度量空间中(ψ,φ)-弱压缩映射不动点的存在性

张 芳, 吕桂稳, 薛志群

(1.石家庄铁道大学 四方学院,河北 石家庄 051133； 2.石家庄铁道大学 数理系,河北 石家庄 050043)

Alber等[1]在Hilbrert空间介绍了弱压缩映射并建立了不动点定理.而后,Rhoades[2]把这一结果推广到一般的度量空间.

定理1[2]设(X,d)是完备度量空间，T:X→X是弱压缩映射，即∀x,y∈X满足

d(Tx,Ty)≤d(x,y)-φ(d(x,y)),

(1)

其中φ:[0,+∞)→[0,+∞)是连续非减函数且φ(t)=0⟺t=0,则T存在唯一的不动点.

2008年,Dutta等[3]得到了如下定理.

定理2[3]设(X,d)是完备度量空间,T:X→X是完备度量空间(X,d)的自映射,若∀x,y∈X满足

ψ(d(Tx,Ty))≤ψ(d(x,y))-φ(d(x,y)),

(2)

其中ψ,φ:[0,+∞)→[0,+∞)都是连续非减函数且φ(t)=ψ(t)=0⟺t=0,则T存在唯一的不动点.

本文中，笔者的目的就是在完备的度量空间将上述结果和相关已知结果推广到更一般的形式.

1 主要结论

在文中，记Ψ是ψ的全体函数所组成的集合，其中ψ:[0,+∞)→[0,+∞)满足条件:

a2)ψ(t)=0⟺t=0;

a3)ψ是单调非减函数.

记Φ是θ的全体函数所组成的集合，其中θ:[0,+∞)→[0,+∞)满足条件:

b1)θ是单调非减函数;

b3)θ(t)=0⟺t=0.

定理3设(X,d)是完备度量空间,T,S:X→X为2个自映射.若∀x,y∈X满足

ψ(d(Tx,Sy))≤θ(max{d(x,y),d(x,Tx),d(y,Sy)})，

(3)

证第1步 证明如果x*是T和S公共不动点,那么它是唯一的.

假设存在其他的不动点y*∈X使得Ty*=Sy*=y*≠x*,则由(3)得

ψ(d(x*,y*))=ψ(d(Tx*,Sy*))≤

θ(max{d(x*,y*),d(x*,Tx*),d(y*,Sy*)})=

θ(d(x*,y*))<ψ(d(x*,y*))，

矛盾.故y*=x*.

第2步 证明T和S有公共不动点.

任取x0∈X,在X中构造序列{xn}并且∀n≥0,x2n+2=Tx2n+1,x2n+1=Sx2n.接下来分2种情况进行讨论.

情况1T在X中有周期点.

i) 若存在某n使得x2n+1=x2n,那么Sx2n=x2n，即x2n是S的不动点,所以有Tx2n=x2n.事实上,若x2n+2≠x2n,则由(3)得

ψ(d(x2n+2,x2n))=ψ(d(x2n+2,x2n+1))=

ψ(d(Tx2n+1,Sx2n))≤

θ(max{d(x2n+1,x2n),d(x2n+2,x2n+1),d(x2n+1,x2n)})=

θ(d(x2n+2,x2n))<ψ(d(x2n+2,x2n))，

矛盾.因此x2n是T的不动点.下面∀n,令xn≠xn+1.

ii) 如果对某n有xn+2=xn.不失一般性,令n=2m,即x2m+2=x2m.由(3)得

ψ(d(x2m,x2m+1))=ψ(d(x2m+2,x2m+1))=

ψ(d(Tx2m+1,Sx2m))≤

θ(max{d(x2m+1,x2m),d(x2m+1,x2m+2),d(x2m,x2m+1)})=

θ(d(x2m+1,x2m))<ψ(d(x2m+1,x2m)),

矛盾.故∀n,xn+2≠xn.

iii) 如果存在m,n且m-n>2使得xm=xn.不失一般性,设m=2i+2(或m=2i+1).根据(3)得

ψ(d(xn+1,xn))=ψ(d(xm+1,xm))=

ψ(d(x2i+3,x2i+2))=

ψ(d(Sx2i+2,Tx2i+1))≤

θ(max{d(x2i+2,x2i+1),d(x2i+2,x2i+3),d(x2i+2,x2i+1)})=

θ(d(x2i+2,x2i+1))<

ψ(d(x2i+2,x2i+1))<

…<

ψ(d(xn+1,xn))，

矛盾.所以∀m≠n,xm≠xn.

