矩阵求逆方法研究

王安盛　史卫娟

摘 要 矩阵是大学数学中很重要的一个内容，在《高等代数》中我们学习了矩阵的一些基本知识及应用，而矩阵求逆的方法是矩阵中一个很重要的部分，那么如何判断一个矩阵是否可逆，怎样快速的去求解矩阵的逆，前人也总结了一些非常实用的方法。基于以上基础，本文结合自身所掌握的知识，结合一些有代表性的例子进行说明，研究切实可行。为了更便捷地解决求矩阵的逆，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法：定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法。

关键词 矩阵；逆；方法

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）07-0240-01

一、矩阵求逆的方法解析

（一）初等变换法

如果矩阵A为可逆矩阵，那么该矩阵必然会被表示成许多初等矩阵相乘的形式， ，因此，如果矩阵为可逆矩阵，那么它一定可以通过行列变换变成初等矩阵相乘的形式。

（1）

所以 = （2）

将A，E两个矩阵结合在一起，形成一个n×2n阶的矩阵，则：

（ ， ）=（ ） （3）

由此能够求出逆矩阵A-1。

（二）伴随矩阵法

定理1 如果矩阵A是可逆矩阵，那么矩阵A必然为非退化矩阵，而

= （ 0） （4）

（三）矩阵分块求逆法

在进行矩阵的求逆时，如果矩阵的维数比较高，那么计算量會非常的巨大，这就给求逆计算带来了很多的困难，将大矩阵分解成小的矩阵，然后对小矩阵进行求逆，求出小矩阵的逆按照一定的计算规则便可以得到大矩阵的逆，这是一种常用的求逆方法，对于提升大矩阵求逆速度具有十分重要的意义。

公式：设 的分块矩阵为： ，其中 为可逆矩阵，那么

=

（5）

（四）多项式法

例1.5 ，且f（x）= ，即 ，证明A是可逆矩阵，求出矩阵A的可逆矩阵。

证明：因为 ，所以A（- 1/3 A +5/3 E）= E

因此 是可逆的，同时

（五）公式法

公式法是一种利用公式求逆的方法，通过代入相应公式可以准确求出结果。

（1）若矩阵阶数为2，则其逆矩阵公式遵循两调一除原则：若 ，则

（2）初等矩阵求逆公式：

（3）若矩阵的主对角线及其上方元素均为1，则该上三角矩阵的逆矩阵如下：

若 ，则

（4）正交矩阵求逆公式：

已知A是正交矩阵，那么A-1=AT

（5）其他常用求逆公式：

已知 均是可逆矩阵，那么

二、结论

以上我们对矩阵的逆有了更深层的理解，在以后解决有关逆矩阵的问题时要学会灵活运用。逆矩阵基本概念必须掌握，这是基础，几种逆矩阵的判定方法和求逆矩阵的方法也要熟练领会。在解决问题时，不要盲目乱用，而要因题而异，选择适当的方法，将会是事半功倍的。同时也要挖掘更多的矩阵逆的应用，让逆矩阵论更广泛，更完善。

参考文献：

[1]李炯生.轮迴矩阵的逆矩阵[J].数学的实践与认识，1981（02）： 31-37.

[2]高军.某些特殊循环矩阵的逆[J].数学通报，1990（08）：34-36.