在构造中体验数学创造之美

邹海斌

[摘  要] 构造法是一种灵活新颖的解题方法，在数学学习各个阶段有着广泛的应用. 构造法因其没有固定的模式可以套用，因此为学生创造性地解决问题提供了更为广阔的空间，有效地激发了学生的创新意识，让学生充分体验到了创造的乐趣，从而激发了学习兴趣. 而且通过构造将各知识点有效地串联，在提升解题效率的同时，促进学生数学应用能力的全面提升.

[关键词] 构造法;解题;创造

构造法是高中数学解题中富有创造性的重要解题方法之一，其中蕴含着转化、化归、类比等重要的数学思想，在解题中有着重要的应用. 它一般是根据题设条件或者结论特点构造出的一种新的数学模型，利用新的数学模型发现问题中的某种内在联系，从而借助于新模型实现“未知”向“已知”转化. “转化”可谓是架设于原问题和新模型之间的高架桥，通过转化帮助学生找到解题的切入点，进而调用已有经验解决问题. 构造法没有固定的模式可以套用，更能彰显学生的创造力，借此有利于培养学生的创新意识，发展学生的数学思维，促进学生综合能力提升. 值得注意的是，应用构造法解题切忌生搬硬套，构造前应确定好构造的目的，再结合题目的特点确定构造方案，切忌为了应用构造法而随意构造. 笔者结合构造法在函数、方程、图像等内容中的重要应用，谈谈几点浅见，以期师生可以更加全面地认识构造法，并可以合理应用构造法提升数学综合运用能力.

构造函数

函数在高中数学中的地位是不言而喻的，利用函数性质、函数图像往往可以高效地解决问题. 在遇到一些抽象的方程、不等式问题时可以运用构造法将其转化为函数问题，进而从函数的角度来思考问题，运用函数的性质去解决问题，以此拓宽解题思路，拓展数学思维，提升解题效率.

分析：函数与不等式看似独立，然而却密不可分，解题时将其相互转化，往往可以事半功倍.

评注：函数与其他数学知识（如方程、不等式等）的联系非常紧密，灵活应用函数性质和函数图像可以解决很多问题，因此其在数学教学中也有着广泛的应用. 本题为一个不等式证明题，虽然利用不等式的性质也可以顺利进行证明，然应用构造函数的思路求解更有利于发展学生的数学思维.

构造方程

方程可以说是学生最熟悉的、解題时最常用的内容. 解题时通过观察、思考、分析题设中的等式结构的特点，挖掘已知和未知的某种等量关系，进而将抽象的、特殊的内容通过方程的形式呈现出来，便于学生利用方程思想巧妙、合理、快速地求解.

例2 已知实数m，n，p满足条件（m-n）2-4（n-p）（p-m）=0，试证明：m，n，p为等差数列.

分析：本题虽然题设信息并不复杂，然若将等式（m-n）2-4（n-p）（p-m）=0与等差数列联系起来却有些抽象. 观察等式结构的特点，联想到Δ=b2-4ac，故可利用方程将已知和结论联系起来，进而借助于方程知识解决问题. 丰富了已知，便于证明.

评注：本题题设信息并不复杂，解决该问题也不局限于这一种方法，然应用构造方程的思路求解可以将不同的知识建立联系，进而培养学生的数学应用能力. 很多学生对数列中涉及的公式和定理背得滚瓜烂熟，然具体应用时却常常无从下手，难以将公式、定理与题设信息建立联系. 因此解题时屡屡碰壁，久而久之，容易对数列问题产生畏难情绪. 而方程是学生从小学就接触的内容，对相关结论和相关应用都了如指掌，故将数列问题转化为方程问题可以有效地避免学生产生畏难情绪，引导学生从方程的角度去思考数列问题，将两者有机结合，高效解决问题. 同时利用构造法有利于锻炼学生的观察能力，如例2，只有仔细观察（m-n）2-4（n-p）（p-m）=0的特点才能联想到方程判别式，从而得到新方程，转好后利用新方程顺利解决问题. 可见，构造法的应用不仅可以提高解题效率，而且可以锻炼学生的综合能力.

构造图形

如果仅从文字语言去分析很难将已知和结论联系起来，不妨从几何意义出发，通过图形将已知和结论建立联系，从而借助于图形的直观性化解代数的抽象性，化抽象为具体，化难为易，迅速求解.

例3 如图1所示，已知有向线段PQ的起点P（-1，1）和终点Q（2，2）. 若直线l：x+my+m=0与有向线段PQ的延长线相交，试求实数m的取值范围.

分析：题设中的方程为含参方程，若从代数的角度去思考显然很难形成思路，因此可以考虑将直线方程变形，转化为点斜式，通过分析直线l与有向线段斜率的关系，利用数形结合思想求解.

评注：本题是一道代数问题，若从代数的角度出发，则需要计算出有向线段PQ的方程，进而与直线l进行联立求解，这样利用常规思路显然很难准确、快速地求解. 通过构造图形，可以将抽象的文字语言用图形语言表达出来，将题设信息与图形联立起来，使题目更加直观，更容易形成解题思路. 将直线l的方程转化为点斜式，发现其恒过点M（0，-1），这样只要探究直线l的斜率，问题就迎刃而解了. 利用构造图形的方法不仅简化了解题过程，而且优化了解题思路，更利于迅速求解.

构造数列

等比数列和等差数列不仅概念性质多，而且形式多变，是高中数学教学中的重难点内容之一. 当直接利用性质和公式难以解题时，可以尝试构造新数列，将原数列化繁为简，引导学生从新角度去思考问题，利用新数列的性质去解决问题，以此培养学生的创新思维.

分析：数列问题较为集中，主要就是求通项公式或求和，那么，之所以认为数列问题较难就是因为解题思路和解题方法较少. 本题数列的各项之间存在着明显的递推关系，所以解题时可以构造新数列，利用新数列层层推进，最终求得答案.

构造法不同于其他解题方法，它不像其他的解题方法那样可以通过逻辑分析一步步寻求已知与未知之间的联系，直到推理成功. 它的本质是“构造”和“创新”，一般无“规”可循，因此更好地呈现出了思维的灵活性和创造性. 在教学中，教师可以多鼓励学生应用构造法解题，也许它不是最简单高效的，然通过构造法的应用可以让学生更清晰地认识知识点之间的联系，有利于帮助学生完成知识体系的系统化建构. 同时，应用构造法，可以拓宽学生的数学思维，提升学生的创新意识和应用能力.

总之，在高中数学教学中，教师要有意识地引导学生应用构造法，让学生在构造中体验创造的乐趣，在提升解题能力的同时，促进观察能力、分析能力、创造能力等综合能力的全面提升.