情况2T在X中没有周期点,即∀m≠n,xm≠xn.

令n=2m+1(或n=2m+2).在(3)中,令x=x2m+1,y=x2m,则有

ψ(d(xn+1,xn))=ψ(d(Tx2m+1,Sx2m))≤

θ(max{d(x2m+1,x2m),d(x2m+1,x2m+2),d(x2m+1,x2m)})=

θ(d(xn,xn-1))<ψ(d(xn,xn-1)).

(4)

由ψ的单调性,得

d(xn+1,xn)

(5)

所以{ψ(d(xn+1,xn))}和{d(xn+1,xn)}是单调非增且有界数列,因此存在R,r≥0,使得

断言r=0.如果r>0,则得

ii) {xn}是柯西列.这里仅需证明{x2n}是柯西列即可.下面使用反证法证明.假设{x2n}不是柯西列,则存在ε>0和子序列{x2m(k)},{x2n(k)}⊂{x2n}，使得

d(x2m(k),x2n(k))≥ε,

其中2n(k)>2m(k)>k且2n(k)是最小的指标数,所以

d(x2m(k),x2n(k)-2)<ε.

对于任意的k≥1.根据三角不等式,得

ε≤d(x2m(k),x2n(k))≤d(x2m(k),x2n(k)-2)+d(x2n(k)-2,x2n(k)-1)+d(x2n(k)-1,x2n(k))≤

ε+d(x2n(k)-2,x2n(k)-1)+d(x2n(k)-1,x2n(k)).

根据情况2中i)的结论,得

(6)

由于

d(x2m(k),x2n(k))-d(x2m(k),x2m(k)-1)≤

d(x2m(k)-1,x2n(k))≤

d(x2m(k)-1,x2m(k))+d(x2m(k),x2n(k)),

所以

(7)

又因为

d(x2m(k),x2n(k))-d(x2n(k)+1,x2n(k))≤

d(x2m(k),x2n(k)+1)≤

d(x2m(k),x2n(k))+d(x2n(k),x2n(k)+1),

所以

(8)

因此,存在自然数K使得当2m(k),2n(k)>K时,有

由不等式(3),当2m(k),2n(k)>K时,得

ψ(d(x2m(k),x2n(k)+1))=ψ(d(Tx2m(k)-1,Sx2n(k)))≤

θ(max{d(x2m(k)-1,x2n(k)),d(x2m(k)-1,x2m(k)),d(x2n(k),x2n(k)+1)})=

θ(d(x2m(k)-1,x2n(k))).

(9)

(9)取极限,得

iii)q是T和S的公共不动点.

假设q不是S的不动点，即d(q,Sq)>0.由于

d(q,Sq)-d(q,x2n+2)≤d(Sq,x2n+2)≤d(Sq,q)+d(q,x2n+2)，

根据(3)和函数θ的单调性,得

ψ(d(Sq,x2n+2))=ψ(d(Sq,Tx2n+1))≤

θ(max{d(q,x2n+1),d(q,Sq),d(x2n+1,x2n+2)})≤

θ(d(q,x2n+1)+d(q,Sq)+d(x2n+1,x2n+2)).

(10)

上式两边取极限,得

矛盾,所以q=Sq.同理,可以证明q=Tq.因此,q是S和T的公共不动点.

推论1设(X,d)为完备度量空间,T:X→X为自映射.若∀x,y∈X满足

ψ(d(Tx,Ty))≤θ(d(x,y)),

其中θ和ψ同定理1的条件,则T具有唯一不动点.

注 (1) 等价于d(Tx,Ty)≤(I-φ)d(x,y),(2) 等价于ψ(d(Tx,Ty))≤(ψ-φ)d(x,y).

此时,记θ=I-φ或ψ-φ， 则有

d(Tx,Ty)≤θ(d(x,y))或ψ(d(Tx,Ty))≤θ(d(x,y)).

这里ψ和θ是连续函数，而本文中的ψ和θ可以是不连续函数.因此定理3从根本上推广并改进了文献[2-7]的相关结果.