试题命制“五步走”

丁益民

摘要：在一次市级高一数学期末联考命题中，命制了一道解答题。从人教A版高中数学必修第一册《指数函数与对数函数》一章中一道与双曲函数有关的恒等式证明题出发，经历了从“原型”到“雏形”、从“雏形”到基本“定形”、推敲打磨细节、设置参考答案、“再次读题，调整表述”的过程，加入了数学文化情境，扩大了考查范围，完善了细节内涵，保证了科学严谨。

关键词：试题命制;教材;双曲函数;数学文化

本文系江苏省苏州市前瞻性项目“新时代教育评价改革背景下的精准测评研究”的阶段性研究成果。教学离不开评价，评价常常以测试的形式进行量化。新高考评价体系下，如何命题是重要的研究课题。前不久，笔者参加了一次市级高一数学期末联考命题工作，命制了一道解答题。现以该题为例，谈谈试题命制的基本过程。

一、从“原型”到“雏形”

试题命制通常会在“原型”（如陈题、情境、素材等）的基础上进行加工。为了确保命题不“走偏”，以教材中的题为“原型”是一个比较可靠、适切的做法。这是因为教材中的例、习题往往具有较强的基础性、典型性与示范性。“用教材命题”，一方面可以引导教师重视“用教材教”，另一方面可以充分挖掘教材中典型素材的教学功能。而现实的情况是，在很多单元、期中或期末测试中，由教材例、习题改编而成的试题占比不高;在教学中，教材时常处于一种可有可无、形同虚设的尴尬地位。因此，“用教材命题”是新高考背景下评价教学质量的重要途径，更是纠偏教学中“轻教材、重教辅”现象的有效举措。

本次命题考查的范围是人教A版高中数学[根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的教材，也是目前苏州市高一、高二学生使用的教材]必修第一册中的所有知识。命题之初，笔者认真研读了该册教材中的所有例、习题，凭借自己的认知和经验，挑选了一些有研究价值的题目作为“原型”。其中包括第四章《指数函数与对数函数》复习参考题的第6题：

这道题的训练点是指数运算法则以及乘法公式。但如果挖掘下去，就知道f（x）、g（x）分别是双曲正弦函数和双曲余弦函数，即著名的悬链线函数，而要证的结论则是与双曲函数有关的几个相对简单的恒等式（类似于三角恒等变换的几个基本公式），进而可以挖出与之相关的数学史素材。华志远.高中数学文化校本选修课的基本样态——以《函数与数学文化》一课为例[J].教育研究与评论（中学教育教学），2022（1）：33。同时，收集往年的高考题和模拟题，也发现了双曲函数的“身影”，如2014年江苏高考数学卷第19题、2015年湖北高考文科数学卷第21题等，均以双曲函数为函数载体。考虑到双曲函数的数学文化属性，在试题情境方面，采用简明扼要的数学文化知识叙述来呈现。这就有了试题的“雏形”：

如图1，悬索桥的外观大气漂亮，它的图形是平面几何中的悬链线。1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为y=c2（exc+e-xc），其中c为参数。当c=1时，就是双曲函数，其中双曲余弦函数cosh x=ex+e-x2，双曲正弦函数sinh x=ex-e-x2。

下列说法正确的是（）

A.函数y=sinh xcosh x为奇函数

B.cosh2 x-cos2 x=sinh2 x+sin2 x

C.函数y=cosh 2x+sinh x的最小值为78

D.对x∈0，π2，有cosh（cos x）>sinh （sin x）

这样命制是基于三方面的思考。一是对学生而言，函数载体取自教材，测试背景是公平的，也能间接地反映平时的教学是否真正重视教材、研究教材。二是以数学文化情境呈现试题，运用数学史简述双曲函数的由来，对接新高考的命题风格，发挥数学文化在命题上的点缀功能。三是最重要的，即将指数运算、指数函数以及三角函数（在必修第一册第五章）等基础知识，通过运算、复合等手段整合在一起，考查学生对基础知识和基本方法的掌握情况，进而考查学生的数学运算和逻辑推理等核心素养。四个选项分别考查代数运算、函数性质的不同方面：除了B选项继续考查教材原题第1小题的双曲函数恒等式之外，A选项实际上考查的是双曲正切函数的奇偶性;C选项则既考查了教材原题第3小题和第1小题的双曲函数恒等式，又在双曲正弦函数与二次函数复合的基础上，考查双曲正弦函数的值域和二次函数的最值;D选项则在三角函数与双曲函数复合的基础上，考查正弦函数、余弦函数和指数函数的单调性以及相关的不等关系。

