略谈数学眼光及其培养

李树臣

摘要：作为数学核心素养的构成，“三会”是数学教育的终极目标。其中，数学眼光是生发于数学学科特性视角的一种思考，关注的是“数学是研究数量关系和空间形式的科学”的内涵，彰显的是“思想材料的形式化抽象”的特点，主要就是在现实与数学之间进行的思维切换。根据数学眼光的主要表现，其培养可以有侧重地从四个维度展开：增强创新意识，发展空间观念，重视几何直观，提升抽象能力。

关键词：数学眼光;创新意识;空间观念;几何直观;抽象能力

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确将“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”（统称“三会”，分别简称“数学眼光”“数学思维”“数学语言”）作为数学核心素养的构成，并做了比较详细的解释——相比之下，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》只是提出“三会”，并没有解释它（包括它与数学核心素养的关系）。作为数学核心素养的构成，“三会”是数学教育的终极目标。本文谈谈笔者对数学眼光及其培养的认识与思考。

一、对数学眼光的一些认识

观察是人们认识世界、获取知识的重要途径，也是科学研究的重要方法。巴甫洛夫告诫学生“不学会观察，你就永远当不了科学家”，并把“观察、观察、再观察”作为自己的座右铭。观察是通过“看”和“思考”进行的，观察是科学研究中的一个基本方法，在数学学习中有着重要的方法论意义。

数学眼光是生发于数学学科特性视角的一种思考，关注的是“数学是研究数量关系和空间形式的科学”的内涵，彰显的是“思想材料的形式化抽象”的特点，主要就是在现实与数学之间进行的思维切换。胡晋宾，刘洪璐.数学眼光的内涵及培养[J].中学数学月刊，2021（2）：1720。

具有数学眼光的人在面临现实情境时，通过观察、分析、思考等活动能透过事物的表面现象抽象出相关的数学知识;而一旦提到某个具体的数学知识时，也会自动地想到现实中的具体案例。胡晋宾，刘洪璐.数学眼光的内涵及培养[J].中学数学月刊，2021（2）：1720。

例1今有两个容量为100 mL的酒杯，分别盛有50 mL白酒和50 mL红酒。从白酒杯中用10 mL的取酒勺取一勺倒入红酒杯中（第一次动作），使之充分混合，然后从红酒杯中取一勺混合酒倒入白酒杯中（第二次动作）。请问：白酒杯中所含的红酒与红酒杯中所含的白酒一样多吗？为什么？

这是笔者在学生学习了分式的知识后设计的一个问题。对此，很多学生尝试利用分式的知识，通过计算加以比较：第一次动作后，白酒杯中含白酒40 mL，红酒杯中含红酒50 mL、白酒10 mL;第二次动作后……计算遇到了困难。实际上，这个问题虽然通过计算完全能够给出判断，但是，解答过程涉及“溶液、溶质、浓度”等初三化学知识，而且计算过程比较复杂。

教学中，笔者设计了以下子问题，引导学生理解问题的实质。

（1）第二次动作后，两个杯子里都是混合酒，各有多少？

（2）白酒杯中含有的白酒还是50 mL吗？少的白酒哪里去了？

（3）白酒杯中多的红酒是哪里来的？

（4）白酒杯中少的白酒和多的红酒，从量上看一样吗？

学生围绕这四个子问题，通过分析、思考、讨论、交流发现，“最后白酒杯中所含的红酒数量等于红酒杯中所含的白酒数量，因为，两个酒杯中酒的总量不变，某个酒杯中少了的酒被另一个酒杯中少了的酒填上”。发现这个结论（数量关系或数学模型）是思辨的结果，而不是用算法得到的程嵘，练冬兰，廖运章.高中生解决数学应用题策略及表征偏向的调查研究[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（7）：4148。，需要具有敏锐的数学眼光：以整体、抽象（可辅以直观、形象）的新视角看到复杂变化中的简单不变（问题的本质）。

