素养导向下的高中数学概念课教学设计

[摘  要] 以人教A版高中数学新教材必修第一册“3.2.2 奇偶性”教学为例，设计合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学思想方法解决问题. 在问题解决的过程中，理解概念的本质，发展核心素养.

[关键词] 问题;奇偶性;概念;核心素养

问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下文简称“新课标”）明确提出数学课程要以学生发展为本，高中学生在数学学习中要发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大核心素养[1]. 新课标要求在教学活动中，教师应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学思想方法解决问题. 在问题解决的过程中，理解数学内容的本质，促进学生数学学科核心素养的形成和发展[2].

奇偶性是函数的重要性质之一，从知识结构来看，它既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种基本初等函数的基础;从思想方法来看，奇偶性概念的教学过程中渗透着探索发现、数形结合、归纳概括、类比等数学思想方法，特别是数形结合思想将贯穿整个高中数学学习过程;从情感价值来看，奇偶性概念的教学过程中充满着数学的对称美，为学生提供了良好的平衡感和充分的审美体验;从信息技术来看，利用几何画板或GeoGebra绘制函数图像，有利于提升学生运用信息技术探究函数性质的能力.

奇偶性的教学设计

笔者认为，奇偶性的教学设计要充分挖掘教学过程中发展学生数学思维的教育价值，提升学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养. 下面以人教A版高中数学新教材必修第一册“3.2.2 奇偶性”教学为例，谈谈如何开展概念的探究性教学，以促进学生深度学习，落实核心素养.

1. 创设情境，引入概念

问题1：观看天安门、故宫、蝴蝶、风车、剪纸等图片，你能感悟到什么？

追问1：这种对称美在我们正在学习的函数中也有所体现，同学们回想学过的函数，它们的图像是否也具有这种对称美？

追问2：函数的单调性是通过图像中点的变化来研究的，对称性是否也可以通过点的变化来研究呢？

设计意图：通过欣赏生活中的对称现象，使学生感受轴对称与中心对称在生活中的应用，感受生活中的对称美. 从感性认识入手，为学生认识奇偶函数的图像特征做好准备，激发学生的数学学习兴趣和创造欲望，结合前面单调性的学习，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，唤醒学生已有的经验，启发学生初步思考.

2. 合作探究，构建概念

折纸实验探究：请按照列表、描点、连线的过程，作出函数f（x）=x2的图像.

问题2：以y轴为折痕对折纸，再将纸展开，观察坐标系中的图形，函数的自变量和函数值有何变化特征？

追问1：你能尝试用函数解析式描述图像的对称特征吗？

追问2：函数的单调性是函数的一种局部性质，对称性也是函数的局部性质吗？（整体性质）

设计意图：让学生动手折纸，直观操作，感受对称，思考对称的本质，发现函数的自变量和函数值的变化特征，渗透数形结合思想，体会数学与现实生活的密切联系，创造机会让学生思考并加以抽象，引导学生使用恰当的数学语言描述问题，将对称的图形语言转化为符号语言，使学生对图像对称的感性认识上升到理性认识，提升学生的数学抽象、直观想象等核心素养.

信息技术探究：请运用几何画板或GeoGebra作出函数f（x）=2-x的图像.

问题3：在图像上取点P和P′（P与P′的横坐标互为相反数），拖动点P，观察点P和P′的变化情况，这种变化有什么规律？

追问1：你能用函数解析式描述图像的对称特征吗？

追问2：你对“任意的x”是如何认识的？

设计意图：选择学生熟悉的函数图像，借助于信息技术，将静态的知识转化为动态的知识呈现给学生，通过图像上点的运动，引导学生关注“任意的x”及相应函数值的变化特征，感受定义域关于原点对称的特点，突破对“任意的x”的认知障碍，由表及里从本质上认识函数图像的对称性，为偶函数的形式化定义做好认知准备，发展学生的数学抽象、直观想象等核心素养.

3. 交流展示，生成概念

问题4：什么样的函数是偶函数呢？请用文字语言或图形语言或符号语言进行描述.

设计意图：通过观察图片、动手折纸、演示信息技术，完成从“形”到“数”的转换，帮助学生理解将自变量由具体数值推广到定义域内“任意的x”及相应函数值的变化特征，引导学生使用恰当的数学语言描述问题，形成偶函数的概念，即通过图形语言、文字语言、符号语言的转换达到学生对偶函数形式化定义的理解，落实学生的数学抽象、直观想象等核心素养.

4. 纠错辨析，理解概念

问题5：函数f（x）=x2，x∈[-3，2]是偶函数吗？

追问1：若函数f（x）=x2+1，x∈[a，b]是偶函数，则a，b要满足什么关系？

5. 类比迁移，概念同构

请类比偶函数概念的建立过程，思考并讨论：

追问1：这两个函数值对应表是如何体现图像的这个特征的？

追问2：你能尝试用函数解析式描述图像的这个特征吗？

追问3：类比偶函数的定義，你能尝试定义上述函数的特征吗？

设计意图：充分利用图形的直观性，让学生能够再次经历图形语言、文字语言、符号语言的转换，类比偶函数的定义说出奇函数的定义，发展学生的数学抽象、直观想象等核心素养，激发学生的探索创新意识，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.49968B59-283F-4233-9207-E0F9C74F754A

6. 应用概念，解决问题

问题7：判断下列函数的奇偶性.

（1）f（x）=x4+1;

（3）f（x）=x+1;

（4）f（x）=0;

（5）f（x）=x2-2x，x>0，-x2-2x，x<0.

