《自动控制原理》教学探索与实践——以梅森公式为例

诸兵，左宗玉，王艳东

(北京航空航天大学 自动化科学与电气工程学院，北京)

一 引言

国内大多数高等院校信息类和航空航天类相关专业都开设有《自动控制原理》课程。该课程是自动化相关专业的理论基础课，同时又是其它信息类和航空航天类学科的重要基础课之一，例如计算机、电子信息、航空宇航、机器人等等。一个工程系统的正常运行通常在很大程度上依赖其控制系统的性能。在新工科背景下，通过对《自动控制原理》课程的学习，使本科学生系统掌握自动控制的基本理论知识和了解必要的实践手段，为后续专业课学习和参加信息类和航空航天类工程实践打下必要的基础。

北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院承担全校部分学院的本科《自动控制原理》课程。该课程为国家级精品课程、北京市精品课程，是自动化相关本科学科的专业核心课，在北航自动化及相关专业课程体系中占有重要地位。课程所使用的教材为程鹏教授主编《自动控制原理》（第二版），由高等教育出版社出版，并配套有辅助教材。教材与辅助教材均为普通高等教育“十一五”国家级规划教材配套用书。根据北航办学方针和自动化学院的本科培养目标，结合教学大纲的基本要求，《自动控制原理》教研组不断总结和分析教学实践中的经验和问题，持续改进教学方法和教学手段，并取得了良好效果[1]。

目前，《自动控制原理》课程教学实践中的一个典型问题，该课程的主要内容是在实际工程中提炼出来的理论分析与设计方法，由于课时有限，课程的讲授需要找到理论推导与工程实践之间的平衡点。过于注重理论推导而忽视应用，则容易脱离课程的教学目标，让学生感觉不知所云，从而引发厌学情绪；过于注重应用而忽视理论推导，则不利于学生培养学科的思维方式，也不利于进入后续课程的深入学习。当前国内高校的普遍情况是《自动控制原理》课程及教材非常注重理论结果的精确描述和相关应用，但是受限于工科学生的基础数理知识，并未充分给出所有理论结果的证明和推导。以梅森公式为例，通过该公式能够直接计算出动态结构图（或信号流图）描述的线性系统的传递函数，是非常重要的理论结果，也具有重要工程意义，但是几乎所有国内外的著名教材都未能给出其详细证明[2-5]。通过查阅早期文献以及一些相关的后续研究，能够发现文献中的原始证明方法需要使用一些自动化类本科生可能不曾接触的理论知识。讲授梅森公式的证明需要在教学实践中尝试使用其它能使自动化类工科学生接受的方法。

本文针对《自动控制原理》课程中存在的普遍忽视定理证明的问题，以梅森公式为例，探索如何简洁充分讲述定理的理论推导的方法。并研究理论推导如何提升学生学习兴趣，研究如何促进学生熟练掌握和灵活运用相关定理，最终提高学生的学习效果。

二 教学探索与实践——以梅森公式为例

（一） 动态结构图与信号流图

同一个线性系统，既可以用动态结构图描述，也可以用信号流图描述。两种描述方法的形式不同，但是物理意义是一样的。

动态结构图（或者方框图）中，方框表示各元部件的传递函数，各方框之间通过信号线、综合点和引出点连接，形成描述整个系统的网络。例如图1是一个典型的线性系统反馈结构。

信号流图的形式与动态结构图不同，使用有向信号线表示各元部件的输入输出关系（即传递函数），信号线中的信号进入节点做加减法计算，计算结果输出到下一信号线。例如图2 所示为信号流图，它与图1 描述的是同一个系统。通常，可以（不精确地）认为，信号流图中的节点为动态结构图中的信号线，而信号流图中的信号线为动态结构图中的方框。

使用信号流图的描述方式，梅森公式的证明显得简单直观。动态结构图描述方式下的梅森公式物理意义是相同的。

（二） 梅森公式（Mason’s gain formula）

梅森公式用于直接由动态结构图或者信号流图计算线性系统的传递函数，其表达式见公式（1）。

图2 线性系统信号流图

Li为第i个回路传递函数（含符号）的乘积；

LiLj为两个互不接触回路的传递函数（含符号）的乘积（这里，互不接触是指两个回路不享有相同的元部件）；

LiLjLk为三个互不接触回路的传递函数（含符号）的乘积，等等。

N为前向通路[ 从输入R(s) 到输出C(s) 且不重复访问同一点]的条数；

Pk为第k条前向通道传递函数的乘积；

△k为第k条前向通道的余子式，即将△中去除与k条前向通路相接触的回路后的余项。

经过长期教学实践，如果不介绍梅森公式的证明，则学生通常会提出下列问题：

（1）△的表达式中，除了包含各回路传递函数，为何还需不接触回路传递函数的乘积？不接触回路的乘积在物理上表示什么意义？

（2）余子式△k与线性代数中的余子式概念有何联系？其物理意义是什么？

（三） 梅森公式的证明

梅森公式的原始文献中，因为需要考虑到更一般的情况，因此证明过程中使用了很多国内工科本科生不曾掌握的数学知识。如果只考虑本科生能够实际接触到的系统，则其动态结构图或信号流图相对比较简单。将梅森公式限制在此种情况下，则证明比较容易，能够为工科本科生理解并掌握。本节以大三本科生的视角，基于最少的前期课程的基础知识证明梅森公式的基本结论，用到的基础理论仅包括线性代数。

这里使用信号流图证明梅森公式。令系统的输入节点信号为R，其余节点信号为Xi，其中i=1,2,…,n。即，除了输入节点外，系统还有n个节点。例如图2 中，除输入节点外，还有3 个其他节点。系统的输出Y=Xn。令输入节点到节点i的增益为gir，令节点j到节点i的增益为gir，则在节点处的信号满足下式：

