开展解后反思 优化数学品质

田飞

[摘  要] 高考数学试卷题量大、题目新，保障高考解题准确率的同时，也要提升解题效率. 为此，在日常教学中要关注解题方法和解题过程的优化. 那么，为了实现“优化”的目的，就要开展解后反思，通过反思结果有效规避犯错的风险，通过反思方法和过程优化解题思路，进而提升解题效率.

[关键词] 解后反思;优化;解题效率

随着新課改的不断深入，大多数师生已经意识到了“题海战术”的弊端，然面对高考的压力，很多学生依然会选择“刷题”方法. 要知道“题海无边”，若只知道埋头苦干而不关注题目之间的联系，不重视解后反思，将很难形成完善的认知体系，这样学生的知识迁移能力势必会减弱，解题效率也很难取得较大程度的提升，这样势必会影响高考成绩.

在高中数学教学中，大多数师生过多地追求“量”，将多数时间和精力都放在解题上，对解题方法和解题过程关注得比较少，纯粹地为了解题而解题，不重视解题方法的优化，不重视知识的系统化建构，不重视数学思维的培养，久而久之，学生不仅容易出现思维定式，而且解题能力也很难获得有效提升. 为此，在教学中必须指导学生进行解后反思，通过评价探究成功的经验，吸取失败的教训;通过反思实现解题方法和解题过程的优化，进而逐步提升解题效率，优化数学品质.

[⇩] 反思解题方法

众所周知，学生的认知水平和思维习惯是存在差异的，在面对同一问题时往往因思考的方向不同而产生不同的解法. 教师应多引导、多鼓励学生尝试应用不同的解法进行求解，这样可以引导学生站在不同的角度去思考问题，进而有效地拓宽学生的视野，丰富学生的解题经验，促进解题效率提升.

例1 将A，B，…，G共7个字母进行排序，若规定A和B不能出现在首和尾，你知道有多少种排列方法吗？

师：思考一下，这个问题该如何解决呢？（教师预留时间让学生独立思考）

生1：可以先不考虑A，B，其余5个字母中选2个字母放在首和尾，则有A种排列方法;这样去除首和尾后还有5个字母，这5个字母全排列，则有A种方法. 所以一共有A·A=2400种排列方法.

师：很好，生1应用直接法顺利地求解了本题. 还有其他解决方案吗？（应用排除法的学生已经跃跃欲试地想展示自己的解题过程了）

生2：若A为首，则有A种排列方法;若B为尾，则有A种排列方法;若A为首且B为尾，则有A种排列方法;若7个字母全排列，则有A种方法. 于是有A-2A+A=2400种排列方法.

例1的求解过程并不难，从学生的练习反馈来看，主要应用了两种方法进行求解，一种是直接法，一种是排除法. 教师没有直接给出答案让学生核对，而是引导学生展示求解过程，进而让学生体会不同解法的魅力. 在解决排列组合问题时，方法一般不局限于一种，教师 从不同角度去尝试不同的解题方法，这样不仅可以调动学生的积极性，而且可以培养学生多角度思考问题的能力.

在教学中，教师可以多组织学生进行解后反思，在解决问题的基础上再思考、再探究，尝试不同的解题方法，即使新的解题方法可能是烦琐的，然经历了再思考的过程，有利于问题的深化. 同时，从不同角度去尝试不同的解题方法势必会调动不同的认知，这样有利于沟通知识之间的纵横关系，便于实现不同知识模块的重组和再建，进而逐渐完善学生的认知体系，促使思维能力发展. 另外，通过不同方法的对比，有助于学生发现最优的解题方案，进而通过总结归纳发现解题的一般思路，有效提升解题效率.

[⇩] 反思解题过程

学生在解题过程中难免会出现一些“小错误”“小瑕疵”，而这些“小错误”“小瑕疵”若影响到了解题结果，学生就会加以改正，反之，学生就会置之不理. 久而久之，这些“小错误”“小瑕疵”积少成多，最终或因过程缺失而失分，或因出现主观臆想而使解题思路偏移，等等，从而影响到解题效率和解题质量. 为此，解题后有必要对解题过程进行回顾和整理，进而做到每步都有理有据，培养思维的严谨性.

