两个齐次线性方程组同解的充要条件

周津名

摘要：本文研究了两个齐次线性方程组同解的充要条件及其在代数图论里的一个简单应用。

关键词：齐次线性方程组；同解

线性方程组是线性代数里的一个重要内容，不少线性代数教材中都详细讲解了线性方程组的解法及解的结构，但介绍同解线性方程组的内容却不多。本文研究齐次线性方程组同解的充要条件，并给出在代数图论中零因子图中的一个应用。

下文中，对任意矩阵A，用r（A）表示A的秩，用En表示n阶单位阵。本文主要定理如下：

定理

设A，B均为矩阵m×n，则齐次线性方程组Ax=0和Bx=0同解，当且仅当存在m阶可逆矩阵P使得B=PA。

证明

先证充分性。若P为M阶可逆矩阵且B=PA，显然有Ax=0Bx=P（Ax）。

再证必要性。若Ax=0和Bx=0同解，则Ax=0和Bx=0的解空间具有相同的维数，即n-r（A）=n-r（B），从而可设r=r（A）=r（B）。下面分两种情况进行讨论。（1）若r=0，则由r（A）=r（B）=0可知A=B=0。此时，任取m阶可逆矩阵P均有B=PA。（2）若r>0，将矩阵A按行分块A=，不妨设a1，a2，……，ar为A的行向量组a1，a2，……，am的一个最大无关组。由r（B）可知，存在初等矩阵P1，使得P1B的前行r为P1B的行向量组的一个最大无关组。因此，不妨设P1B=，且β1，β2，……，βr为B的行向量组β1，β2，……，βm的一个最大无关组。注意到Bx=0和P1Bx=0同解，故Ax=0和P1Bx=0同解，进而Ax=0和同解。由于的解空间维数为n-r（A），且a1，a2，……，ar的前行线性无关，故ar+1，……，am，β1，β2，……，βm可由a1，a2，……，ar线性表示。从而β1，β2，……，βr可由线性表示，又由于β1，β2，……，βr与a1，a2，……，ar均线性无关，故存在r阶可逆矩阵P2使得（β1，β2，……，βr）=（a1，a2，……，ar）。由ar+1，……，am，β1，β2，……，βm可由a1，a2，……，ar线性表示可得，βr+1-ar+1，……，βm-am可由a1，a2，……，ar线性表示，可设

令，则，

且。

令，则P为M阶可逆矩阵，且B=PA。证毕。

由定理1易得下述推论

推论1

设A，B均为m×n矩阵，则矩阵方程AX=0和BX=0同解，当且仅当存在m阶可逆矩阵使得B=PA。

推论2

设A，B均为m×n矩阵，则齐次线性方程组xA=0和xB=0同解，当且仅当存在n阶可逆矩阵Q使得B=AQ。

推论3

设A，B均为m×n矩阵，则矩阵方程XA=0和XB=0同解，当且仅当存在m阶可逆矩阵Q使得B=AQ。

下面介绍上述结论在代数图论的零因子图中的一个简单的应用。设F是n阶矩阵环的零因子图，也就是说，以全体行列式为0的n阶非零矩阵为顶点，从顶点A到顶点B有一条有向边，当且仅当AB=0。此时，称Nl（A）={B|BA=0}为A的左邻集，Nr（A）={B|AB=0}为A的右邻集。若两个顶点A，B满足Nl（A）=Nl（B）且Nr（A）=Nr（B），称A和B互为孪生点。由推论1和推论3可得，若A和B互為孪生点，则存在n阶矩阵P，Q使得B=PA=AQ。

参考文献：

[1]同济大学数学系.工程数学线性代数（第六版）[M].高等教育出版社，2014.

[2]丘维声.简明线性代数[M].北京大学出版社.2007.

基金项目：

2018年度高校自然科学研究项目（KJ2018A0496）