细化高中数学教材，发展学生能力，提升数学素养

洪鑫 展国培

[摘  要] 从“教材”到“学材”，其生命力就在于“学”. 教师要将教材中的一些空间进一步细化，使其更贴近学生的认知基础和已有的数学活动经验.细化变式问题的产生过程，让学生了解数学问题的关联性;细化教材中例习题的分析过程，让学生感悟解法的合理性;细化问题解决后的数学解释、表达的过程，让学生认识数学的实用性.

[关键词] 教材;细化;过程;问题

史宁中教授指出，学生数学学科核心素养的形成和发展，是在教师的启发和引导下，学生通过独立思考、与他人交流，最终自己“悟”出来的，是一种逐渐养成的思维习惯和思想方法[1]. 指向核心素养的课堂教学，要求我们一定要转变教与学的方式，确立以“学生为中心”的教学理念，将“教材”变为“学材”.从“教材”到“学材”，其生命力就在于“学”[2]. 因此，教师在备课时，要结合授课对象的具体情况，将教材中的一些空间进一步细化，使其更贴近学生的认知基础和已有的数学活动经验.具体到教学过程中，就是要通过问题引领，激发学生主动参与的热情. 我们要细化变式问题的产生过程，让学生了解数学问题的关联性;细化教材中例习题的分析过程，让学生感悟解法的合理性;细化问题解决后的数学解释、表达的过程，让学生认识数学的实用性. 文章以苏教版数学教科书（2019年版）（下文简称“新版”）中的几个问题为例，作了一些探讨.

细化变式问题产生的过程

变式教学曾称为“促进有效数学学习的中国方式”. 然而，在变式教学中，教师习惯把自己精心设计的变式问题一个个地抛给学生，教学的重点放在解决这些问题上，而忽视了向学生解释变式的起因和过程. 学生仅仅是静态问题的解答者，而非动态问题的参与者，更谈不上设计者. 美国著名心理学家布鲁纳说：“学习者不应是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程中的主动参与者.”新修订的课程标准强调“四能”的培养，让学生从数学角度发现和提出问题，是培养“四能”的第一步. 教师可以从构成数学命题系统的要素（条件、依据、方法、结论）出发，教会学生逆向思考、类比归纳、深入探究、强化或弱化条件等手段，对原命题进行变式，培养学生发现和提出问题的能力.

教学时引导学生分析问题的表征信息，并展开如下变式研究：

（1）改变条件呈现的方式.

变式1：若tanα，tanβ是方程6x2-5x+1=0的两根，α，β均为锐角，求α+β的值.

（2）弱化条件：只给出tanα，tanβ满足的关系式或省略两个角的限制范围.

变式2：已知（tanα+1）（tanβ+1）=2，α，β均为锐角，求α+β的值.

（3）改变图形形状.

变式4：如图2所示，在△ACD中，DB⊥AC，B为垂足，若AB∶BC∶DB=2∶3∶6，求∠ADC的度数.

变式5：如图3所示，在△ABC中，D是BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 已知∠A=45°，BE=1，DE=2，DF=3，求CF的长.

（4）改变问题背景，包装成应用题.

变式6：如图4所示，在某开发区内新建了两栋高楼AB，CD（AC为水平地面），P为AC的中点，在点P处测得两楼顶的张角∠BPD=45°，AB=AC=50 m.①求楼CD的高度（测量仪器的高度不计）. ②当测角仪在AC上什么位置时，两楼顶的张角最大？

说明：该题第①问是新版苏教版必修第二册第61页的习题;第②问是视角最大问题，在2010年江苏高考中出现过，视角最大问题对高一学生难度偏大，适宜高三复习课使用.

细化问题的分析过程

教材中的分析：把角α看成α+β与β的差，即α=（α+β）-β，再用两角差的正弦公式展开.配套的教学参考书中这样讲道：“‘拆角是三角变换中的常用技巧，它体现了化归思想.”教学时，可以把教材中的解法与从cos（α+β）的展开式中解出sinα的方法相比较，让学生体会“拆角”法的简洁和思路的合理性.

