个“大”字.首先体现的教学内容的“大”，教学内容不再局限于單篇单节内容，而是对一个章节或一个主题内容的整合再现的过程，注重知识的生成，重视学生当下学习的内容与前后所学习内容的联系;其次体现在教学视野的“大”，教学不再只盯着书本知识与考点，而是拓展到课外的学习与生活，注重数学与生活的联系，与历史的联系，实现文化育人的目的.

引言课要尽量挖掘即将学习的这一章节中既具有典型性、趣味性、艺术性等人文价值，又能体现主要内容和思想方法的元素，以调动学生的兴趣，激发学生对新课的向往.本节课中由生活场景切入，学生体会到数学来源于生活，同时由学生合作的问题中产生的认知冲突，调动了学生思考的主动性，产生解决问题的迫切要求.

大单元教学对学生和老师都是一个挑战.对学生而言，需要从整体把控学习内容，掌握学习方法，构建属于自己的知识体系，对重点内容进行深度加工;对老师而言，对单元学习的内容及重难点的把控是最基本的要求，更要弄清要教什么、哪些内容要重点教、哪些内容不要教、哪些内容拓展地教，只有研究清楚授课内容，才能把时间放在真正需要重点关注的关键内容上，帮助学生建构知识体系.

郭华老师说：“过去用‘跳一跳摘桃子’来描述学生的‘最近发展区’，实际上是极大地低估了学生可能达到的未来水平，也极大地降低了教师应该对学生学习所起到的帮助作用.学生的未来水平或教学要帮助学生实现的发展水平应该确定为：无论学生自己怎么跳都‘够不着’，但在教师的帮助下学生能‘够得着’，这样才能极大地激发学生的主动性和创造性.”[4]在省骨干教师培中，多位教师对本节内容同题赛课，学生的反馈也各有不同，部分学生感觉没有学到什么东西，或者太难，或者太模糊，导致没有收获.

教之道在于度，学之道在于悟.讲多了那就是灌输，将一章节的内容一节课讲完，那就只能灌输;讲少了学生觉得什么都没有学到，也不知道研究的方向和意义;讲没趣了学生觉得难受，没有研究的兴趣……怎样把握这个度？怎样引起学生学习这个章节的兴趣？怎样帮助学生突破难点，达到本不能达到的高度？这就需要教师、要求教师要认真钻研教材，精心设计问题，激发认知冲突，搭起知识框架，以浅显的例子说明道理，以思想和文化引领学习，让学生真正体会深度学习的过程.

（三）本节课的几点改进措施

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：数学教育承载着落实立德树人根本任务，发展素质教育的功能，重视数学实践和数学文化.将数学史融入数学教学，在数学和人文之间架起一座桥梁，在德育上可以发挥独特的优势.基于这个理念对本课提出几点改进措施.

改进1 引入周期现象的时候加入文化背景：最先描述的周期现象都与时间有关.例如，由任何一天离开子午线，直至第二天返回同一子午线的时间间隔被称为太阳日，太阳日是一种自然界中可以被观察到的周期现象;月份是月亮重新回到刚升起时那一点所需经历的周期，由27天组成.在萌芽阶段，数学家大多从天体的运动规律出发来研究周期现象.

改进2 在研究三角函数的性质时，强调三角函数具有周期性，引入数学家对周期函数的探索过程，加深学生的印象，引发学生学习数学的成就感.

1904年，泰勒指出：“由于角度的增大，每一个三角函数反复出现相同系列的值，因为称这些函数为三角函数.”

1909年，格兰维尔称：“当角速度增加或减小时，每一个三角函数反复经过同样系列的值，故称其为周期函数.”

在课堂中我们能与先哲的想法遥相呼应，也是很有意思的事.

弗赖登塔尔（H.Freudenthal）说数学教育是数学的“再创造”.教学中，我们应当帮助学生学会用数学家的思维思考问题，在教学中融入数学史，可以激发学生的兴趣，跨越时空的思想交流，让学生亲近数学、热爱数学、树立学习的自信心，成为数学学习的主人，让学生正确认识数学和数学活动的本质.

知识是数学思想和方法的载体.我们需要帮助学生获得对数学的理解，这包括知识的本身，更重要的是通過知识，理解数学的思想和方法.上好数学引言课，在数学教学中融入数学史，有助于保持对数学的兴趣，给予数学人文的一面，有助于学生理解新知识并对即将要学习的知识有一个总体的把控，对知识间的联系有更清楚的认识，调动学习新知识的积极性.

【参考文献】

[1]郭华.深度学习及其意义[J].课程 教材 教法，2016（11）：25-32.

[2]文卫星.解析几何引言教学实录——兼谈磨课[J].数学通报，2016，55（6）：34-38.

[3]文卫星.“三度”视角下的引言课[J].数学通报，2018（1）：20-22.

[4]郭华.如何理解“深度学习”[J].四川师范大学学报，2020，47（1）：89-95.

[5]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2020.