《概率论与数理统计》线上课程建设

田迎旭，张颢严

（中国民航大学 理学院，天津）

一 引言

课程建设是高等学校教学基本建设的重要内容之一，是一个永恒的课题。加强课程建设是有效落实教学计划，提高教学水平和人才培养质量的重要保证，提高课程建设的整体水平是提高教学质量的重要环节之一。同时，课程建设也是不断发展变化的，需要教师们推陈出新，寻求多元化发展模式。王智超[1]结合我国高校专业核心课程建设中存在的问题，从课程内容、教学方式和课程资源三个方面提出课程建设和改革思路；杨冲[2]对《概率论与数理统计》课程现状进行了深入的分析，并研究了在金课背景下该课程的建设方案；唐玲[3]研究了如何利用生活中的大数据，将《概率论与数理统计》课程中抽象的内容直观化、生动化，从而提高课堂整体教学效果；彭丽和张宁[4]基于苏联心理学家维果斯基的“最邻近发展区”理论，提出“支架式”教学思想，并和MOOC 教学相融合，构建新的混合式教学模式。

为了预防新冠病毒肺炎的传播，同时保证学生的正常学习，教育部提出了“停课不停教、停课不停学”的要求。在这种严峻的形势下，如何顺利开展线上教学，保证线上授课质量以及学生的听课质量，是值得我们每一位教师认真思考的问题。陈平[5]主要从网络平台使用过程中出现的问题出发，分析并提出提升网络教学效果的解决途径和方法；付斌[6]根据线上教学实际情况，从调整思维、发挥优势、融媒体思维、强化规范四个方面，对线上教学存在的问题进行分析，并给出相应的对策和解决方案。此外，网络授课被应用在了很多课程上，如，谷今杰等人[7]、路璐[8]的程序设计课程；鲁立强等人[9]的分析化学课程；苏适等人[10]的制药工程课程。

下面主要以《概率论与数理统计》课程为例，针对线上教学，从教学方案设计、教学目标的制定和学生考核的组织、教学效果统计与分析、存在的问题及改进措施四个方面来谈一谈自己的课程建设研究。

二 教学方案设计

《概率论与数理统计》是面向我校理工科专业开设的一门公共基础课。课程分为概率论与数理统计两部分，共八章内容。其中概率论部分包含五章内容，数理统计部分包含三章内容，这两部分的内容结构如图1 所示：

图1 概率论与数理统计（I）知识结构图

经审慎讨论，我们选用中国大学MOOC 平台上的浙江大学《概率论与数理统计》国家精品课程，作为线上视频学习材料。该视频中的教材和我们的指定教材是完全一致的，教学内容与我们的教学大纲相符合。基于MOOC 平台，并辅以慕课堂、微信群和腾讯会议直播，针对课前、课中和课后三个环节，设计教学方案如图2。

图2 教学方案设计框架图

（一） 课前准备

鉴于学生在家进行网上学习，身边缺少纸质版教材和学习资料，我们首先指定教材的电子版提前通过微信群发给学生。同时，我们将每节课的课后作业整理成电子版（pdf）格式，并命名为“第一章作业1”“第一章作业2”等，一方面，方便学生在没有纸质课本的前提条件下轻松完成作业，另一方面，使得学生对作业有一个很好的分类整理，为期末复习提供方便。

我们需根据本节内容提前预设具有代表性的问题，并在讨论区板块发布，使得学生在学习视频过程中通过交流讨论加深对所学内容的理解和掌握。同时，按照教学进度和内容专题建立慕课堂练习库，并提前三天将小节测验添加到备课练习中，以免临时添加出现网络滞后影响课堂练习的进行。

此外，每周通过教学平台发布公告，告知学生下周要学习的课程章节以及主要内容，并提前两天发布教学视频和作业。同时，做好预案，如果出现MOOC 平台不稳定、无法看视频的情况，我们会采取“微信+腾讯会议”的形式直播授课。

