改头换面变出精彩

2022-06-21文／陈建

初中生世界 2022年23期

关键词：顶角绕点等腰三角

文／陈建

相信同学们平时做题时都有这样一种感觉，总有做不完的题目和层出不穷的方法。可是，你知道许多问题都是教材例题或习题“改头换面”后出现的吗？下面，我们做个尝试，看看“改头换面”的问题你能否看出来。

一、原题呈现

（苏科版数学教材八年级下册第91 页复习题4）如图1，△ABC和△ADE都是顶角为45°的等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边。图中的△ACE可以看成由哪个三角形通过怎样的旋转得到的？证明△ACE与这个三角形全等。

图1

根据条件，同学们不难发现AB、AD分别绕点A逆时针旋转45°可得AC、AE，所以△ACE可以看成由△ABD绕点A按逆时针方向旋转45°得到。条件又告诉我们∠BAC=∠DAE=45°，所以∠BAD=∠CAE，再根据“SAS”就可证得△ABD≌△ACE了。下面，我们对这个问题“改头换面”。

二、改头换面

变式1如图2，若把原题中两个等腰三角形的顶角45°改为90°，请问BD与CE有什么关系？请说明理由。

图2

【思路】眼尖的同学已经看出来了，这里仅仅改变了顶角的度数，将“证明三角形全等”改为“探究一组边的关系”。

线段BD与CE的数量关系为BD=CE。变式后的问题证明方法有变化吗？没有变化！其实，两个等腰三形的顶角是45°还是90°无关紧要，我们主要是用其“相等”的特点，证明方法不变。由原题的思路易得△ABD≌△ACE，由此可见BD=CE，∠ABD=∠ACE。再来看看BD与CE的位置关系，延长BD交CE于点F，由∠ABC+∠ACB=90°，可得∠FBC+∠ACE+∠ACB=90°，即∠BFC=90°。由此可见BD与CE的关系不仅有BD=CE，还有BD⊥CE。

【点评】线段关系一般要从“数量关系”和“位置关系”两个角度思考。

变式2在原题的条件下，连接CD，把△ADE绕点A旋转至DE⊥AC的位置时（如图3），试证明BD=CD。

图3

【思路】由于旋转时△ABD和△ACE始终保持全等，故BD=CE。要证明BD=CD，只要说明CD=CE即可。当DE⊥AC且垂足在线段AC上时，由AD=AE，根据“三线合一”可得AC垂直平分DE，所以有CD=CE，从而得BD=CD。当DE⊥AC且垂足在CA延长线上时，同理可得CD=CE。

【点评】给出DE⊥AC这一条件，意味着图形的相互位置关系被部分“锁定”。原来不确定的元素被部分确定，图形必然出现更特殊的性质，探究时要充分利用这些特殊性质。

变式3如图4，把两个等腰三角形的顶角45°改为90°，且AB=AC=2 10，AD=AE=2 2，把△ADE绕点A进行旋转，DE与线段AC相交于点F，当B、D、E三点共线时，求CE的长。

图4

【思路】从条件看，该图形的位置与大小均被“锁定”。由∠ADE=∠AED=45°得∠ADB=135°。根据勾股定理，得DE=4，BC=4 5。由△ABD≌△ACE，可得∠AEC=∠ADB=135°，BD=CE，所以∠BEC=90°。在Rt△EBC中，BC=4 5，BE与EC的差为4，设CE=x，根据勾股定理，有x2+（x+4）2=（4 5）2，解得x=4，即CE的长为4。

【点评】勾股定理是求线段长常用的方法。如果所求线段不在同一直角三角形中，我们应选择条件较多的直角三角形，或设法将分散的条件集中到同一直角三角形之中。

变式4在变式3 的条件下，将“DE与线段AC相交于点F”改为“DE与直线AC相交于点F”，当B、D、E三点共线时，求CE的长。

【思路】DE与直线AC相交，旋转时点F可能在线段AC上，也有可能在线段CA的延长线上。当点F在线段AC上时，思路见变式3。当点F在线段CA延长线上时，如图5，由△ABD≌△ACE，可得∠AEC=∠ADB=45°，CE=BD，又∠AEB=135°，所以有∠BEC=90°。设CE=x，根据勾股定理，有x2+（x-4）2=（4 5）2，解得x=8。所以CE的长为4或8。