或者

当节点取遍i=1, 2,…,n，可以写成矩阵方程的形式：

可以证明，如果从输入节点出发，能够通过有向信号线到达任一其他节点，则矩阵A可逆，因此

如果只关注输入输出关系，则

或者传递函数为

即向量A-1b的最后一个元素。

进一步的，考虑

其中det(A)表示矩阵A的行列式，A*是矩阵A的伴随矩阵。

关于传递函数的分母，我们可以关注det(A) 的特点。按照行列式的计算规则，有

其中k1,k2,…,kn是1,2,…,n交换k次所得的序列。

按照（1）中矩阵的具体形式，如果行列式中元素乘积指标序列没有交换次序，则

式中的“1”。如果行列式中A元素乘积序列有交换次序，则对应回路。例如：

式中的单回路之一，符号为负。再例如

上式中，类似对特征多项式det(A) 的分析，行列式包含从节点1 到n的所有前向通道及其与不接触回路的乘积；而g1r表示从输入端到节点1 的通道。因此，g1ra*1n包含所有从输入端开始，由g1r经节点1 的前向通道及其与不接触回路的乘积。类似的，所有g1ra*1n包含所有从输入端开始，由gir经节点i的前向通道及其与不接触回路的乘积。求和之后，可以证明，，即梅森公式的分子部分得证。

从上述证明可以看出，针对目前学生能够接触到的线性系统，用动态结构图或者信号流图描述，其梅森公式的证明是简洁且容易理解的。除线性代数基本知识外，并没有用到其它深奥的数学理论。在课堂上将梅森公式的证明作为选学内容讲授，则可以引入初步的网络化系统建模思想，提前为以后从事网络化系统控制相关方面研究做准备；同时，加深学生对于线性代数知识的熟练掌握与应用。

除了梅森公式之外，本课程其它定理的证明（例如根轨迹法则、线性系统PBH 可控性判据、李雅普诺夫方程、李雅普诺夫稳定性几何意义，等等）都可以作为选学内容讲授。既能够加深学生对于大纲内容的理解，也能够进一步激发对更深入知识的学习兴趣。

三 教学实践效果与持续改进措施

（一） 教学实践效果

作者已在两轮次（2019-2020 年秋春、2020-2021 年秋春，共4 学期）本科《自动控制原理》课程教学实践中尝试适当增加定理证明作为选学内容。两轮次的课程教学实践中，第一轮次先少量加入教材中未提供的定理证明，第二轮次在第一轮次的基础上进一步增加定理证明。从学生的实际反馈和期末考试成绩可以看出，这种尝试取得了很好的效果。

图3 近两轮次授课期末考试成绩分布

按照学校有关规定，学生在查看期末成绩之前需要对教师的教学效果做出评价和建议。这两轮次的授课后，典型的学生评价主要包括：“超纲内容（即增加的证明内容）非常有趣”“（授课）实行效果好”“讲解非常详细”“lecture notes（即授课笔记）很有用”，等等。选课学生对课程和教师的肯定是作者持续教学改革的最大动力。

初步尝试教学改革的两轮次（2019-2020 年秋春、2020-2021 年秋春，共4 学期）授课的期末考试成绩分布情况见图3 所示。从选课学生成绩分布可以看出，优秀率很高，不及格率很低，充分体现了作者近两年来教改措施的有效性。

（二） 持续改进措施

按照学校有关规定，学生在查看期末成绩之前需要对教师的教学效果做出评价和建议。针对作者在适当增加定理证明方面的尝试，典型的评价主要包括：（1）现有教材上并未提供教师讲授的选学内容，无法充分预习；（2）由于课时所限导致讲授速度较快，来不及记笔记，因此并不能总是很好地接受所有的选学内容。

作者认为，上述评价确实能够反映当前课堂教学实践的实际问题。导致上述问题的原因在于该教学改革还处于初步尝试阶段，授课教师并未充分考虑所有选课学生对于新理论知识的接受能力。所以，当前的教改措施还未完全达到期望效果。从图3 的数据也能看出，2020-2021 年春季学期的期末成绩比其它学期略差，说明作者的教改措施还有持续提高的空间。因此，作者提出并准备尝试在下一轮授课中采取以下持续改进措施：

（1）对于教材未提供的但相对重要的定理证明仍然采用课堂讲授的方式。授课教师提前制作授课笔记，并在课前至少一周通过学校网络课程中心系统发给选课学生。授课笔记的内容包括教材中知识点的高度提炼，并加入一些重要定理证明。本措施试图提高学生的预习效果。

（2）对于教材未提供的相对不重要的定理证明，考虑线上课堂视频作为线下课堂授课的补充材料。通过线上线下结合的措施能够给学生提供充分的学习材料，包括非常有趣的选学材料。本措施主要针对线下课堂学时不足的问题。

上述两项改进措施中，第（1）条措施已在上一轮授课中做了初步尝试，取得了一定效果，但是现有的授课笔记还比较简单，需要在新一轮授课中进一步改进；第（2）条措施已在作者负责的研究生课程“非线性控制理论”中使用，且取得了非常好的效果（视频播放超过4 万次）。基于当前的教学实践效果和数据，作者认为上述两项措施一定能够有效改进教学改革的效果。

四 结语

本文以梅森公式为例，论述了工科自动化专业《自动控制原理》课程中适当增加有关定理证明的讲解的优点与意义。近年来的学生评价和教学实践数据表明，在《自动控制原理》课程中适当加入定理证明的讲解，有利于学生进一步系统性深入理解和掌握所学知识，有效提高学习成绩；并且，在学习新知识的同时达到复习基础知识的效果。