跟踪练习：课本第85页练习2.

设计意图：通过问题7帮助学生掌握本节课的基础知识、基本方法、基本思想，并形成基本经验. 其中，题（1）与题（2）强调解题格式，教师板演解题过程，学生类比解答题（3）与题（4），得到四种不同类型的奇偶性（奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数）;题（5）判断的是分段函数的奇偶性. 完成解答后由学生自主归纳判断函数奇偶性的方法：①先求定义域，判断定义域是否关于原点对称;②再判断f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）是否恒成立. 判断函数奇偶性的步骤如下（如图1所示）：

问题8：已知函数y=f（x）是偶函数，它在y轴右边的图像如图2所示，你能画出它在y轴左边的图像吗？

变式1：如果y=f（x）是奇函数，你能画出它在y轴左边的图像吗？你能求f（-2）+f（-1）的值吗？

变式2：如果奇函数y=f（x）的定义域为[-5，5]，请写出使f（x）<0的x取值的集合.

设计意图：认识奇偶性的概念后，需要寻找奇偶性概念内部各要素之间以及奇偶性与外部其他概念之间的联系，帮助学生全面认识奇偶性，将奇偶性纳入学生概念网络中恰当的位置.通过问题8及变式培养学生读图、画图、用图的能力，掌握奇偶性的简单应用，从形的角度运用数形结合思想求解奇偶性问题，加深学生对函数奇偶性概念的理解，发展直观想象素养.

问题9：若函数f（x）=ax2+2x是奇函数，求实数a.

變式：若函数f（x）=ax2+bx是[a-1，2a]上的偶函数，求a+b.

设计意图：问题9及变式是逆向思考奇偶性的问题，设计目的是让学生应用奇偶性定义，通过代数式的运算与变形，解决函数奇偶性问题，加深学生对函数奇偶性概念的理解，及时巩固所学的新知识，发展学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，培养学生分析问题、解决问题的能力，使学生体验学习数学的成就感.

7. 总结归纳，深化概念

总结归纳如图3所示.

设计意图：教师引导、帮助学生梳理“四线”，即知识学习为主线，问题解决为明线，方法归纳为暗线，素养发展为隐线;落实“四基”，提高“四能”，发展素养，培养创新.

8. 分层作业，巩固拓展

必做题：课本第86页“习题3.2”复习巩固第5题，综合运用第11题，拓广探索第12题.

选做题：（1）课本第87页“习题3.2”拓广探索第13题.

（2）已知函数f（x）为定义在（-2，2）上的奇函数.①求f（0）的值;②若f（x）在定义域上单调递增，且f（2+a）+f（1-2a）>0，求实数a的取值范围.

设计意图：尊重学生的差异，找准学生学习的最近发展区，布置阶梯式分层作业，达到相应单元的学业要求，实现人人都能获得良好的数学教育，不同的学生在数学学习上得到不同的发展.

教学反思

章建跃教授在《树立课程意识，落实核心素养》[3]中强调“众所周知，概念教学是数学教学的重中之重，而得出概念的过程是最典型的数学抽象的过程”.数学概念教学要树立以发展学生数学核心素养为导向的教学意识.

1. 创设情境是引入概念的导火索

引入概念即要提供丰富的感知材料，又要创造性使用教材，创设合适的问题情境，让学生逐步学会从数学的角度观察生活，对一些生活现象进行数学思考，从表面上看似与数学无关的一些生活现象中寻找其在数量关系或者空间形式方面的某些联系或矛盾，或在现实与数学的具体情境中获得新的数学信息.

2. 探究体验是形成概念的助推器

概念不是直接从教师那里听到文字描述就形成的，它需要有趣生成，要通过学生的主体活动去把握，通过观察、提问、讨论、体验、纠错、反思、梳理、总结、表达、交流，让学生与自己正在学习的内容之间建立一种紧密的灵魂联系. 只有这样，概念的本质才会显现，概念的形成才会生动.

3. 数学思想是理解概念的催化剂

对概念的理解是学生运用数学知识、技能、思想方法以及活动经验进行数学抽象的过程，具体与抽象、特殊与一般、代数与几何、繁与简、分与合、主与次、正与反、进与退、静与动、实与虚等思想的有机结合，将抽象概念形象化，抽象符号具体化，抽象表述通俗化，感悟概念的本质，发展思维品质.

4. 问题设计是学习概念的脚手架

概念课的问题设计要着眼于唤醒学生已有的经验，针对情境设计富有过程探索性的“问题链”，通过解决具有情境化、活动性、过程性的“问题链”，师生之间、生生之间开展和谐的对话，让学生充分交流与展示，在交流中生成，在生成中感悟，在感悟中升华，理解概念的本质，发展数学学科核心素养.

提升学生的数学核心素养是一个综合性、持续性发展的过程. 在教学实践中，需要每位教师不断探索和创新教学方式，既要重视如何教，更要重视如何学，引导学生学会学习，促进学生能自主、持续、和谐地发展.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]  史宁中，王尚志. 普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]  章建跃. 树立课程意识，落实核心素养[J]. 数学通报，2016（05）：1-4+14.

基金项目：广东省教育研究院中小学数学教学研究专项课题“基于核心素养的高中数学作业的设计与优化研究”（课题编号：GDJY-2020-A-s119）.

作者简介：刘心华（1969—），本科学历，正高级教师，从事高中数学教学与研究工作.49968B59-283F-4233-9207-E0F9C74F754A