“弧度”不糊涂 来历很清楚
——HPM视角下“弧度制”的教学设计
2022-06-23刘学民
刘学民
(湖南省永州师范高等专科学校,425006)
本文基于将数学史与数学教育结合起来的HPM视角对“弧度制”一节的教学进行设计与实施,课堂实录如下.
一、复习角度制,了解角度制的来源
师:世界上有四大文明古国,同学们能说出来吗?
生:中国,古巴比伦、古埃及、古印度.
师:同学们看到这几个名字第一时间想到什么?
生:长城、空中花园、金字塔、泰姬陵.
师:当然,这些文明古国的厚重文化不仅仅体现在这些标志性的建筑上，在数学上,四大文明古国的成就也是彪炳史册.如中国有《九章算术》,古印度发明了阿拉伯数字，分数概念也起源于古印度,角度的概念是由古巴比伦最早提出的.下面我们一起来了解角度起源.
多媒体展示下列内容:角度概念起源.古巴比伦人擅长天文学,在长期的天文观测中,他们产生了角度概念.角度制起源:古巴比伦人发现,在春分或秋分这天,太阳光垂直射在赤道上,全球白天黑夜的时间一样长.古巴比伦人认为，在这一天的白昼中,太阳从出现到消失的轨迹等于180个太阳直径,于是定义平角为180度,周角为360度.角度的符号小圈最初表示太阳，自此角度的概念在全世界流传起来.
师:角度制的起源说法不一,还有来自古埃及的说法,但是起源古巴比伦是最为公认的说法.现在科技证明,古巴比伦人观察到结果并不符合事实,其实,不管什么时候,太阳在白昼的轨迹都不会等于180个太阳直径,但是约定俗成,再加之360容易被整除,圆周角为360度的角度制在全世界流传至今，与角度相关的单位还有分和秒，度、分、秒之间如何换算?
生:1°=60′,1′=60″.
师:请同学们计算:
(1)1.25°= ° ′; (2)4°20′= °;
设计意图通过耳熟能详的四大文明古国及相关知识，开启整个教学活动,以此激发学生学习动机和情感．同时融入相关历史知识,旨在实现课程融合．
二、结合实践,讲述角度制与时间单位的关系
师:分和秒除了是角度单位,还是什么单位?
生:时间单位.换算方式都一样.
师:为什么时间单位和角度单位中都会有分、秒?
生:古代的日晷用杆与影子的角度来衡量时间，从而角度里的分秒也作为时间单位.
师:同学们知道最新的百米赛世界纪录是多少?谁创造的?
生:百米纪录是牙买加运动员博尔特于2009年在德国柏林创造的,时间为9秒58.
师:体育上怎么记?
生:记作9″58.
师:9″58与9.58″有什么区别?值得注意的是,秒以下的都是十进制,所以9″58与9.58″没有区别.同学们再思考,在一次学校运动会,百米比赛计时员写了三个成绩,分别是12″5,12″05,12″50.请问这三个成绩有区别吗?
学生展开讨论,议论纷纷.
师:常用的计时秒表是精确到0.01秒.秒后面应当记两位小数.12″5的写法是错误的.12″05要比12″50用时少.再请同学们思考,1∶20和1∶20′有什么区别?
生:1∶20一般表示处在什么时刻,1∶20′一般用来表示所用时间的量.
设计意图本小节的内容旨在把角度概念迁移至时间概念．加之在学校运动会期间,不少学生被抽调担任计时员,故在本次课堂内容上加入体育比赛中记时规则,密切联系实际,增强学生体验.
三、探究角度单位的种类及变迁历史
师:每一种新的单位产生标志着社会发展、科学进步掀开了新的一页,新单位必然可以使生活更方便、科学研究更快捷.我们以长度单位为例,同学们能说出有哪些长度单位?都应用在哪些方面?
生:米、分米、厘米、毫米、千米、海里、光年、微米、纳米.海里用于航海,光年用于太空探索,微米、纳米用于研究微观世界.
