图的ISI-Estrada指数的界

2022-06-18李海毓高玉斌

重庆理工大学学报(自然科学) 2022年5期

李海毓，高玉斌

(中北大学理学院，太原 030051)

0 引言

拓扑指数是一种基于化合物分子图构建的分子描述符，在数学与化学中有着广泛的应用。为了描述小分子和大分子的三维结构，Estrada[1]提出了一种新的基于特征值的拓扑指数，称为Estrada指数。Estrada指数在生物、分子化学、复杂网络等方面都有广泛的应用，是一种重要的分子拓扑指数，相关研究成果可参见文献[2-7]。

设G是一个无环、无重边的简单无向图，其顶点集为V(G)={v1,v2,…,vn}，边集为E(G)，且|E(G)|=m。若vi与vj相邻，记为vivj∈E(G)，用di表示顶点vi的度。矩阵的零度是指其零特征值的个数，用n0表示矩阵的零度。矩阵的谱半径是指矩阵的特征值中绝对值最大的特征值，而图的谱是指其邻接矩阵G的所有特征值的集合。设A(G)的特征值为λi(i=1,2,…,n),不妨设λ1≥λ2≥…≥λn,则图G的能量[7]被定义为：

图G的Estrada指数[1]被定义为：

基于上述指数，Zangi等[9]定义了n阶连通图G的ISI矩阵AISI=AISI(G)，其(i,j)元素为

设ξ1≥ξ2≥…≥ξn为ISI矩阵AISI(G)的特征值，称ξ1为图G的ISI谱半径。图G的ISI能量[8]定义为：

图G的ISI-Estrada指数[10]定义为：

对于文中部分符号和术语，见参考文献[10-11]。

1 ISI-Estrada指数的基本性质

由ISI-Estrada指数的定义，可以得到以下结论：

(1)

由图的ISI矩阵的定义可知，对于任意的边vivj∈E(G)，则它的权值aij为

(2)

故图G的第k阶ISI谱矩等于图G的每一个k长自回路中边的权值的乘积的和，即

(3)

其中，Ct(G)(3≤t≤n)表示图G中长为t的圈的集合。

结论2设Δ=Δ(G)与δ=δ(G)分别为图G的最大度与最小度，则

1) 对于任意的vi∈V(G),有

1≤δ≤di≤Δ≤n-1

2) 对于任意的vivj∈E(G)，根据di,dj≥1

di(dj-1)+dj(di-1)≥0

则

(4)

3) 通过基本不等式，对于任意的vivj∈E(G)，有

(5)

结论3由于二部图的ISI矩阵是对称的，故其特征值满足ξn-i+1=-ξi,i=1,2,…,n。因此，若图G为二部图，n0为图G所对应的ISI矩阵的零度，则

(6)

引理1设G为n个顶点的简单图，ξi(i=1,2,…,n)为ISI矩阵AISI(G)的特征值，则

(7)

当且仅当图G为二部图时等号成立。

引理3完全二部图Kp,q的ISI矩阵特征值为

2 图的ISI-Estrada指数的界

利用ISI-Estrada指数的基本性质，根据顶点数和边数、零度等图的不变量给出关于图的ISI-Estrada指数的上下界。

定理1设G为n个顶点m条边的简单图，则

(8)

证明先证上界。由式(1)可知

(9)

即

(10)

再证下界。由ISI-Estrada指数的定义可以得到

(11)

利用算数几何不等式，有

(12)

(13)

其中aij为图G中的边γ∈[0,8]的权值。为了取得更好的下界，设乘数γ∈[0,8]，则有

(14)

即

(15)

将式(15)和式(12)代入式(10)可以得到

则

(16)

设函数

因为f(x)在区间[0,8]上单调递减，故当γ=0时f(x)取得最大值，此时EEISI取得最优下界，即

定理2设G为n个顶点、m条边的简单图，r3为G中圈长为3的圈的个数，则

(17)

证明根据式(13)，利用第二阶、第三阶ISI谱矩展开，则

利用与定理1中同样的方法，设乘数γ∈[0,16],则可以得到

定理3设图G为n阶简单图，k0(≥2)是一个整数，则

(18)

证明采用与定理1、定理2同样的方法，按第k阶ISI谱矩展开可以得到上述定理。

当k0=2时，式(18)为定理1的下界，k0=3时为定理2。

定理4设图G是具有n个顶点、m条边的简单图，且整数k≥2，则

(19)

证明由ISI-Estrada指数的定义有

则

在上述定理中，令k0=2，则有

(20)

此上界优于定理1中的上界。

定理5设图G为边数为m的n阶简单图，且ISI矩阵的零度n0

(21)

当且仅当G是由孤立点和多个完全二部图Kr,r(r为常数) 组成时等号成立。

证明由式(4)可以得到

由引理1与引理2,有

(22)

从引理1可以得知，当且仅当G是二部图时式(22)等号成立。由ISI矩阵的形式可知，二部图的ISI矩阵是对称的，G的所有非零ISI特征值的绝对值相等，所以图G是二部图，包含2个不同的ISI特征值或3个不同的ISI特征值，且每个连通部分都是正则的[13]。结合引理3可知，G由孤立点和多个完全二部图Kr,r(r为常数)组成，证毕。

定理6设图G是有n个顶点、m条边的二部图，则

(23)

证明用n+表示图G的ISI矩阵正特征值的个数。由矩阵理论的基本性质，可以得知它与负ISI特征值的个数相等。因此，有n0+2n+=n。由ISI-Estrada指数的定义和式(5)可知，若

成立，则