进一步地，我们不妨用斯托利亚尔和弗赖登塔尔的理论来认识数学眼光。斯托利亚尔认为，“数学教学应该是数学活动的教学”，并且指出数学活动可以分为三个阶段：“第一，经验材料的数学组织化;第二，数学材料的逻辑组织化;第三，数学理论的应用。”A.A.斯托利亚尔.数学教育学[M].丁尔陞，等译.北京：人民教育出版社，1984：7。弗赖登塔尔认为，“数学地组织现实世界的过程就是数学化”弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等编译.上海：上海教育出版社，1995：1。，并且指出数学化可分为横向（水平的）数学化和纵向（垂直的）数学化两个层次，横向数学化关注生活与数学的联系（包括从现实世界到数学知识、从数学知识到实际问题），纵向数学化关注数学知识内部的迁移与调整（从数學到数学）。数学眼光主要发生在横向数学化这个层次（或者数学活动的第一个阶段）。一个人的数学眼光与其具有的知识技能、积累的活动经验以及联系实际的意识与能力等因素有关。具有数学眼光的人，在经历这个层次的过程中形成了数学概念、法则、定理、规律，以及为解决实际问题而构造了数学模型等。

二、对培养数学眼光的几点思考

作为数学核心素养的构成，数学眼光主要表现为创新意识、空间观念、几何直观与抽象能力。中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：5。它们之间并不是完全独立的，有一定的交叉，尤其是创新意识和其他三种表现。因此，数学眼光的培养可以有侧重地从以下四个维度展开。

（一）增强创新意识

创新意识主要是数学眼光灵活、独到的表现。具有创新意识的人，往往思路开阔、富于联想，具有较强的直觉思维、发散思维能力，并且能够独立思考，敢于质疑问难。教学中，应该精选一些非常规问题、开放性问题，鼓励、引导学生经历观察、思考、联想、猜测等活动，在活动过程中打破常规，从新的角度或方向大胆探索，从而逐步学会把已知知识、方法广泛、迅速地迁移，灵活、变通地运用到新情境中去。久而久之，学生的创新意识将会得到增强，并逐步发展成为“数学慧眼”。

显然，上述例1可以增强学生的创新意识。这里再举一个简单的例子。

例2解方程x+1+x-1+|2x-3|=0。

这是笔者在学生学习了算术平方根的知识后设计的一道题目。此题不需要通过计算来解答，而是可以打破解方程的常规，从算术平方根和绝对值的性质的角度迅速作出无解的判断。

（二）发展空间观念

空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识;有助于理解现实生活空间物体的形态、结构及运动变化，是几何直观的基础，也是形成空间想象能力的经验基础。空间观念实际上是一种“形感”，是数学眼光形象、可感的表现。图形与几何领域的知识大多是发展学生空间观念的载体。教学中，应该精心设计问题情境，引导学生在观察、实验、猜测、推理等过程中，从感性到理性，完成对图形与几何领域概念与性质的感受、发现与梳理、总结。

例如，学生学习“正方体的展开图”时普遍感到困难，其根本原因在于空间观念弱。对此，我们设计了系列学习活动，引导学生经历“实验探究—交流发现—归类总结”的过程，系统掌握正方体的各种展开图，充分发展空间观念。

活动1观察正方体纸盒有几条棱，沿着其中的一些棱剪开，将正方体展开成平面图形（保证六个面通过未剪开的棱连在一起）。

活动2组内交流共有几种不同的展开图，各组长依次把本组内不同的展开图用胶带贴在黑板上（与前面小组已有的展开图重复的，就不要再贴了）。

活动3观察黑板上不同的展开图，思考有没有重复和遗漏;如果没有重复和遗漏，请将这些展开图归归类。

通过上述活动，在教师的引导下，学生梳理、总结出正方体的展开图共有11种情况，可以分为4种类型：（1）“一四一”型，如图1—图6所示;（2）“一二三”型，如图7—图9所示;（3）“二二二”型，如图10所示;（3）“三三”型，如图11所示。

