启发思考 经历过程 提升素养——以“从函数的观点看一元二次不等式”教学为例

潘晶薇

(江苏省南京市第五中学,210004)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:基于数学学科核心素养的教学活动，应该把握数学的本质,创设合适的教学情境、提出合适的数学问题,引发学生思考与交流,形成和发展数学学科核心素养．如何在核心素养的视角下设计教学,提升学生的核心素养呢?章建跃博士认为，“从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考,这是落实数学学科核心素养的关键点．”本文以一元二次不等式第一课时教学为例,浅谈如何在课堂教学中培养学生的核心素养．

一、创设情境,引出问题

师:一根长为10 m的绳子能围成一个面积大于6 m2的矩形吗?

生1:设矩形的一边长为xm,则另一边长为(5-x)m,其中06,化简得x2-5x+6<0.

设计意图问题是数学的心脏．问题情境的设置是顺利解决数学问题、促进学生思维发展的有力保障,好的数学问题可以调动学生的学习积极性,激发学生探究的兴趣,引导学生积极思考,形成和发展数学核心素养．为了让全体学生都积极参加到课堂学习中来,可以把课本顺序进行调整,以课本里例2这个简单应用题引入,这样有助于全员参与,唤起所有学生学习新知的欲望,这个过程可以培养学生的数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养．

二、联想类比,生成定义

师:上面这个不等式同学们见过吗?

生2:没有,我只见过一元一次不等式．

师(追问):那这个不等式的特点是什么?

生2:只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式

师:如果让你给这类不等式命名,起什么名字呢?

生2:一元二次不等式.

师:非常棒!我们把这种只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．

设计意图学习的本质是体验和感悟,因此,数学理解必须建立在学生亲身经历的基础上.一元二次不等式的概念同学们类比一元一次不等式自己能够得到,通过提问让学生思考,让他们自己主动建构知识,既调动学生学习的积极性,又能够让学生更好地理解概念,培养学生数学抽象,逻辑推理等核心素养．

三、自主探究,解决问题

师:同学们能够解出这个一元二次不等式吗?请你试一试.

生4:利用二次函数y=x2-5x+6图象数形结合解决.首先令y=0,即x2-5x+6=0求得交点坐标为P1((2,0),P2(3,0)，令y<0，如图1，得图象上对应x轴下方点横坐标x的取值范围是{x|2

师:太棒了!能够自己利用数形集合解决这个不等式,水平很高．那么利用图象能不能解决x2-5x+6>0?

全体抢答:当然可以,只要找图象上对应x轴上方点横坐标x的取值范围即可.

师:那解集是什么?

全体抢答:{x|x<2或x>3}.

师:上面解不等式的方法你们喜欢哪个?

全体抢答:第二个数形集合的方法,又快又好!

师:第二种方法除了快还有其它优点吗?

生5:它具有一般性,对于不能因式分解的一元二次不等式也可以用第二种解决．

设计意图苏教版新教材从函数的观点看一元二次不等式的前一节是从函数的观点看一元二次方程,让学生自己动手尝试解决问题,预设学生会直接用二次函数的图象解决问题,上课时可能会有学生将其转化为一元一次不等式组去解决.课堂教学要尊重学生的认知规律,让学生从中获得成就感,然后把学生引导到这节课的重点上来,用函数的观点看一元二次方程．这个过程可以培养学生的直观想象、数学运算和逻辑推理核心素养.

四、观察体会,归纳总结

师:试根据刚才第二种解不等式的情况,对于一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)，该如何求解呢?

生6:可以作出函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象，运用图象来解决.

师(追问):那二次函数的图象有几类?

生6:三类．当Δ>0时,二次函数函数的图象和x轴有2个交点,当Δ=0时，二次函数函数的图象和x轴有一个交点,当Δ<0时,图象和x轴没有交点．

师(继续追问)那么根据图象写出不等式的解集，我们需要知道什么?

