初等变换在解线性方程组教学过程中的应用探讨

吴敬源

摘要：该文对初等变换在解线性方程组教学过程中的应用进行探讨。运用增广矩阵、初等变换以及行阶梯形矩阵等知识求解线性方程组，列出线性方程组的增广矩阵，然后利用初等变换把增广矩阵变换成行阶梯形矩阵，进而变换成行最简矩阵，然后进行回代，进而求解线性方程组。其可以拓展学生对求解线性方程组方法的范围，便捷求解线性方程组的过程，提高学生的学习兴趣和效率。

關键词：矩阵  线性方程组  增广矩阵  初等变换

中图分类号：G64   文献标识码：A   文章编号：1672-3791（2022）07（b）-0000-00

On the Application of Elementary Transformation

in the Teaching of System of Linear Equations

WU Jingyuan

（Jilin University of Architecture and Technology， Changchun， Jilin Province， 130000 China）

Abstract：This paper discusses the application of elementary transformation in the teaching of system of linear equations. Using the knowledge of augmented Matrix， elementary transformation and Row echelon form to solve the system of linear equations， the augmented Matrix of system of linear equations is listed， and then the augmented matrix is transformed into Row echelon form by elementary transformation， the Matrix is then transformed into a row minimax Matrix， which is then iterated back to solve the system of linear equations. It can expand the scope of the system of linear equations method， facilitate the system of linear equations process， and improve students’learning interest and efficiency.

Key Words：Matrix; System of linear equations; Augmented Matrix; Elementary Matrix

1 初等变换在解线性方程组过程中的重要性

线性代数这门课程对于理工科专业的学生来说是尤为重要的，在例如互联网等行业中应用广泛，所以学好线性代数是至关重要的。而求解线性方程组又是线性代数最为关键的一部分内容，所以如何快速简洁地求解线性方程组对于学习线性代数这门课的学生来说，是重中之重。传统求解线性方程组用的方法是消元法，由于高元线性方程组未知数较多，求解过程较为繁琐，运算一起来容易出错，因此引入初等变换的方法求解线性方程组可以省略很多步骤符号，使求解过程简练且不易出错。

2 初等变换求解线性方程组的计算方法

2.1利用消元法求解线性方程组.

在学习初等变换之前我们解线性方程组通常是利用消元法去求解，消元法求解线性方程组的基本思想就是通过方程组的一系列变换，消去一些方程中的若干个未知量，把方程组化为易于求解的同解方程组，那么通过消元要把方程组化成怎样的简单形式，消元过程又要涉及哪些变换，我们将通过下面这道具体例题进行回答。

例1：求解线性方程组

解：未知量个数越少，方程组就越容易求解，所以通过消元使方程组下边方程中未知量个数少于上边方程中未知量的个数，先看未知量，由于最上边的方程含，因此保留方程不变，利用及加减消元法消去下边各方程中的，为此方程加上的（-2）倍，方程加上的（-2）倍，方程加上的（-2）倍，把方程组化为：

在上述方程组中除了方程外，后边的3个方程都不再含，按照上述的思路，对后3个方程继续进行消元：再考虑，注意到方程中的系数为-1.为了运算方便将方程与交换位置，于是得到：

再利用方程消去方程与中的，为此方程加上方程的（-2）倍、方程加上方程的4倍，得到方程组：

然后依次往上代入即可求出全部解。从例1看出消元法求解线性方程组的全过程：首先选取含的方程作为方程组的第一个方程，并利用第一个方程，消去它下边每个方程中的，然后在新方程组中，不考虑第一个方程，对余下方程重复以上做法，即选取第一个含有的方程作为第一个方程，并消去它下边每个方程中的，这样继续做下去，直到把方程组化为一个阶梯形状的方程组，这个过程为正向消元。另一个过程是回代的过程，这个过程称为逆向求解：先求出最后一个未知数，然后依次的回代，从而求得所有未知数。以上就是用消元法求解线性方程组的过程，发现整个过程非常的繁琐，需要求解的过程非常多，对求解线性方程组造成了很多的不便。因此，可以利用另一种方法去求解线性方程组，就是利用初等变换的方法求解线性方程，求解的过程会非常的简捷，并且不易出错，那么利用初等变换如何求解线性方程组呢，通过下面的几点一一的阐述。

2.2初等变换的定义

首先要了解初等变换的定义，以下三种变换成为矩阵的初等行变换：

（1）对调两行（列）（对调i，j两行记作 对调i，j两列记作）。（2）以数k¹0乘某一行（列）中的所有元素（第i行乘k记作， 第i列乘k记作 ）;

（3）把某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）对应元素上去（第j行的k倍加到第i行上记作，第j列的k倍加到第i列上记作）。

把“行”换成“列”即为初等列变换，初等行变换与初等列变换，统称为初等变换[1]。

值得注意的是：三种变换都是可逆的， 且其逆变换是同一类型的初等变换; 变换的逆变换就是其本身; 变换的逆变换为（或记作）; 变换的逆变换为[2]。

2.3增广矩阵的定义

运算之前还需要明确增广矩阵的定义与利用初等变换把矩阵变成行最简矩阵的过程。

首先，我们知道n个未知数m个方程的线性方程组

可以写成，矩阵称为线性方程组的增广矩阵。

其次，要了解两个定义。（1）行阶梯形矩阵： 其特点是： 可画出一条阶梯线， 线的下方全为0;每个台阶只有一行， 台阶数即是非零行的行数， 阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元， 也就是非零行的第一个非零。（2）行最简形矩阵：其特点是非零行的第一个非零元为1， 且这些非零元所在的列的其他元素都是0。可以证明，对于任何矩阵A，总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。

