融入数学文化 凝聚核心素养——以“复数”教学为例

孙成成

(江苏省无锡市第三高级中学,214028)

“数学文化与数学教育”已经是数学教育研究的热点论题之一,这个研究领域被数学家以及数学教育研究者共同关注[1].深入研究数学文化在数学教育中的作用,促进数学文化与数学教育的有效结合,也是新课标下数学教育面临的重要问题之一.

一、融入数学文化的意义

数学核心素养是数学课程标准的集中体现[2].基于数学核心素养的教学活动需要一个合适的教学情境.而合适的情境需要学生经历其中,感悟数学知识发展的过程,体会数学的本质,并且能够感受到数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.数学文化承载着人类的思想,它的发展不仅展示人类在生产、生活和思想精神上传承,也对现代社会人们观念、精神以及思维方式的养成产生重要的影响[3].所以将数学文化融入进数学教学活动中去,是当代教师必须努力的方向.

数学文化的融入,不是在数学活动中单纯介绍一段数学历史的故事,或者直接地展示数学美学价值、科学价值,而应当是应有意识地结合相应的教学内容,引导学生在数学发展的历程中,展开无限想象,一起探索和解决历史中的数学问题,体会到数学文化中的思想与精神,感悟数学的价值,提升学生的科学精神、应用意识和人文素养,进而培养学生的数学核心素养.

二、复数内容分析

复数理论是重要的数学内容之一,当对实数集作进一步扩充时,学生不可避免地会产生对“虚数”的困惑,可能会对新学的知识难以接受和认同,或者无法理解复数的本质.但由于复数内容要求简单,不少教师只把复数的运算作为重点,认为学生只要掌握复数的加减乘除运算即可,从而造成学生被动机械地去学复数,进而产生“到底为什么要引入虚数?”“复数到底有什么用？”等疑问.

数系扩充的过程体现数学的发现和创造,同时也体现数学发生、发展的客观要求.复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充,相当于以另一种方式告诉学生数学的无限可能性.从小学到中学的数系学习过程,基本上与数学史上数系发展的脉络相吻合,如果将数学文化融入复数教学中,带领学生一起经历复数的整个发展历程,那么复数的引入就会显得循序渐进,自然而然,也会让学生更容易理解和掌握复数的本质.

三、贯穿数学文化的复数教学设计

1.引发认知冲突,激发无限想象

探究1方程x2-10x+40=0有没有实根?如果有请求出来.

生:因为根的判别式Δ<0，故它没有实根.

师:同学们很容易得出方程没有实根.然而16世纪意大利的数学家卡尔达诺却给出这个方程的两个根.你能否大胆猜想出这两个根是什么吗?

设计意图激发学生的认知冲突,让学生交流思考并大胆猜想和尝试,也为数学文化自然引入做好铺垫.

2.融入史河,重探复数形成历程

生:根号内的数不能为负数,否则无意义.

师:卡尔达诺说:“不管我会受到多大的良心谴责,我都要这么写.”然后呢,卡尔达诺也作了深入的研究,他通过研究三次方程的根的问题来尝试解决这个困惑.

探究2求三次方程x3-7x+6=0的根.

生:利用特殊值代入法和因式分解法很容易解出来,该方程的根是:x=1,2,-3.

师:当时意大利另一位数学家塔尔塔里亚提出三次方程x3+px+q=0的求根公式

卡尔达诺就是运用这个公式来求解这个三次方程的.

探究3利用塔尔塔里亚的求根公式求解这个三次方程.

生:利用公式求出三次方程的解

设计意图融入数学文化,引导学生同历史伟人一起解决复数形成过程中的数学问题,亲身经历复数的发展过程,激发学生的学习兴趣和求知欲,让学生在数学情境中能得到充分的思维体验,进而提高学生的数学核心素养.

3.概念导出,展现自然和谐之美

师:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数所成的集合C叫做复数集,即C={a+bi|a,b∈R}.z=a+bi称为复数的代数形式,其中a称为复数的实部,b称为复数的虚部.i2=-1.

设计意图在引领学生探究复数的形成过程中,自然而然地形成复数的概念,水到渠成.这让学生在掌握复数概念的同时,也感受到复数概念的产生是自然而然的,进而体会到数学的自然和谐美.

4.把握知识内涵,尽显对称、简洁之美

探究4从复数集中任意提取两个复数,要使这两个复数相等,则需要满足什么条件?

师:a+bi与c+di相等的充要条件是:a=c且c=d,即要使任意的两个复数相等的话,必须要对应的实部相等,对应的虚部也要相等.

探究5请对a,b取不同的值,你会发现什么?

师(归纳总结):当且仅当b=0时,它是实数;当b≠0时,它是虚数;当a=0且b≠0时,它是纯虚数.

探究6根据实数的分类,你可以对复数进行分类吗?分组讨论,并尝试用Venn图表示出来.

师生合作,给出Venn图如图1.

设计意图通过探究加强学生的数学抽象能力和逻辑推理能力,再利用简洁的Venn图将复数集、实数集之间关系进行表示.简洁明了的图形,不仅让学生认识到数集之间的关系,还能显示出数学的简洁美感.

5.知识迁移,渗透数学思想

(1)若z为虚数，求m的取值范围；

(2)若z为纯虚数，求m的取值范围.

练习3已知m∈R,i是虚数单位,M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.

设计意图通过练习1把复数概念及其相关性质以另一种形式呈现出来的,通过练习2和3,迁移知识领域,将复数与几何、对数相联系,这不仅是对学生所学新知的一种巩固,也能帮助学生将不同板块的数学知识与思想进行融会贯通.

6.联系生活,发现应用价值

师:(利用PPT等软件展示图片和视频)复数不仅可以应用于数学领域,它在生活中和科学中也扮演着重要的角色.尤其是物理上的应用非常广泛,比如在流体力学中,我们可以解决飞机机型设计的问题.在电工学当中,虚数代表虚功,使得电工学计算简化,还能解决有关电阻、电容的相关问题.此外在弹性理论、热流、周期现象、静电通量等方面都有着复数的身影.

设计意图通过介绍复数在生活、科技等各领域中的应用,可以让学生认识到复数的价值和重要性,帮助学生形成更加完整的知识体系,也让学生认识到学习数学的价值与重要性.

7.历程回顾,提高情感认知

谈一谈:本节课我们重温数学家提出复数概念的整个过程,并对概念进行了深入的分析,再通过训练对知识体系进行了进一步加强,最后又认识到复数在生活与科技中的应用.在这一过程中大家有哪些收获?(可以从学习方法、数学文化、情感态度、价值观等层面谈谈)

设计意图通过回顾探究复数概念形成过程以及课堂知识探究,促进学生新旧知识的整合、认知水平的提高以及复数概念的综合图式框架的完善.并从数学文化、情感、价值观中给予自身一个评价与认识,进而提高学生的数学素养.