多视角分析促解题能力提升

毛昌斌

[摘  要] 对于如何提升学生的解题能力，文章以数列为例，通过多视角分析，带领学生掌握解题的通性通法，同时引导学生在总结和归纳中完成整体知识体系的建构. 这样，当学生面对复杂的数列问题时，可以根据数列的特点，采取行之有效的解决方案，最终提升解题效率.

[关键词] 解题能力;多视角;知识体系

谈起数学解题大家往往联想到的就是“刷题”，部分师生认为“刷题”是获得数学经验的最直接的手段. “刷题”在一定程度上可以让学生积累很多解题经验和解题技巧，然其并不是通往成功的捷径，因为过多的训练使学生在解题时完全依赖经验，对题目的分析较少，因此其仅知道要这样做而不懂为什么这样做，这样势必会影响学生分析能力和解题能力的提升. 因此，在教学中要将“多做”变为“多问”和“多思”，让学生更好地把握问题的本质，进而拥有以不变应万变的能力，从而真正提升解题能力.

笔者借助于数列相关内容的处理，让学生多思考一些“为什么”，打破解题时仅知道要这样做而不知为什么这样做的尴尬，促进学生解题能力的提升.

[⇩] 方法讲解促生成

等差数列和等比数列不仅是高考考查的重点内容，也是学好数列的前提和保障，其概念、公式的推理中蕴含着丰富的知识及数学思想方法. 因此，在教学中要利用好其基础地位，让学生在学习之初就掌握基本思想和基本方法，使学生在解题时可以及时捕捉相关信息，借助于相似的方法进行求解，进而达到先入为主的效果，让学生在相关的推理和求解中轻松地发现解题的切入点，成功解决问题.

例如，根据等差数列{a}的概念可知，a-a=d，a-a=d，a-a=d，…，a-a=d，将这n-1个等式左右两边分别相加得a-a=（n-1）d，进而得到a=a+（n-1）d. 运用“叠加法”体验了等差数列通项公式的生成过程，进而使学生再遇到类似的推理时会尝试用“叠加法”求解.

例1 已知数列{a}的前n项和为S，且S=a-1（n∈N*）.

（1）求数列{a}的通项公式;

（2）在数列{b}中，b=5，b=b+a，求数列{b}的通项公式.

题目解析：（1）由S=a-1得S=a-1，两式相减并整理得=3，故{a}是公比为3的等比数列. 进一步推理得数列{a}的通项公式为a=2·3n-1.

（2）因为b=b+a，所以当n≥2时，b=b+2·3n-2，…，b=b+2·31，b=b+2·30，叠加得b=b+2（3n-2+…+31+30）=5+2·=3n-1+4. 当n=1时，3n-1+4=5=b，所以b=3n-1+4.

又如，根据等比数列{a}的概念可知，=q，=q，…，=q，将这n-1个等式左右两边分别相乘得=qn-1，即a=aqn-1. 公式推理阶段引入的思想往往让学生的印象更加深刻，学生再遇到此类问题时自然会通过该证明方法（“叠乘法”）求解.

例2 已知数列{a}中，a=3·5nan，a=2，求数列{a}的通项公式.

题目解析：因为a=3·5nan，所以=3·5n，所以a=··…··a，整理化简得a=3·5a，又a=2，所以a=2·3·5.

类似地，还涉及“倒序相加法”“错位相减法”等证明方法. 有了前期知识的积累，学生再求解类似题目时，首先就会联想到处理此类问题的策略，进而为求解提供了方向，学生容易找到解决该问题的切入点，有利于解题效率的提升.

[⇩] 放手探究促发展

数学是一门规律性较强的学科，若没有让学生经历自我发现的过程，很难实现知识的内化，题目略有变化学生就会感觉到束手无策. 因此，学习过程中要多引导学生进行自主探究，这对提升学生的分析能力和培养学生的自信心都有着重要的意义.

例3 在数列{a}中，a=1，若a=（n∈N*），求通项a.

题目解析：通过观察发现，本题并不适用“叠加法”和“叠乘法”，解答需要从a=出发，通过对它的观察寻找求解的规律. 将a=两边取倒数后，得=，化简得=+3，即数列

是以=1为首项，公差为3的等差数列，推理至此就可以求出数列a的通项公式了.

求解本题运用的是“构造法”，通过“两边取倒数”构造出了等差数列

. 虽然“构造法”在求数列通项公式时经常使用，但“构造法”较灵活，学生往往很难入手，本题若直接应用该方法学生虽然理解但很难转化成自己的认知和能力.

对于一些新颖别致的、陌生的数列，直接求解往往难以入手，这时可以通过特殊值寻找规律，进而找到解题方法. 对于本题求解，教师引导学生放手尝试，通过观察和推理找到解决方案.

师：假设n=5，你能写出各项的值吗？（教师引导学生通过“代入法”寻找规律）

生1：a=，a=，a=，a=.

师：很好！你能发现什么？

代入值之后不难发现各项的分母是等差数列，学生自然就联想到了：若各项取倒数就可以变为4，7，10，13，即可以变为公差为3的等差数列，故

这个等差数列也就自然地推理出来了.