师:在历史上,角度单位曾经出现过三种(通过信息技术展示图片及文字).第一种是常用的角度单位,叫角度制.在计算器上的显示为Deg.第二种叫梯度制,定义直角为100梯度,1梯度也记作 1°,每 1梯度又被等分成 100 份,每一份称为1 分,记作 1′.每 1 分又被等分成 100 份,称为“1 秒”,记作 1″，计算器上显示为Gra.这种方法不常用.第三种方式叫密位制,航海定航向时,对角度的精确度要求非常之高,美国等西方国家采用是把周角平均分为6 400份.其中每一份称为 1 密位(mil).后来除了用于航海，也广泛运用于军事上.不过现在随着信息技术的发展,这种密位制也慢慢走下了历史的舞台[1].
师:通过资料可以了解到角度制对于圆周的划分是多种多样的.从角度的起源也能发现,角度制的起源是具有随意性和偶然性的，这个角度制并不见得就是最方便、最科学、最适应社会及科学发展的.请同学们写出弧长和扇形面积公式.
我们将这种新的角度度量制度叫弧度制,这种度量角的方法是用该圆心角所对的弧长比半径来度量角的大小：在弧度制的基础上,请同学们写出弧长公式和扇形面积公式.
师:弧度制能让很多公式变得简单.1748 年,瑞士数学家欧拉率先采用用圆心角所对应的弧长与半径的比来度量角的大小.这也不是欧拉的突发奇想.在历史上,为了简化公式而定义一个量的度量制度的事情经常发生.1873 年 6 月 5 日，数学教师汤姆生(James Thomson)在北爱尔兰首府贝尔法斯特(Belfast)女王学院的数学考试题目中，创造性地首先使用了“弧度”一词.
课件展示弧度制定义(略).
同学们推导弧度与角度互换的公式.
四、探讨弧度制的引入意义
师:随着科学的进步,人们发现,弧度制不仅仅是让很多公式变得简单,还具有很多更重要的性质和意义(课件展示,如图1).
首先是让角度的单位与基本单位关联起来.国际单位制基本单位有七个基本单位:长度,时间,质量等,这七个基本单位中没有角度,说明角度是可以由其他基本单位导出.而在弧度未出现之前,度量角的那些单位都是很难用其他基本单位导出.弧度出现后,角度大小可以通过两个长度之比导出,角度的单位就与长度单位关联了.
第三，弧度制是十进制,角度的加减变得简单也正因为弧度制是十进制,那么弧度制相比角度制更容易与实数一一对应.
设计意图通过一系列的历史事实说明,角度的度量单位不是统一的和一成不变的,历史上各种场合中所使用的角度单位并不相同,角度制不是度量角的唯一和最好单位.角度制的使用只是一种偶然,角度度量单位是可以随社会发展、科技进步改革推新,数学家们在综合多种原因,推出最利于科研的新的角度度量单位—弧度制.
五、例题讲练,熟练掌握角度弧度互化方法
请采用三种方式完成.(1)笔算;(2)利用科学计算器完成;(3)在EXCEL中完成.需要注意的是:
(1)科学计算器是可以很轻松完成角度弧度转换的,不同型号计算器操作步骤不同，关键是需要切换不同的模式.
(3)牢记一些特殊角的度数与弧度数的对应值:
(4)角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制,都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.但是角度制是六十进制,弧度制是十进制,弧度制与实数对应更显简洁便捷.
(5)正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0.
例2用弧度制表示:
(1)终边在x轴上的角的集合;
(2)终边在y轴上的角的集合;
(3)终边在坐标轴上的角的集合.
设计意图从一种进制过渡到另一种进制,是需要训练和熟记.通过弧度化角度、角度化弧度三种方式的实现,加深学生对弧度制的熟练理解和应用.同时向学生传授了怎样利用计算器及信息技术解决角度、弧度互化的方法，积极响应数学课程标准,培养学生应用信息技术能力.