（二） 教学环节设计

上课开始前10 分钟在慕课堂发布签到，学生需要在规定时间内完成签到。上课开始，学生按照学习进度公告进行视频的学习，同时在每一小节视频后配有该小节相关的MOOC 测验，用于学生在学习过程中的自我检测。上课期间，学生遇到任何不懂的问题随时在微信群提问，对于经典题型鼓励大家一起讨论，共同进步。同时，在距离下课约30 分钟左右时，教师在慕课堂发布提前准备好的练习题，学生可以根据自己的时间于下课前提交即可。

（三） 课后总结与反思

每节课结束后给学生布置课后作业，通过批改作业，及时发现学生作业中存在的问题，以及学生在知识理解上的漏洞。借助QQ 屏幕录制和手写板的功能，对作业中的典型题目和错误率较高的题目（不超过5 题）重点讲解，并上传至MOOC 视频库。便于学生课下多次复习巩固。

三 教学目标的制定和学生考核

以教材和大纲为指导，同时考虑社会的需要和学生的专业背景，适当增加和丰富课堂内容，尤其是本课程对于学生的专业以及今后的就业方面的关联性和实用价值；其次，我们要重视学生的学习积极性，因材施教，兼顾优生和差生；最后，教学目标的制定需要随着教学内容和学习阶段的变化而灵活变化。

在对学生的考核上，我们采用多元化考核方式，并重点加强对学生的过程考核。对于传统的线下教学，课堂签到和平时作业构成平时成绩的两大因素。但是，对于线上教学，学生和老师并不能面对面交流，学生的自制力起着关键的作用，只是靠课堂签到和平时作业完成情况来决定学生的平时成绩未免有些片面。因此，我们采用多元化考核方式，主要体现在课中和课后两个方面。课中，我们基于MOOC 平台对学生的线上学习时长、讨论区交流情况、慕课堂签到情况、随堂测验完成情况，进行线上统计；课后，教师通过批改作业了解学生课后作业完成情况，通过发布章节测验了解学生的单元学习情况；最后，在课程过半，按照课程进度，对概率论部分进行线上期中考试，并对学生的阶段性学习情况进行摸底统计，了解学生的知识漏洞，及时查漏补缺。

四 教学效果统计与分析

在教学效果上，我们分别从章节测验和期中考试两个方面对学生的学习效果进行统计。其中，在章节测验部分，我们主要针对概率论部分（教材前五章内容）给出章节测验成绩表，如表1 所示。

从表1 分析可得，对于概率论部分，从学生的测验成绩来看，学生对第一章内容掌握得看似较好，不及格人数占比较低，但与其他章节相比，满分人数最低，只有3 人。一方面，第一章内容是与高中数学中的排列组合连接最紧密的章节，学生有一定的知识积累，所以学习起来相对轻松。另一方面，经统计发现，失分点多在古典概型的概率计算上以及德摩根律的运用上，这是导致满分人数最低的非常重要的一个因素。通常在第一章中，我会设计部分较难的题目，防止学生认为大学概率论简单而不认真对待。学生对第二章和第四章掌握相对较好，而这两章内容主要是一维随机变量及其分布和随机变量的数字特征，从知识结构来看，主要涉及公式的应用和代数的计算，并不会涉及太多复杂的分析，其学习方法与高中类似，这是学生掌握得比较好的原因。但学生对第三章掌握的相对较差。经分析，第三章主要是二维随机变量及其分布，是概率里计算最复杂的一章，涉及到二重积分的计算。而很多学生对于高数中的二重积分学习的不是特别好，而概率中的二重积分还涉及到密度函数的分段，以及积分区域的不规则，更增加了计算上的难度。因此在本章的教学中，我会强调先后知识的连贯性，不能学完课程就扔掉，知识是循序渐进的积累。概率中最后的第五章内容，学生掌握得最差，这也是意料之中。因为第五章主要讲的是大数定律和中心极限定理，全章只有六个大定理和证明，是概率论部分甚至是整本教材最理论的章节，也是概率论的核心，是极限思想在概率论中的体现。学生对于这部分内容的理解是云里雾里，不明所以，这也是导致不及格人数最多的原因。由于高中的应试教育只追求结果，不探索理论证明，因此学生的高等思维有待加强。

