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伴随矩阵的性质及在解题中的应用

2019-10-18廖文诗龙莆均田学全何勇李海霞重庆科技学院数理与大数据学院重庆401331

新生代 2019年16期
关键词:特征值等式矩阵

廖文诗 龙莆均 田学全 何勇 李海霞 重庆科技学院数理与大数据学院 重庆 401331

伴随矩阵是线性代数、高等代数及矩阵理论中的一个基本内容.在线性代数中,伴随矩阵与可逆矩阵只相差一个常数倍,因此主要利用伴随矩阵求一个可逆矩阵的逆矩阵(伴随矩阵法).由于伴随矩阵有许多类似于可逆矩阵的好的性质,因此,在特征值计算、矩阵方程、多项式理论等方面也有应用.我们先给出伴随矩阵的一些性质及其证明.

一、伴随矩阵的性质

性质1:A*A=AA*=|A|E.

性质2:A*=|A|A-1,(A*)-1=|A|-1A.

性质3:(A*)-1=(A-1)*,(A*)T=(AT)*.

性质4:(AB)*=B*A*.

推广性质4:(A1A2…AS)*=AS*…A2*A1*.

性质5:n阶可逆方阵A的特征值为λ1,λ2,…,λn≠0,则A*的 特 征 值 为 λi-1|A|其 中 i=1,2,…n, 即 λ2λ3…λn,λ1λ3…λn,…,λ1λ2…λn-1.

性质6:若矩阵A与B相似,则A*与B*也相似【2】.

证明:(1)当A与B均可逆时,若A与B相似,则|A|=|B|且存在可逆矩阵P,使得B=P-1AP,等式两边同时取逆,得到B-1=P-1A-1P,且有|B|B-1=P-1|A|A-1P,由性质2,可得B*=P-1A*P,因此A*与B*也相似.

(2)当A与B均不可逆时,若A与B相似,则存在可逆矩阵P,使得B=P-1AP,等式两边同时取伴随,利用性质3和性质4(证明见文献【1】),得到B*=P*A*(P*)-1因此A*与B*也相似.

性质7:若n阶对称矩阵A正定,则A*也正定【2】.

证明: 若对称矩阵A正定,则A的所有特征值λ1,λ2,…,λn>0且 |A|λ1λ2…λn>0,由于 A*的特征值为λi-1|A|,i=1,2,…,n,因此,A*的所有特征值大于零,所以A*也正定.

二、伴随矩阵在解题中的应用

例1设A的特征值为1,2,3,且A与B相似,求|B*|,|3A*-2E|.

解A的特征值为1,2,3,且A与B相似,得到B的特征值也为1,2,3,则由性质5,B*的特征值为6,3,2,故|B*|=36.又由性质6,A*与B*有相同的特征值,3A*-2E的特征值为16.7.4故|3A*-2E|=448

例 2【3】设

,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,求B.

解由|A|=3及ABA*=2BA*+E,得B=(3A-6E)-1A.又由

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