伴随矩阵的性质及在解题中的应用

廖文诗 龙莆均 田学全 何勇 李海霞 重庆科技学院数理与大数据学院 重庆 401331

伴随矩阵是线性代数、高等代数及矩阵理论中的一个基本内容.在线性代数中,伴随矩阵与可逆矩阵只相差一个常数倍,因此主要利用伴随矩阵求一个可逆矩阵的逆矩阵(伴随矩阵法).由于伴随矩阵有许多类似于可逆矩阵的好的性质,因此,在特征值计算、矩阵方程、多项式理论等方面也有应用.我们先给出伴随矩阵的一些性质及其证明.

一、伴随矩阵的性质

性质1:A*A=AA*=|A|E.

性质2:A*=|A|A-1,(A*)-1=|A|-1A.

性质3:(A*)-1=(A-1)*,(A*)T=(AT)*.

性质4:(AB)*=B*A*.

推广性质4:(A1A2…AS)*=AS*…A2*A1*.

性质5:n阶可逆方阵A的特征值为λ1,λ2,…,λn≠0,则A*的 特 征 值 为 λi-1|A|其 中 i=1,2,…n, 即 λ2λ3…λn,λ1λ3…λn,…,λ1λ2…λn-1.

性质6:若矩阵A与B相似,则A*与B*也相似【2】.

证明:(1)当A与B均可逆时,若A与B相似,则|A|=|B|且存在可逆矩阵P,使得B=P-1AP,等式两边同时取逆,得到B-1=P-1A-1P,且有|B|B-1=P-1|A|A-1P,由性质2,可得B*=P-1A*P,因此A*与B*也相似.

(2)当A与B均不可逆时,若A与B相似,则存在可逆矩阵P,使得B=P-1AP,等式两边同时取伴随,利用性质3和性质4(证明见文献【1】),得到B*=P*A*(P*)-1因此A*与B*也相似.

性质7:若n阶对称矩阵A正定,则A*也正定【2】.

证明: 若对称矩阵A正定,则A的所有特征值λ1,λ2,…,λn>0且 |A|λ1λ2…λn>0,由于 A*的特征值为λi-1|A|,i=1,2,…,n,因此,A*的所有特征值大于零,所以A*也正定.

二、伴随矩阵在解题中的应用

例1设A的特征值为1,2,3,且A与B相似,求|B*|,|3A*-2E|.

解A的特征值为1,2,3,且A与B相似,得到B的特征值也为1,2,3,则由性质5,B*的特征值为6,3,2,故|B*|=36.又由性质6,A*与B*有相同的特征值,3A*-2E的特征值为16.7.4故|3A*-2E|=448

例 2【3】设

,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,求B.

解由|A|=3及ABA*=2BA*+E,得B=(3A-6E)-1A.又由