2021年高考数学试卷综合难度研究——以教育部考试中心命制的四份理科试卷为例

朱秋霞 左浩德

(扬州大学数学科学学院,225009)

一、问题的提出

2014年,《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》(以下简称《意见》)要求,使用“全国卷”的省份将于2015年后逐年增加,迄今为止已增加到27个,成为推进高考改革的一部分．2021年,高考综合改革在多地推进,山东、福建、广东、江苏、湖南、湖北、河北使用新高考I卷;辽宁、重庆、海南使用新高考II卷;原有的全国III卷改为全国甲卷,适用于云南、广西、贵州、四川、西藏;原有的全国I卷、II卷合并为全国乙卷,适用河南、山西等12个省份．在此背景下,新高考卷的难度成为多方关注的焦点．但仅从试卷的命题形式判断其难度变化只能得到浅显的结论,为此需要进行深入研究．

本研究所参照的综合难度模型,由Nohara 2001年提出,以总体难度(Overall difficulty)概念为基础．在该模型的指导下,我国学者鲍建生以中英两国的数学教材为载体,对例习题的难度加以比较,改进了Nohara综合难度模型存在的缺憾,建立基于我国教育现状的数学课程综合难度模型．随后几年,教材难度比较类文章俯拾皆是,在理论研究方面有更进一步的发展,能够更加科学地分析数学试题的综合难度．本文以2021年的高考试卷为研究对象,给出进一步的定量和定性分析．

二、研究方法

1.研究对象

2021年全国甲、乙卷的文、理科数学试卷,新高考I卷、II卷的数学试卷(不分文理),共6套.由教育部考试中心命制．为了方便比较,本文选取2021年的四份高考试卷,分别为全国I卷、II卷,全国甲卷(理)和乙卷(理)．全国I卷、II卷各22题,全国甲卷(理)和乙卷(理)为23题．

2.研究工具

参考张怡、武小鹏在鲍建生难度模型基础上改进的高考试题综合难度模型．他们考虑到教材与标准化考试尤其是高考试题的不同,以鲍建生难度模型为基础,增加了“思维方向”和“是否含参”因子，吸收前人研究成果.本研究主要从背景因素、数学认知、运算水平、推理能力、知识综合、思维方向和是否含参7个维度展开．

为了量化分析每个水平,需要对各个维度中的不同水平赋予一定的权重系数,根据具体情况对试题中的7个维度进行编码,再利用下列模型进行计算.

(1)

其中,di(i=1,2,3,4,5,6,7)表示不同的维度,dij为第i个维度中的第j个水平的权重(依水平分别取1，2，3…)，nij则表示这组数第i个维度中国的第j个水平的题目的个数,n表示题目的总体数量,以此分析该组题目的综合难度模型,见图1.

按照武小鹏对各难度水平内涵的描述,对2021年高考数学4份试卷进行编码,编码示例如下:

例1(2021年新高考I卷22)已知函数f(x)=x(1-lnx).

(1) 讨论f(x)的单调性;

此试题包含以下特征:无背景(建立在纯数学知识条件下)、分析水平(解题时需要深入分析并综合应用各个条件)、复杂符号运算(涉及复杂关系的证明)、复杂推理(推理步骤大于3步)、两个以上知识点(导数研究函数的单调性,构造函数证明不等式,利用导数研究极值点)、逆向思维(按照已掌握知识的顺序,逆向解决问题)、有参数(含参数a,b)．

例2(2021年新高考II卷9)下列统计量中,能度量样本x1,x2,…,xn的离散程度的是( )

(A)样本x1,x2,…,xn的标准差

(B)样本x1,x2,…,xn的中位数

(C)样本x1,x2,…,xn的极差

(D)样本x1,x2,…,xn的平均数

此题特征:无背景(建立在纯数学知识条件下)、理解水平(只需要理解标准差,中位数,极差,平均数的概念)、无数值运算(未涉及数值计算)、简单推理(直接由概念即可推出结果)、两个以上知识点(考查了标准差,中位数,极差,平均数的概念)、顺向思维(按照已掌握知识安排顺序,顺向解决问题)、无参数(未涉及到参数)．

三、研究结果

本研究对2021年高考数学全国I卷、II卷、全国甲卷(理)和乙卷(理)四份试卷7个不同的难度因子进行比较,继而用综合难度模型进行整体分析．

1.背景因素

四套试卷所选试题大部分以无背景为特征,围绕数学知识本身展开,虽对背景因素考察较少,但并非完全没有涉及.就所考查到的背景因素来看,每份试卷各有侧重,全国I卷以民间剪纸术、“一带一路”知识竞赛为背景,主要考查数学与人文艺术;全国II卷以北斗三号全球卫星导航系统、微生物群体繁殖为背景,考查数学与科技;全国甲卷有4题含背景的题目,分别包含某地农户家庭年收入、青少年视力问题、三角高程测量法测珠峰、机床生产产品等公共生活方面的内容,都是数学与生活类的试题；只有全国乙卷第9题借助刘徽《海岛算经》考查数学史知识．总体来说,全国I，II卷含有背景的都只有2题,占比9.1%,全国甲卷占比最多,约17.4%,但没有一套试卷能涵盖所有的背景元素．