表1 前五章慕课堂测验成绩

此外，针对概率论部分，我们对学生进行了线上期中考试，考试范围是教材前五章内容，包含6 个填空题和8 道大题，考试时间为两个小时，参加考试学生数87 人，缺考9 人，考试成绩如表2 所示。

表2 期中考试成绩

从表2 可以看出，80 分及以上学生人数占比超过60%，平均分76.73，总体成绩较好。最高分为97 分，没有得满分的学生，从这一点可以看出，学生对细节的把握还有待提高。从学生的试卷答题情况来看，错误率较高的题目为随机变量函数的分布以及概率密度和分布函数之间的关系。通过这次期末考试，一方面，督促学生好好复习，对已学知识进一步巩固，通过考试发现自己知识薄弱的地方，做到心中有数；另一方面，教师也可以通过这次期中考试了解学生的知识掌握情况，为今后的复习做到有的放矢，有所侧重。

五 存在的问题及改进措施

线上教学，无论对老师还是对学生来说都是一项艰难的挑战。学生的自制力对于线上学习效果起着非常关键的作用。同时，作为教师，也要根据实际情况及遇到的问题采取积极有效的措施，不仅把课上好，也要帮助学生把课学好。经过一学期的线上教学，我认为学习中存在的问题主要有以下几点：

（一） 只刷视频，并未真正走心地去学习

经过问卷调查，我发现，只有约35%的学生表示每节课都会认真看视频；约5%的学生表示很少会认真看视频；约77%的学生表示在线听课效率差，不适应，跟不上节奏；约20%的学生表示看看视频就行了，很少会做MOOC 上的小节测验。

（二） 眼高手低，看视频时懂，一到做题时没有思路

学生私下跟我反映说，为什么看视频的时候都能听懂，一到做题的时候就没有思路，不知从何处着手。其实，这就是眼高手低的典型表现，数学是一门基础学科，理解是前提，只有动手多练才会熟能生巧。如果只是一味地看视频，跟着老师的思路走，而不主动去练习、去思考，你永远不会发现自己的问题所在。

（三） 课堂互动性差

线上教学相比于传统线下教学的一个很明显的缺点就是课堂互动性差。无法面对面交流，这就导致了有问题不能及时解决，学生缺少积极性，答疑效率低下；线上教学因为缺少必要的监督，学生很容易在学习的过程中分心走神，这就导致了学生学习吃力。因此，对于线上教学，如何提高课堂互动性，是值得我们深入思考的问题。

针对上面出现的问题，经过深入思考总结，我认为可以从以下几个方面进行改进：

（1）在视频观看过程中，增设弹题。

鉴于学生在看视频过程中遇到的种种问题，究其原因在于，学生进行线上学习缺乏教师的监督，所以对很多学生来说看视频只是敷衍对待，更不用说MOOC 视频后面的小节测验了。因此，经过个人思考，我认为可以在每小节视频观看过程中增设2～3 个弹题，比如一小节视频约20～30 分钟，平均每8～10 分钟可增设弹题，具体增设时间点依视频进度灵活调节，可以在一个完整的知识点讲解完之后，作为一个基础知识考查弹出，使得学生在看完前面的视频后马上对自我学习进行检测。弹题的好处在于，在每个关键知识点讲解完之后，给学生一个缓冲时间，用来消化吸收前面的内容；同时，这种弹题是学生必须要完成的，否则无法继续进行后面内容的播放和学习，这也是相比于MOOC 小节测验更加灵活有效的地方，增设弹题的设置使得学生不用完全靠自制力完成小节测验，而是在必要的时间节点，由教师设置的必须完成的对知识点的自我检测。对于自制力较差的学生来说是一个很好的管理和约束手段。