教学中放手让学生尝试观察、思考，这样学生在应对千变万化的题目时可以静心去思考，借助于规律找到解决问题的突破口，进而促进解题能力的提升.

[⇩] 及时引导促提升

数列从题型到方法都是灵活多变的，若都靠学生探究显然很难達到预期的效果. 因此，在教学中要充分发挥教师的作用，带领学生在多变的题目中挖掘通用的方法，进而达到融会贯通的效果.

例4 已知数列{a}满足a=1，a=3a+1，求a的通项公式.

题目解析：若没有3，则a=a+1，数列为等差数列;若没有1，则a=3a，数列为等比数列. 为此，解题时可以尝试从不同的视角进行分析.

视角1：视为等差数列.

师：如果将其转化为等差数列，对a=3a+1该如何处理呢？

生齐声答：两边同时除以3.

师：哦，是这样吗？=a+. （教师按照学生的思路板演）

通过观察，学生发现，这样直接除以3显然不能直接转化.

师：那到底应该除以多少呢？联想递推关系的结构特征，如何使其结构统一呢？

经过共同探究发现，若左右同时除以3n+1，则==+，这样就构造出了一个新的数列

，学生有等差数列通项公式推理的经验，该问题也就迎刃而解了.

视角2：视为等比数列.

师：若我们想将其转化为等比数列，右边1是否可以直接去掉呢？

生2：不能. 因为若想消除右边的1，那么左边也要减去1，这样还是不具备等比数列的特征.

师：既然不能减去，是否可以加上一个数呢？是否可以构造一个形如{a+x}的数列呢？（在教师的引导下学生积极探究，最终得出了答案）

生3：设a+x=3（a+x），由a=3a+1，得x=，所以a+=3

a+

. 令b=a+，则b=a+，所以b=3b，所以数列{b}是以b=a+=为首项，以q=3为公比的等比数列. 所以b=bqn-1=·3n-1，即a+=·3n-1，所以a=.

在教师的引导下，学生积极调动了已有经验，通过联想构造出了等差数列和等比数列，成功地求出了通项公式. 在此过程中运用了递推，递推是一个非常重要的概念和方法，解决数列问题时应用较多. 在数学学习中，解题固然重要，然通过解题掌握其思想方法更重要，只有掌握了思想方法才掌握了精髓，才能发现问题的本质，进而提升学生的综合能力.

[⇩] 归纳总结促完善

数列是高考重要考点之一，虽然每年的题型都有所不同，然仔细推敲不难发现其考查的类型也就分为如下4种：①等差、等比问题;②求数列的通项公式;③求数列的前n项和;④数列与不等式. 考查的类型通过分析整理后，再根据各个类型总结归纳出具体的解题方法，进而将整个数列问题建构成一个完整的知识体系，这样学生遇到千变万化的题目时，通过分析和联想可以找到与之相匹配的解题方法，进而成功解决问题.

例如，求通项公式可以应用如下方法：①利用a=S-S（n≥2）;②叠加法;③叠乘法;④构造法.

例5 已知数列{a}满足a+2a+3a+4a+…+na=n（n+1）（n+2），则{a}的通项公式为________.

题目解析：本题虽然不能直接利用a=S-S解答，然其与和有关，故仍需考虑利用a=S-S（n≥2）. 设T=a+2a+3a+4a+…+na=n（n+1）（n+2），则Tn-1=a+2a+3a+4a+…+（n-1）a=n（n-1）（n+1）. 两边相减得na=3n（n+1），所以a=3n+3.

又如，数列求和常用的方法有：①倒序相加法;②错位相减法;③分组求和法;④裂项相消法. 以“裂项相消法”为例，形如以下几个类型均可应用：

①=-（等差型）;

②lg=lg（n+1）-lgn（对数型）;

③=-（根式型）;

④2n=2n+1-2n（指数型）;

⑤C=C-C（排列组合型）.

例6 S为数列{a}的前n项和，已知a>0，a+2a=4S+3.

（1）求{a}的通項公式;

（2）设b=，求数列{b}的前n项和T.

题目解析：（1）根据前面的解题经验可以轻松求得{a}的通项公式为a=2n+1.

（2）由（1）可知，b==

-

，所以{b}的前n项和为T=b+b+…+b=

-

+

-

+…+

-

=-.

数列问题是非常灵活的，部分学生在解决数列问题时常因其复杂多变而产生畏难情绪，但要让学生克服这种情绪决不能盲目地重复练习，虽然那样学生短时间内解题能力会有所提高，然过多追求“练”，而忽视“总结和归纳”，从长远来看，对学生分析能力和解题能力的提升并未发挥太大的作用. 因此，在教学中要重视方法的总结和归纳，这样学生才能真正地拥有“以不变应万变”的能力，学生的综合能力才能真正地有所提升.

总之，在各模块教学中，教师要带领学生学会多视角、全方位地审视问题，进而理清问题的来龙去脉，总结和归纳出解题策略，建立完善的知识体系，从而全面提升解题能力.