第一步，方程组能不能解？（意图：体会方程思想，两个方程可以解出sinα，cosα的值.）

第二步，方程组怎么解，可使得计算简单一些？（意图：在解析几何中还会遇到这类方程组.解不出方程组的主要原因有两方面：一是学生的算法不合理，算理不清楚;二是怕繁畏难.学生的数学素养及意志品格的培养要在细微处着力.）

第三步，解法受阻的原因是什么？有没有其他思路？（意图：分析受阻成因，謀求突破途径.）

第四步，消除差异法是处理三角恒等变换常用的方法.已知角α+β，β与欲求的角α之间具有何种关系呢？（意图：渗透研究三角恒等变换的一般观念，让学生触摸“拆角”的技巧.）

通过上述细化分析，让学生经历“受挫—析因—突破”的过程，使他们既能“明算理”又能“悟方法”，不断提升他们分析问题和解决问题的能力，同时数学运算素养也能得到提升.

细化问题的表达过程

目前，数学应用题教学大多停留在“得到数学结果”这一步，而忽视了对数学模型实际意义的解释. 为培养学生“能用数学的语言表达世界”，不仅要重视建模过程和求解过程的教学，还应当让学生明白数学模型的应用价值.

例3 在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）. 某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台（x∈N*）的收入函数R（x）=3000x-20x2（单位：元），其成本函数C（x）=500x+4000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）;（2）利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？（出自新版苏教版必修第一册第226页例5）

略解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=-20x2+2500x-4000，其中，1≤x≤100，x∈N*;MP（x）=P（x+1）-P（x）=2480-40x，其中，1≤x≤100，x∈N*.FA9076BA-9649-4BF9-B042-1848487C2436

边际函数是经济学中的一个基本概念. 针对本题可以提出如下问题：

（1）本题中，利润函数和边际利润函数的实际意义分别是什么？

生：利润函数是生产x台报警系统装置的总利润，而边际利润函数是生产第（x+1）台报警系统装置的利润.

（2）边际利润函数MP（x）=2480-40x是减函数，说明了什么实际意义？

生：说明随着产量的增加，每台报警系统装置的利润与前一台的利润相比在减少. 当x=1时，第2台的利润与第1台的利润相差最大，也就是说，生产第2台报警系统装置的利润最大.

（3）你怎么理解利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值？

生：从数学角度来讲，利润函数P（x）是二次函数，边际利润函数MP（x）是递减的一次函数，从图像（如图5、图6所示）可以看出，它们不具有相同的最大值. 从实际角度来讲，当产量x∈[1，62]（x∈N*）时，随着产量的增加，尽管每台报警系统装置的利润在下降，但边际利润函数值是正数，说明每台报警系统装置仍有利润，因此总利润是上升的;当x∈[63，100]（x∈N*）时，边际利润函数值是负数，且每多生产一台，企业就多亏损40元，因此总利润呈下降趋势，但总利润还是正数，说明企业总体没有亏损.

（4）企业何时会出现亏损？

生：因为P（1）=-1520<0，P（2）=920，P（100）=46000>0. 说明生产第1台报警系统装置时企业亏损1520元，从生产第2台起，企业开始盈利. 由于P（123）=P（2）=920>0，P（124）=P（1）=-1520<0，所以当企业生产第124台报警系统装置时就会出现亏损.

（5）请分别计算边际成本函数和边际收入函数，你有什么发现？

生：边际成本函数MC（x）=C（x+1）-C（x）=500，边际收入函数MR（x）=R（x+1）-R（x）=2980-40x，当MR（x）=MC（x），即x=62时，利润函数P（x）取得最大值. 也就是说，当边际收入函数等于边际成本函数时，企业获得最大利润. （如图7所示）

（6）边际函数对企业生产决策有哪些帮助？

生：边际利润函数的主要用途：①决定企业的某个产品是否应该停产.当产品的边际利润函数值是负数时，就要考虑停产该产品. ②判断企业产品结构是否合理.若所有产品均有边际利润，说明产品结构是合理的.

結语

深入了解学生的内在需求，不断激发学生的求知欲望，有效提升学生的数学素养是数学教育的任务和目标. 因此，无论选择哪种版本的教材，我们都要理解教材的思想、精神、灵魂;要依据学生思维活动的水平、思维活动的发展规律，细化某些环节的学习“过程”，切实有效地将“教材”变为“学材”.

参考文献：

[1]  史宁中，王尚志. 普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[2]  李善良. 教科书：从“教”材到“学”材[J]. 中学数学月刊，2019（08）：1-4.

作者简介：洪鑫（1983—），本科学历，中学一级教师，江苏省数学奥林匹克一级教练员，曾获“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展示一等奖.FA9076BA-9649-4BF9-B042-1848487C2436