二、从“雏形”到基本“定形”

从“原型”到“雏形”，更多考虑知识范围及考查内容。此后，需要重点关注学生能力与题型特点、考查要求，对“雏形”进行改造、确定，让试题基本“定形”。

命题组成员认为，“雏形”中这种同一情境下“拼盘式”的多选题对学生的能力要求颇高，可能起不到很好的测试效果。首先，从题目本身来看，一些学生可能在选择A选项后便“收工”了，这就导致B、C、D三个选项起不到预设的测试效果，进而影响试题的效度。其次，高一的学生对D选项的外在形式容易产生畏惧心理，可能会直接放弃;若进行严格的推断，也具有一定的难度（需要分类讨论，找到反例）。再者，四个选项均以运算、推演为主要的思维活动，若要完整地解答，需要较长的时间，这使得整道题难度、容量过大。鉴于此，命题组一致认为，应该将此题调整为解答题并适当减少考查點。

解答题的命制，首先要考虑各个小题的配置，既要有一定的难易梯度，还要有相对理想的区分度。一开始，我们为该解答题设计了以下三个小题：

（1）求证：cosh 2x=cosh2 x+sinh2 x;

（2）求函数y=cosh 2x+sinh x的最小值;

（3）求证：对x∈-3π4，π4，cosh （cos x）>sinh （sin x）。

第1小题就是教材原题的第3小题，继续考查双曲函数恒等式的证明，并且降低了难度（去掉了之前B选项中的三角函数式），定位是基础题，考查学生运用指数运算法则进行数学运算的素养。第2小题由之前的C选项转化而来，继续考查通过双曲函数之间的关系将原题转化为二次函数的最值问题，定位是中档题，考查学生数学运算及逻辑推理的素养。第3小题由之前的D选项转化而来，并且基于结论“对x∈-3π4，π4，cos x>sin x”调整了变量的取值范围（避免了分类讨论），定位是难题，考查学生综合运用知识进行逻辑推理的素养。

回过头来看教材原题，我们发现，这样的设计有些偏离了教材原题考查双曲函数恒等式证明的初衷。而且，第1小题和第2小题分为两小题，也在一定程度上割裂了它们之间的关联：借助第1小题的双曲函数恒等式，代换转化第2小题的函数表达式，发现它是复合而成的二次函数，从而解决第2小题。另外，从设问的风格看，两个证明题中夹着一个求最值题，显得极不协调。

综合考量这些问题，我们将上述第1小题和第2小题合并成试题基本“定形”的第1小题（自然，上述第3小题就成了试题基本“定形”的第2小题）：

请从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数y=cosh 2x+sinh x的最小值;

①cosh2 x-sinh2 x=1;

②sinh 2x=2sinh xcosh x;

③cosh 2x=cosh2 x+sinh2 x。

这一调整也能体现开放设问的意味，可以满足不同学生的答题需求，契合了新高考对新题型不断探索与实验的做法。

三、推敲打磨细节

试题命制基本完成后，需要对其中的一些细节，如数据的大小、条件的开放与限制等，进行推敲打磨，以追求更好的考查效果。

对于试题基本“定形”的第2小题，命题组成员提出：-3π4，π4这样的范围设计是否过于简单（可以直接得出cos x>sin x）？是否可以扩大（保持结论成立）？如果可以扩大，扩大到哪里比较合适（高一学生能够用所学的数学知识证明结论）？