例34个半径为1厘米的等圆的位置如图12所示，其中阴影部分酷似一个花瓶的纵截面（不妨称其为花瓶形）。你会计算花瓶形的面积吗？

这是青岛版初中数学九年级上册在“36 弧长及扇形面积的计算”后设置的一个阅读材料中的问题。此题以四个等圆按正方形的四个顶点“密铺”为背景，考查学生将不规则图形转化为规则图形来计算面积的能力。解此题的关键是发现“密铺”的空隙图形与一个圆的分割组合关系，能够很好地发展学生的空间观念，启发学生的思维。同时，图形设计精巧，可使学生感受到数学的对称、和谐美。此外，解题方法具有开放性、多样性，可以增强学生的创新意识。

教学中，可以引导学生观察、实验、猜测、验证、推理、计算，从而（至少）得到以下四种解法：

（1）如图13，将花瓶形的下部（圆）沿着相互垂直的两条直径剪成4块（剪下3块），拼到上部（空隙图形）的四周，可以拼成正方形。易知拼成的正方形的边长等于圆的直径，即2 cm，所以花瓶形的面积为2×2=4（cm2）。

（2）如图14，将花瓶形的上部（空隙图形）沿着相互垂直的两条对称轴剪成4块（剪下3块），拼到下部（圆）的四周，可以拼成正方形。易知拼成的正方形的边长等于圆的直径，即2 cm，所以花瓶形的面积为2×2=4（cm2）。

（3）如图15，将花瓶形的下部和上部分别沿着各自的一条对称轴（这两条对称轴相互垂直）剪成3块，也能拼成正方形。易知拼成的正方形的边长等于圆的直径，即2 cm，所以花瓶形的面积为2×2=4（cm2）。

（4）如图16，将花瓶形的下部（圆）沿着内接正方形的边剪成4块（剪下3块），拼到上部（空隙图形）的四周，可以得到长方形。该长方形的宽为2 cm，长为22 cm，所以面积为22×2=4（cm2）。

（三）重视几何直观

几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识和习惯，包括：感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征分类;依据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质;建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型;利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。教学中，应创设适当的问题情境，引导学生从实物中抽象出图形，或根据语言描述画出图形，尤其是利用坐标思想或几何意义将一些代数条件转化为几何图形，并分析图形特征与性质（包括其基本元素或其中基本图形的关系），用它解决问题。孙红强.图形：培养直观想象素养的关键要素[J].教育研究与评论（中学教育教学），2020（3）：5053。

例4两人相继在一张圆桌上摆放一枚同样大小的硬币（两人手中都有足够多的硬币），谁放下最后一枚而使对方没有地方再放，谁就获胜。试问：是先放者获胜还是后放者获胜？怎样才能稳操胜券？

本题以“在圆桌上摆放硬币”的游戏为背景，考查学生对圆的中心对称性的理解和应用。解答本题的关键是，运用几何直观，从实物中抽象出几何图形圆，充分利用圆的性质思考游戏的获胜策略：假如圆桌小到只能放下一枚硬币，当然是先放者获胜;假如圆桌比較大，先放者只要把第一枚硬币放在圆桌的中心位置，后放者每放下一枚硬币，先放者只要把硬币放在与后放者放的位置关于圆桌中心对称的位置，即可稳操胜券。通过解答这个问题，学生不仅能加深对圆的认识，而且能培养几何直观的意识与能力。

在此基础上，教师可以鼓励学生思考更一般的情况：桌面不是圆形而是长方形或正方形的话，这种解答策略还有效吗？从图形的对称性到游戏的对称策略，学生能够认识到对称是一种重要的思维模式，从而自觉地运用对称，思考、求解更多的问题。

