数形结合思想在高等数学教学中的应用

陈清池

摘要：数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，代数与几何的联立推动了数学学科的发展进程，具有不可磨滅的价值，也是数学思想的传承。数形结合思想方法，能揭示其几何直观，解释内在关联，刻画数与形的和谐。当直观图形与精确的数量关系巧妙地结合在一起时，能帮助人们寻求解题思路及发现新命题，使问题化难为易、由繁到简。基于此数形结合的思想，本文综合自身相关高等数学教学实际，对数形结合思想在高等数学教学中的应用展开了浅要剖析。

关键词：数形结合思想;高等数学;教学应用

引言：从数学学科的发展历程来看，"形"表示整个客观世界，最初的"数"来源于对"形"计量，随之，"形"又扩充了"数"的理论。而在新时代中，高等数学教学需要走向深度，兼顾知识技能与数学思维，以思想方法引领学生探究，理解知识技能。只有教师认同数学思想方法的教育价值，重视并渗透于课堂教学，学生才会有所受益。数形结合思想方法与数感、几何直观的形成联系密切，支撑学生深层次理解高等数学知识，进而有助于学生体会高等数学本质，培养数学多维度思维。

一、梳理教材，做到心中有数

教材是课程理念的有效载体，研读教材是教师的必修功课，纵观教材编写体系有助于教师把握教学目标。教学首先要明确某一课时具体内容，由具体知识辐射至大概念的横纵联系，理解教学内容背后的数学思想，关联学生学科素养。首先，读懂教材以具体课时出发，理解教学内容，把握教材重难点。教材内容包括主题图、插图对话、定理规则、示意图及课后练习等，教师需对照课程标准了解编者意图，从这些资料中精准定位教学重点。读懂教材力求在深度加强，除了显性知识还需兼顾隐性知识，挖掘教材中的数学思想、数学学习品质、数学文化等。数形结合思想以暗线的形式体现在高等数学教材中，教师需留心插图、留心探究过程才能发现。例如"函数与极限"中，极限作为整个微积分的教学基础，也是最为抽象、难懂的高等数学知识点之一。可采用数形结合的思想，在函数图像中以某个点为带入，进行具体某点极限的几何解释来帮助学生加深理解、加强记忆。

其次，读透课本从单元整体入手，明确课时在单元中的地位。往常教师备课总是关注本课时的内容，很少关注知识的纵向发展，先见森林在见树木，见过森林才知树木的价值。因此将课时放至大单元的背景中，帮助教师把握教材深度的发展脉络，制定教学目标才更准确。如"定积分"的整体单元，通过梳理教材，教师会发现定积分的学习可以综合曲边梯形面积、椭圆公式与坐标系象限的数形结合思想简化计算。在不同的阶段的学习中，数形结合的作用也不相同，初步认识是利于数形结合思想的直观性，真实情景再现，贴近学生生活。性质学习是将代数与几何联系，从形发现规律，从数描述关系。

第三，读通教材这是关注关键概念之间的联系，如极限、数列极限、函数极限、微积分理论等都是高等数学阶段的关键概念，分为不同的章节进行学习，但是数学知识是相互联系的，这与关键概念之间有区别也有联系。教师可以从关键概念中提取相同点，这便是"度量"，学习方法上也存在共性，就是建立统一的标准量来度量，而这与数与代数中数的累加就是计数单位的累加完全相同。可见，数学学习结构相似，方法类同，读透教材有助学生方法迁移。

最后，读活教材是富有创造力的活动。教学具有开放性，教师对教材的解读是个人意义的知识建构，"教教材"与"用教材教"是完全不同的层次。只有教师对教材了然于胸，熟悉知识的横纵联系，才能从思想的高度理解教材，理解学生，让教学源于教材还高于教材。

二、明确学生主体地位，融合结果性知识与过程性知识

新时代教育改革中，三维目标成为最大亮点，打破了原来只重视知识技能，忽略过程方法与学生情感态度的局面。现在教育改革近十年，从教学目标的表述来看教师习惯了用三维目标来制定教学标准，掌握了用过程性动词描述探究过程，注重学生情感态度的培养。但是为何在教师教学中仍然"紧盯知识"，忽略思想方法呢？跃然纸上的定理、公式教师总能轻松把握课程重点，而隐性的数学思想容易忽视。数学思想最能体现数学的思维过程，对学生学科素养的培育起重要意义，教师是教学的引导者，带领学生超越知识领悟思想。数学是符号的教学，符号是知识的表征形式，多年之后学生有可能会忘记某一公式、定理，而隐藏在背后的数学思想方法却长久的影响着人们。

深度教学应以学生为主体，超越知识的符号表征，让学生理解知识的内在逻辑与思考方式，发展学生学科核心素养，教学目标应融合结果性知识与过程性知识。知识的产生必然有火热的思考与曲折的探索，学生经历知识的形成过程，从问题或现象出发，经过探究形成结果性知识，积累过程探索经验。数形结合思想自然蕴含在知识形成的过程中，既是学生探究的手段，也是学生的思想指引。不论从学生认知特点还是教学内容，高等数学起始教育阶段是渗透数形结合思想的关键期，通过观察数、形特点理解概念。高等数学中间阶段，教师可以协调数与形，从不同教学思考问题，尝试用函数、微积分解决数的问题，用标准量定量描述形特征，使数形结合思想明朗化。高等数学进阶阶段，可让学生有意识地应用数形结合方法，感悟数形结合思想的价值。数形结合思想方法带有"过程性"，只有学生在理解的基础上实践尝试，在对比中迁移才会感受到数形结合的应用价值。因此，教师在教学中，应鼓励学生的创作，让学生自主生成建构，在团体的交流表达中优化完善，通过量的积累必定会产生质变。

结束语：综上所述，抽象严谨的数与直观形象的形是学习者的"两只眼睛"，数理逻辑与直观感知交织在知识形成、发展和应用中，贯穿于学生数学学习的始终。伴随学习的深入，学生有意识主动地应用迁移，在问题解决中进行数与形转换推理，在数形探究中感受数形之美，逐步形成系统化思维。数形结合思想帮助学生从不同的角度看待问题，使繁杂的问题简明化，隐性的条件明朗化，抽象的思维直观化，对学生数学素养与思维发展影响深远。因此，根据学生主体特点，在教学中重视并应用数形结合思想方法，是数学优秀文化的传承，也是数学教育的必然选择。

参考文献：

[1]曹雅芳.浅谈数形结合思想在“高等数学”教学中的应用[J].广东职业技术教育与研究，2021（05）：85-87.

[2]黎海英.强化高等师范数学专业学生数形结合思想的教学研究[J].广西教育学院学报，2021（04）：103-106.