（2）培养学生边听边动手练的习惯。

就像前面的小例子一样，在学习的道路上我们需要教师的指导，需要引路人，但是，之后的路还需要自己独立地走下去。因此，对于线上教学，看学习视频是必需的，但是，这些知识是老师教的，如何将别人的知识转化为自己的知识，这就需要多动手练习。因此，我要求学生每次上课前，都要准备好一支笔和一张纸，边听边记录筛选重要知识点，养成做笔记的好习惯。俗话说，好脑袋不如一个烂笔头，说的就是记笔记的重要性。遇到重要的知识点需要记录，同时，在老师讲例题的时候，自己要先开动脑筋想一下，如果这道题让我做，我该怎么做，带着问题去听讲解，我相信会达到事半功倍的效果。所以，作为教师，也要让学生在课堂上养成记笔记多练习的好习惯，养成自己的思维方式，等学生步入社会，相信这些思维方式和学习习惯会让学生受益匪浅。

（3）每节课随机点名2～3 位学生，分享解题思路和方法，对于普遍存在的问题进行腾讯会议直播答疑。

线上教学刚开始一个月，学生的学习积极性相对较高，每节课都有6～8 名同学在群里提问题，但是随着时间的推移，所学知识也越来越难，明显感觉到学生进入了学习疲劳期，每节课问问题的人数不超过3 人。课堂上学生的沉默是一个非常不好的现象，因为教师无法得知学生的知识掌握情况，没有得到有效的积极的反馈。鉴于此，我认为可以从MOOC 测验中挑选几个有代表性的问题，或者从慕课堂测验中选择学生错误率较高的题目，利用慕课堂随机点名功能，随机抽取2～3 名同学回答，并要求其分享自己的解题思路和方法，图片上传解题步骤。对于表现较好的同学，可以考虑增加其平时成绩；对于不会的同学，可以自主寻求其他同学的帮助。通过此方法大大增加了学生对于课堂的参与度，同学之间也可以彼此发问，互相交流做题思路，使得学生成为课堂的主人。对于学生普遍反映比较难的题目，教师会通过腾讯会议的形式在线直播讲解，更加方便高效。

（4）借助图表，数形结合，化抽象为具体；引入实例，软件验证，化理论为应用。

我们以中心极限定理为例，引出下面实例：设X1,X2,……,Xn相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布。首先，利用第三章的内容（随机变量和的分布）分别求X1,X1+X2,X1+X2+X3,X1+X2+X3+X4,……,X1,X2,……,Xn的概率密度函数，记为：f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),……,fn(x)。然后让学生利用matlab 软件画出每个fi(x),i=1,2,…,n的图像，并观察其规律性。观察发现，随着n的增大，fn(x)的图像越来越平滑，且越来越接近正态分布。而这一结论就是我们要讲的独立同分布的中心极限定理（CLT）。通过这样一个简单直观的实例，化理论为应用，让学生对该定理的应用有了具体的实践，同时，对中心极限定理有了一个更加直观的理解，对理论难点有了更好的掌握。

六 结语

线上教学，相比于传统的线下课堂既有其优点，又有不足。优点在于，学生可以充分利用自己的零碎时间，有选择地对线上视频资源反复地观看回顾，及时做到查漏补缺，从这一点来讲线上教学更加灵活。但是，对于学生来说，线上教学容易出现听课效率差、跟不上节奏、课堂互动性差等问题。此次疫情开启了全国所有教师线上教学模式，也为我们的教学改革提供了新思路。因此，将线上和线下融合一起，充分发挥线上教学的灵活性和线下教学的有效性，或许会成为今后课程建设和教学改革的新方向。