（四）提升抽象能力

抽象能力主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力，包括：从实际情境或跨学科的问题中抽象出核心变量、变量的规律及变量之间的关系，并用数学符号予以表达;从具体的问题解决中概括出一般的结论，形成数学的方法与策略。从本质上看，“抽象是从许多事物中舍弃个别的、非本质属性，得到共同的、本质属性的思维过程”史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016：10。;数学抽象是指舍弃事物的一切物理属性，得到一个数学对象的思维过程。抽象是数学的本质特征之一，是数学的基本思想方法，并且是数学眼光深刻、犀利的表现。在数学知识形成及问题解决的教学中，都要让学生经历从现实到数学、从特殊到一般、透过现象看到本质等的数学抽象过程，从而提升数学抽象能力。

例如，教学一元二次方程的概念时，可以引导学生分层解决如下问题，从而经历数学抽象的完整过程。

【从问题到方程】

（1）金星学校要用大小完全相同的240块正方形地板砖铺一个面积为60 m2的音乐教室。设每块地板砖的边长为x m，为了求出地板砖的边长，可列方程：。

（2）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率7，乙行率3。乙东行，甲南行十步而斜东北，与乙会。问：甲乙行几何？”意思是：“甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度是7，乙的速度是3。乙向東行走，甲向南走了10步后向东北行走，与乙相遇。问：相遇时，甲乙分别走了多少？”设他们相遇时所用的时间为t，则相遇时甲共走了，乙共走了;为了求出相遇时，甲乙分别走了多少，可列方程：。

（3）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小3，这个两位数加上10后，恰好等于个位上的数字与十位上的数字之积的3倍。设个位上的数字为a，为了求出这个两位数，可列方程：。

这一层次的三个问题体现了从现实情境到数学模型的抽象。其中的现实情境既包括当下的生活现实，也包括史料中的生活现实，还包括数学现实。未知数的设法既有直接设，也有间接设。学生分析题目中的数量关系，不难列出三个方程：（1）240x2=60;（2）（3t）2+102=（7t-10）2;（3）a+10（a+3）+10=3a（a+3）。

【从特殊到一般】

（4）将所列出的三个方程依次化为按字母次数降序排列的一般形式，得到4x2-1=0、2t2-7t=0、3a2-2a-40=0。这三个方程有什么相同与不同之处？

（5）上面这三个方程的本质属性（相同之处）是什么？

这一层次的两个问题体现了从特殊情况到一般概念的抽象。先引导学生寻找特殊情况的相同与不同之处（各种属性），再引导学生保留相同之处（本质属性），剔除不同之处（非本质属性），从而建立一般概念。学生经过思考、交流，可以得到三个方程的相同与不同之处：（1）都含有一个未知数;（2）未知数有不同的含义;（3）未知数的最高次数都是2;（4）未知数的一次项和常数项可有可无。进而，可以根据三个方程的本质属性，给出一元二次方程的概念：可以化为ax2+bx+c=0（x为未知数，a、b、c为常数，a≠0）形式的方程。

例5（2018年江西省中考试题）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

【求解体验】

（1）已知抛物线y=-x2+bx-3经过点（-1，0），则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线的表达式是。

【抽象感悟】

我们定义：与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于y轴上的点M（0，m）对称的抛物线y′称为抛物线y的“衍生抛物线”，点M称为“衍生中心”。

（2）已知抛物线y=-x2-2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围。

【问题解决】

（3）已知抛物线y=ax2+2ax-b（a≠0）。

①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2-2bx+a2（b≠0），两条抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标;

②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1;关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2……关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn，其顶点为An（n为正整数）……求AnAn+1的长（用含n的式子表示）。

在学生学习了抛物线解析式的求法、一般式与顶点式的互化、顶点坐标以及开口朝向与大小（由什么决定）等知识后，笔者让学生解决这道中考题。本题以二次函数相关知识为载体，新定义“衍生抛物线”的概念，分层设问，充分体现了从特殊到一般的抽象过程：不仅从第（1）问到第（3）问体现了解析式与对称中心逐渐一般化的过程[第（3）问的第①小问还有一个逆向设计]，而且第（3）问的第②小问的解答也需要经历一个从特殊到一般的过程（先求A1、A2，类推An、An+1）。多解决这类新定义、分层设问的问题，十分有利于学生提升阅读理解能力以及数学抽象能力。