为了找到合适的范围，我们借助绘图软件作出了y=cosh （cos x）、y=sinh （sin x）的图像（如图2所示）。根据图像，我们形成了“可以扩大变量的取值范围，让学生分类讨论证明结论”的共识。同时，我们联想到，2020年全国新高考适应性考试（八省联考）数学卷的最后一道题也是指数函数与三角函数的组合题，也是分成两段区间讨论解决的，从而坚定了上述共识。

在此基础上，我们先将范围调整为-5π4，π4，但尝试解答后发现，解答起来有点拖泥带水，不够简洁;继而将范围调整至-π，π4，解答只需要进行两次讨论即可。

四、设置参考答案

推敲打磨细节后，还需要设置参考答案（解题过程），一来检查题目是否可解、是否适合学生解答，二来给阅卷评分提供参考。设置参考答案时，我们的原则是尽可能从学生的角度出发思考。

试题基本“定形”的第1小题，解题思路比较清晰，解答过程也比较简单。这里重点谈谈第2小题参考答案的设置。

作差法应该是学生首选的解题方法，因为作差法是研究不等关系最朴素、最基本的一种方法。于是，我们从作差比大小的角度探索解题思路。cosh（cos x）-sinh（sin x）=ecos x+e-cos x2-esin x-e-sin x2，下面的问题就是如何判断符号。注意到四项中只有-esin x为负数，其余三项均为正数，将三个正数项与-esin x组合来判断符号应该是自然的想法。

比如组合成12[（ecos x-esin x）+（e-cos x+e-sin x）]，就需要比较ecos x、esin x的大小，自然想到运用指数函数的单调性转化成比较cos x、sin x的大小，这就需要分x∈-3π4，π4和x∈-π，-3π4两种情况讨论。当x∈-3π4，π4时，解题过程如下：

当x∈-3π4，π4时，cos x≥sin x，且y=ex在R上单调递增，得ecos x≥esin x，即ecos x-esin x≥0。又e-cos x>0，e-sin x>0，得cosh （cos x）-sinh （sin x）>0，即cosh （cos x）>sinh （sin x）。

而当x∈-π，-3π4时，用上述组合无法判断，可考虑重新组合（这正是思维的难点所在）。比如组合成12[（ecos x+e-cos x）+（e-sin x-esin x）]，只需要说明e-sin x>esin x。解题过程如下：

当x∈-π，-3π4时，sin x≤0，由y=ex的单调性，得e-sin x≥esin x，故cosh（cos x）>sinh （sin x）。

当然，也可以分x∈[-π，0）和x∈0，π4两种情况讨论，分别用上述组合处理。

此外，当x∈0，π4时（也是判断试题“雏形”中D选项时的一种分类），也可以在复合函数的视角下审视函数变化的快慢以及最值，但这要求学生对常见函数（双曲线型函数）有足够的理解：

当x∈0，π4时，令t=esin x，s=ecos x，则t∈[1，e22]，s∈[e22，e]，由于12t-1t≤12e22-e-22，12s+1s≥12e22+e-22，所以cosh （cos x）>sinh （sin x）。

五、再次读题，调整表述

最后，需要再次完整讀题，调整表述（力求完美）：既要逐字逐句地读文字表述，对可能存在的歧义以及不严谨之处予以纠正，也要一一检查数据、图表，避免出现科学上的问题。

阅读试题基本“定形”的题干时，我们发现，“它（悬索桥）的图形是平面几何中的悬链线”这样的表述并不严谨，因为悬索桥不仅仅包括悬索，还有其他结构，于是将其调整为“悬索的形状是平面几何中的悬链线”。我们又发现，“当c=1时，就是双曲函数，其中双曲余弦函数cosh x=ex+e-x2，双曲正弦函数sinh x=ex-e-x2”这样的表述也不严谨，因为由推导出的悬链线方程，当c=1时只能得到双曲余弦函数，于是将其调整为“当c=1时，该方程就是双曲余弦函数cosh x=ex+e-x2。类似地，我们得到双曲正弦函数sinh x=ex-e-x2”。

另外，对于本题中悬索桥的图片，我们也花费了一定的心思：在网络上找了很多图片进行对比，从清晰度、美观性和印刷影响等方面综合考量，最终选定为图3。