线性方程组在线性代数中的地位和作用

摘要：线性代数的形成源于对线性方程组问题的求解和研究，所以，线性方程组在线性代数中有着重要的地位和作用。线性代数的主要研究工具行列式、矩阵、向量组都与线性方程组有着紧密的关系。关于这些研究工具的诸多问题，经常可以通过线性方程组的理论和思想进行分析和求解。本文对线性方程组在线性代数中的地位和作用进行乐浅析。

一、线性代数源于对线性方程组问题的研究

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组，据记载，我国对线性方程组的研究源于公元初的《九章算术》，是世界上最早研究线性方程组的国家。作为线性代数所研究的最古老的问题，对它的研究开启了一扇通往数学新的分支的大門。随着笛卡尔、约翰·伯努利等人在几何方面的研究，线性代数的研究内容逐渐增多，研究视角逐渐变得多元化。随着理论的不断完善和成熟，最终于公元20世纪形成一个独立的数学分支。因此，线性方程组理论可以看作是线性代数的研究基础。

二、线性代数方程组与行列式、矩阵、向量组等的关系

作为线性代数的一个主要的研究对象，也是重要的研究对象，贯穿了线性代数的始终，与矩阵、向量组等主要内容之间有着千丝万缕的联系。

1.行列式与线性方程组

对于含有n个未知量，n个方程的线性方程组来说，

当系数矩阵对应的行列式D≠0时，可以考虑用克拉默法则对该方程组进行求解。解得 ，其中

，

2.矩阵与线性方程组

线性代数方程组本身就和矩阵有着紧密的联系，例如，n元线性方程组

（1）

可以表示成矩阵形式 。

其中

。

关于方程组的解的判定，也始终依托矩阵而展开。当 时，方程组有解;当 时，方程组无解。除此之外，我们对于很多矩阵问题，也会巧妙地利用“转化”思想，将矩阵问题转化为方程组的问题。例如矩阵秩的性质：

它的推导过程如下：

令 ，则说明方程组 有解 ，根据方程组有解的判定定理，可知 ，得 。

另外，将等式 两边同时转置，得 ，同样利用方程组有解的思想，可以得出 ，即 ，综上所述，结论 得证。

3.向量组与线性方程组

方程组（1）也可以写成向量的形式：

即

若向量组 线性相关，则存在一组不全为零的系数 ，使得线性组合 =0。换句话说，向量组A线性相关，可以理解为方程组 有非零解，即 有非零解。最终转化为方程组有非零解的情况。类似的，对于向量组线性无关的判断，可以通过方程组 只有零解来判定。因此，对于向量组线性相关性的判定可以转化为方程组是否有解的问题。

此外，在齐次线性方程组 有非零解的情况下，我们需要基于基础解系写出该方程组的通解。基础解系在解向量组中发挥着重要的作用，它是解向量组的一个最大无关组。所以，同样可以通过讨论基础解系这个向量组来解决线性方程组的通解问题。

三、小结

线性方程组作为一条线，串起了线性代数的几乎所有研究内容。它的角色和作用无可替代。希望通过对线性方程组作用和地位的浅析，能够使学员清楚线性代数的大致脉络，在学习的时候能够把握住这条线。

参考文献：

[1] “线性代数”教学中的主线法与类比法的综合运用，徐龙玉，胡葵，王丽，绵阳师范学院学报（自然科学版），2018.02.

[2] 线性代数在初等数学中的应用，陈秋帆，姚裕丰，高师理科学刊，2018.05.

[3] 线性代数中基于线性方程组的“转换”思想，沈进，教育教学论坛，2018.07.

作者简介：

刘瑞杰（1986—），女，讲师，河南开封人，硕士研究生，主要研究方向为智能计算。

（作者单位：武警警官学院）