2.数学认知

不难发现,高考对学生数学认知水平方面的考查较为全面,全国II卷和全国甲卷(理)在认知水平的三个层次上差异不大,对理解和分析层次考查较多,而全国I卷对应用层次的考查明显高于其他三套试卷,但是理解层次的考查难度最低．

3.运算水平

4.推理能力

四套试卷在推理水平上存在较大差异,全国I卷对复杂推理的考查达到60%,例如第12题所包含的立体几何线面的位置关系问题,需要运用线线垂直、线面垂直、线面平行的判定定理等知识,并多次进行演绎推理,推理过程较为复杂,属于难题．而甲卷(理)的比重约为35%,全国I卷、II卷、甲卷(理)、乙卷(理)需要简单推理的试题数量逐渐增多,而需复杂推理的试题数量逐渐降低．

5.知识综合

虽然四套试卷所考查的知识点各有侧重,但是知识综合这一水平的考查均涉及两个及以上知识点,高考的综合性特征由此可见．全国I卷、II卷两个以上知识点的含量相当,相较甲、乙卷,I卷和II卷在题型设置上增设多选题一类,而多选题往往涉及多个知识点,要想拿到全分要求学生精确理解题目中所包含的定义,并且融会贯通,所以知识综合性较强．全国甲卷理科对两个知识点的考查远远高于其他三套试卷,达到60%,但是三个及以上的知识点占比较低．

6.思维方向

四套试卷对逆向思维的考查数量递增趋势:全国I卷<全国乙卷(理)<全国甲卷(理)<全国II卷,说明全国II卷更加重视学生的逆向思维、发散思维．但从上表可以发现,试卷的考查仍以顺向思维为主导,可见高考试卷大多以顺向思维为主,重视在学生自主构建过程中提升思维品质,培养其创新意识和理性思维能力．

7.含参情况

从表1可以看出,甲卷理科和乙卷理科含参的题目相同,并且I卷的基本情况与这两份试卷相差不大,II卷含参数的试题与不含参数的试题各占一半,可以发现高考中还是无参数的试题居多,由此可见,在高考中,试题的命制以学生的基础知识、基本技能和基本数学思想方法为主要考查方面．

表1 全国I卷、国II卷和国甲卷(理)、乙卷(理)试题综合统计

8.综合难度

统计各维度的题目数量,以此更加深入分析本研究所选的四套试卷的综合难度水平,并利用公式(1),计算各因素的加权平均,得到下表2.

表2 四套高考试卷难度因素的加权平均

经过各方比较,为更加科学地反映上述试卷的综合难度,可以形成以下试题综合难度系数模型,如图2．

通过四套试卷的雷达图可以看到:四份试卷考查的侧重点整体相近,运算水平、推理能力、数学认知存在明显差异,全国I卷部分维度系数较大,难度较高．从表2可以发现,全国I卷难度系数为13.46,试卷难度最大,全国乙卷理科难度系数为12.72,难度最小．

四、教学建议

从难度的角度分析,结合以上四套试卷比较情况,提出以下教学建议．

1.强化数学思维,提升认知水平

上述研究可知,高考试卷对学生的认知水平有一定的要求,而认知水平需要学生的思维能力．在教学中,要重视基本概念的生成过程,挖掘概念的本质,帮助学生构建知识体系和方法体系,并通过一题多解、一法多用、一题多变等手段建构知识脉络,促进学生思维能力的发展,理性思维和科学精神的养成以及认知水平的提升．

2.紧跟命题思路,培养核心素养

综合难度模型为我们提供了可供参考的信息,运算水平、知识综合、认知水平等难度因素与所提倡的数学六大核心素养密切相关,对试题综合难度的分析可以看出,高考数学试题命题紧紧围绕数学核心素养的培养,对学生的综合能力进行考查,所以在高考复习过程中,也应紧紧围绕学生核心素养开展教学,只有紧跟命题思路,重视培养学生核心素养,才能够让复习工作达到驾轻就熟的境地,面对高考得心应手．

3.遵循课程标准,参照高考评价体系

本文的试卷综合难度分析并不是功利化的表现,可以引导教师理解考纲,准确把握考纲,适应考纲,即要把考纲放在一定的问题中,遵循课程标准,参照评价体系．在高考复习时坚持独立思考,不人云亦云,同时脚踏实地,将尽可能全面地将知识内化吸收,这样在高考复习中才能达到游刃有余的境地,最终收获成功．