一棵神奇的“树”

文／刘 芸

计算等可能条件下的概率是概率问题中的重要内容之一，而解决此类问题的关键在于是否能够不重复、不遗漏地列举出所有可能出现的结果，这个时候我们就需要这棵神奇的“树”——树状图的帮助了。

原题呈现（苏科版数学教材九年级上册第136 页例4）一只不透明的袋子中装有1个白球和2 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1 个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1 个球。求两次都摸到红球的概率。

【解析】要用这棵神奇的“树”解决概率问题。首先，给红球编号：红1，红2。然后，模拟试验过程，共两步：1.第一次摸球，可能出现3种结果；2.第二次摸球，可能出现3 种结果。最后，用这棵神奇的“树”列出所有等可能的情形：

由上图可知，共有9 种等可能的结果，“两次都摸到红球”记为事件A，它的发生有4种结果，所以

【点评】树状图的优势在于能够清晰完整地把整个试验的过程展示出来。借助树状图列举所有可能出现的结果时，我们只有在头脑中模拟好试验的步骤，以及每一个步骤可能出现的结果，然后把它们填入这棵“树”的“枝丫”之上，才能构造出一棵完美的“树”。有了它，一切问题都能迎刃而解。

【拓展1】（2021·江苏常州）在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等。将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中。

（1）搅匀后从中任意抽出1 支签，抽到条件①的概率是________；

（2）搅匀后先从中任意抽出1 支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签。四边形ABCD同时满足抽到的2 张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率。

【解析】（1）从中任意抽出1 支签，可能出现①、②、③，共3 种结果，“抽到条件①”记为事件A，所以

（2）抽签试验共分两步：第一次抽签时有3 支签可抽，可能出现3 种结果；第二次抽签时，由于第1 支签不放回，所以只有2 支签可抽，可能出现2 种结果。接下来，给神奇的“树”填满“枝丫”，所得树状图如下：

由上图可知，共有6 种等可能的结果，“同时满足抽到的2 支签上的条件，所得四边形ABCD一定是正方形”记为事件B，四边形是正方形必须同时满足①②或①③两个条件，它的发生有4种结果，所以

【点评】这道中考题是在教材例题的基础上对于第一次摸球后是否放回进行的拓展。如果是放回，则第二次摸球可能出现的结果数和第一次摸球相同；如果是不放回，则第二次摸球可能出现的结果数会比第一次摸球少1种，所以需要适当修剪“枝丫”。

【拓展2】（2020·江苏镇江）智慧的中国古代先民发明了用抽象的符号来表达丰富的含义。例如，符号“”有刚毅的含义，符号“”有愉快的含义。符号中的“”表示“阴”，“ ”表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义。所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同。

（1）所有这些三行符号共有________种；

（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率。

【解析】（1）相比于摸球和抽签，这个试验没有很明显的试验步骤。我们在解题时可以模拟画符号的过程，将这个试验分为画第一行、画第二行和画第三行三步，每一步都可能出现阴、阳2 种结果，然后只需要让我们的“树”再努力生长一次就可以了：

由上图可知，共有8种等可能的结果。

（2）“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”记为事件A，它的发生有3种结果，所以

【拓展3】（2021·江苏徐州）如图1，一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，A1、B1、B2……D3、D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等。从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内。用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率。

图1

【解析】在这个游戏中也没有具体的试验步骤。我们在解题时可以直接以小球落入的层数来进行步骤划分，除了第一层，每一层都有可能出现2 种结果，据此可以得到如下一棵生长的“大树”：

由上图可知，共有8 种等可能的结果，“圆球落入③号槽内”记为事件A，它的发生有3种结果，所以

【点评】镇江和徐州的这两道中考题是将教材例题的两步试验增加到三步试验，而且不像摸球和抽签试验那样有较为明显的步骤区分。我们在解题时可以根据结果的形成过程进行区分，在原有的两层“枝丫”上进行再次分裂生长，形成更茁壮的“大树”，让问题和结果一目了然。