2.4利用初等变换求线性方程组

了解以上内容之后，就可以开始利用初等变换求解线性方程组，由初等代数知，线性方程组经过方程组的初等变换后得到同解方程组，显然，线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的，于是对线性方程组施行方程组的初等变换，相当于对它的增广矩阵施行初等行变换，反过来也成立[3]。所以，用矩阵的初等行变换化方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵，就相当于用线性方程组的初等变换化方程组为阶梯型方程组。比如上面的例1这道题。

用矩阵的初等行变换表示这道题的变换过程就是：

即将线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵。然后写出对应的线性方程组：

它是原方程组的同解方程组，通过回代即可求出其解。这种做法的优越性在由矩阵化为的过程中充分显示出来，它使得运算变得简捷，消元过程直观清楚。因此，今后用消元法解線性方程组，就是对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换将其化成阶梯形，再写出该阶梯形矩阵所对应的线性方程组，然后通过回代求解方程组的解。由于将线性方程组的增广矩阵化成阶梯形的过程中，每行的首非零元素起着主要作用，所以把这些首非零元称为主元素或主元。消元法是利用每个主元消去它下边的元素。如果不仅消去主元下边的元素，也消去主元上边的元素，则求解过程不需要回代。它要求把增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，该行简化阶梯形矩阵也称为行最简矩阵，所谓的行最简矩阵，在上面我们提到过其概念[4]。

所以综上所述，总结之后可以得出求解过程主要分为以下三步。

（1）利用初等变换求解线性方程组的计算方法主要是把线性方程组中的系数与常数按照原有顺序提出来组成一个增广矩阵。

即： ，其中A为系数矩阵，c为常数项。

（2）对增广矩阵进行初等行变换，把增广矩阵变成一个行最简矩阵。

（3）回带成线性方程组，即可求出线性方程组的解。

这里要注意的是一定是进行初等行变换，因为要保证第一列代表的是的系数，第二列代表的是的系数，以此类推，所以只能运用初等行变换，切不可运用任何初等列变换进行变换。那么具体题型是怎样应用的，我们可以通过下面的例2进行阐释。

例2：求解方程组：

解：由于消元法需要把未知数也写上，很繁琐，而利用初等变换求解只需要写出系数与常数，即：

然后对增广矩阵进行初等行变换变成行最简矩阵：

由于整个过程运用的都是初等行变换，而没有进行初等列变换，所以没有改变各个未知数前面的系数，第一列、第二列、第三列依然是、、的系数，第四列依然是常数项，因此可以回带成线性方程组的形式：

这样线性方程组就得以解出。不难发现利用初等变换求解线性方程组要比消元法求解线性方程组简捷很多，在讲解的过程中一定要细致，环环相扣，这样会更直观地给学生展示出利用初等变换求解线性方程组的全部过程，以便学生可以更好地理解知识点。

3 提高学生学习初等变换求解线性方程组的对策

以上这种方法求解线性方程组要比中学时期学习的消元法求解线性方程组简单许多，可以在讲解这个方法之后，让两个学生上讲台进行比赛[5]，一个运用消元法求解线性方程组，一个运用初等变换求解线性方程组，看一看谁做的又快正确率又高。也可以采用小组讨论的形式进行教学[6]，让学生四人分成一组，在讲解完知识点后，给几分钟时间，让大家讨论并互相提出问题、解答问题。这样不但可以活跃课堂气氛，还可以提高学生的兴趣以及对学习新知识的热情，学生不但学到新知识，也在学习的过程中感受到了乐趣，对教学过程很有帮助。此外，在课程中还需要注意发挥学生的主体作用。学生是学习的主体，要让他们准确的掌握如何运用初等变换求解线性方程组，熟练的運用知识解决实际问题，调动其学习的积极性和主动性，要让学生自己练习去解决此类问题。

通过这样的教学方式，学生在学习初等变换的知识点的时候就会记住初等变换有哪三种形式，在学习增广矩阵如何变成行最简矩阵时，就会知道怎样利用初等变换去进行运算等，有助于学生的知识的理解记忆及应用。

4 结语

线性代数是很多高校都会开设的一门课程，该文主要研究了如果利用初等变换求解线性方程组，会发现此种方法比之前学习的用消元法求解线性方程组简单许多，在求解过程中，省略了很多繁琐的过程，使整个求解过程清晰明了，从而减少产生错误的概率。求解线性方程组又是学习线性代数很重要的一个环节，利用初等变换求解线性方程组也是解线性方程组的重要方法之一，学生在学习的过程加入一些趣味竞赛以及独特的教学方法，就可以很好地提高学生的学习兴趣，让学生可以充满热情地学习初等变换这个重要的知识点，有助于提升学生的学习效率。

参考文献

[1] 顾江永.矩阵的初等变换及其应用[J].数学学习与研究，2021（17）：4-5.

[2] 李燕娟.矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索[J].科技视界，2020（18）：55-56.

[3] 朱琳.基于发生教学法的线性空间概念的教学研究[D].上海：华东师范大学，2017.

[4]夏远梅.关于利用初等变换法求解线性方程组的教学研究与探讨[J].数理化解题研究，2021（21）：10-11.

[5] 裘锴.中职计算机网络专业“以赛促学”教学模式探究与应用[D].南昌：江西科技师范大学，2021.

[6] 王璐璐.小组讨论式教学在高中政治课中存在的问题及对策研究[D].武汉：华中师范大学，2020.