生7:如果图象与x轴有交点,必须知道交点的横坐标．

师(继续追问)如何求图象与x轴交点的坐标?

生8:解一元二次方程ax2+bx+c=0.

师:很好!然后根据图象我们就可以写出不等式的解集．下面请一位同学到黑板上完成下表.

Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ax2+bx+c<0(a>0)的解集

设计意图通过上面不等式的求解,学生自己可以体会数形结合的思想,同时更能感受三个二次之间的关系.此时,教师趁热打铁,通过设计问题串,培养学生分析问题、解决问题的能力．这个过程可以培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养．

五、优化思维,规范步骤

例1求不等式-x2+2x+3>0的解集.

师:哪位同学说一下解法.

生9:方程-x2+2x+3=0的解为x1=-1,x2=3,根据y=-x2+2x+3的图象,可得原不等式的解集为{x|-1

师:很好!这位同学借助于开口向下的抛物线图象得到解集．有没有其它解法?

生10:不等式两边同乘以-1,得x2-2x-3<0.方程x2-2x-3=0的解为x1=-1,x2=3,根据y=x2-2x-3的图象,可得原不等式的解集为{x|-1

师:很好!该同学把二次项系数变正,然后转化为前面研究的开口向上得抛物线去研究．

例2求不等式4x2-4x+1>0的解集.

例3求不等式x2-2x+2>0的解集.

生12:因为Δ<0,所以方程x2-2x+2=0没有实数根．根据y=x2-2x+2的图象可得原不等式的解集为R.

师:很好!同学已经能利用图象很熟练地解决一元二次不等式,你能总结出解一元二次不等式的一般步骤吗?

生13:解一元二次不等式的步骤:

① 先把不等式中二次项系数化为正数;

② 计算Δ=b2-4ac,解对应的一元二次方程;

③ 根据对应方程的根的情况,结合不等号的方向,写出不等式的解集.

设计意图通过几个具体的不等式的求解,引导学生寻求更一般的解法,让学生体会从特殊到一般的认知规律.对于一元二次不等式的求解,其书写格式也需规范,通过教师板书予以示范.从求解过程中,提炼出解题步骤,形成方法,从感性认识上升到理性认识.解后反思应形成习惯,这对于学生以后的学习也是一种帮助.

练习1求不等式4x2-4x>15的解集.

练习2求不等式13-4x2>0的解集.

六、探究提高,深化理解

(1)ax2+bx+c>0对一切x都成立的条件是什么?

(2)ax2+bx+c<0对一切x都成立的条件是什么?

设计意图前面一直是给出不等式然后求解,而当我们知道一个不等式的解后,能否得到这个不等式呢?这个问题的设置对于学生进一步理解三个二次之间的关系大有帮助.而开放性问题的设置,也使得学生的思维空间更广阔.

七、课堂小结

(1)通过这堂课,你学到了什么?

生14:利用图象解一元二次不等式.

生15:数形集合的数学思想方法.

生16:等价转化的数学思想方法.

……

设计意图让学生自己总结所学知识,既可以调动学生的积极性,又可以引导学生主动进行知识的结构化梳理,使学生形成完善的一元二次不等式的解法的认知结构．通过引导学生从思想方法总结,可以让学生进行深度思考与交流,培养学生抽象概括的能力,能有效促进数学核心素养的形成与发展．

数学是思维的科学,数学教育的价值是发展人的思维能力,数学教学是数学思维活动的教学.因此,在数学教学中必须让学生有实质性的思考．章建跃博士说过“从数学知识发生发展的合理性,学生思维的合理性上加强思考,这是落实数学学科核心素养的关键点”.本节课通过设置问题情境,借助学生之间的相互合作与交流,引导学生自主探索,让学生经历发现问题、提出问题、解决问题的全过程,并且抽象出一般规律的学习过程,使学生在学习知识的过程中学会思考,从而将数学核心素养的培养落到实处．