例2 若抛物线y=ax2-1（a≠0）上总有关于直线l：x+y=0对称的两点，试求实数a的取值范围.

本题虽然题设信息看似简单，然若想将条件和结论顺利建立联系却有一定难度. 学生通过不断尝试求解问题后，教师可设计一些问题引导学生解后反思，进而让学生在回顾和整理自己解题方法的同时，自动尝试其他的解题方法. 比如问题如下：

（1）设A（x，y），B（x，y）为抛物线上关于l对称的两点，根据这个信息你能得到哪些条件？

（2）求a的取值范围的关键是什么？

通过问题（1）让学生分析出A（x，y）和B（x，y）在抛物线上，AB⊥l，线段AB的中点既在直线AB上，又在直线l上. 求a的取值范围就需要建立关于a的不等式，这就是解题的关键.

解法1（利用判别式）：根据问题（1）可知，直线AB与抛物线y=ax2-1（a≠0）有两个交点，为此根据Δ>0建立关于a的不等式.

解法2（直线的参数方程）：根据已知得到关于直线AB中点的参数方程，将其代入抛物线方程后化简转化为关于参变量t的二次方程，根据A，B两点的对称关系易得t+t=0，tt<0，进而得到关于a的不等式.

当然，求解方法也不局限于以上两种，学生还可以应用均值不等式法、直线AB中点在抛物线内等方法进行求解. 借助于问题的引导，让学生从问题的本质出发，尝试应用不同方法求解有助于发展学习能力. 同时，通过反思可以帮助学生订正因考虑不周出现的“小错误”，进而使整个解题过程更加顺畅、丰满. 总之，教学过程中，教师应多引导学生进行独立思考，培养学生解后反思的好习惯，这样不仅可以使解题过程更加完美，而且使思维过程更加严谨，解题视野更加开阔，有助于学生综合能力的发展.

[⇩] 反思解题结果

在解题过程中难免会走一些弯路，犯一些错误，那么为了减少类似情况的发生，学生在求解后可以反思一下解题结果，看看关键条件是否已经合理应用，运算过程是否可以优化，是否出现了公式滥用，等等，通过反思在保障解题准确率的情况下，还可以实现解题效率的提升.

例3 从圆C：（x-1）2+（y-1）2=1外一点P（2，3）向圆C引切线，切点为A，B，求直线AB的方程.

解法1：由已知可得圆心为（1，1），半径r=1，若过点P的切线方程斜线不存在，则x=2为切线方程;若斜率存在，设斜率为k，切线方程为y-3=k（x-2），圆心（1，1）到切点的距离d==r=1，解得k=，求得切線方程为3x-4y+6=0. 联立切线的方程与圆C的方程求得切点A，B的坐标分别为（2，1），

，

，根据两点的坐标求得直线AB的方程为x+2y-4=0.

解法1的思路简单，符合大多数学生的思维特点，然在求解切点A，B的坐标时要进行复杂的运算，这样不仅会增加解题的时间，而且还会增加出错的风险. 虽然解法1可以求解，但并不是最优的解决方法，为此教师有必要及时引导学生进行反思，让学生另辟蹊径，探究求切点A，B坐标的捷径.

解法2：切点A，B是以PC为直径的圆与圆C的交点，以PC为直径的圆的方程为（x-1）（x-2）+（y-1）（y-3）=0，联立其与圆C的方程可直接求得切点A，B的坐标为（2，1），

，

，根据两点的坐标求得直线AB的方程为x+2y-4=0.

这样，运用平面几何的知识联想到另一个圆，两圆的交点即为切点，从而有效地减少了运算量. 从解题过程可以看出，解法2较解法1更加简洁.

例4 已知函数f（x）=，试判断f（x）的奇偶性.

显然，若想判断函数f（x）的奇偶性应先对其进行化简，大多数学生化简过程如下：

f（x）=

=

=

=tan.

因为tan是奇函数，所以f（x）也是奇函数.

整个化简过程看上去非常完美，然细细品味会发现，最后一步的约分并非等价变形，因为f（x）与tan的定义域并不相同，所以两者并非同一个函数，所以直接应用tan的奇偶性来判断f（x）的奇偶性显然是错误的. 出现该错误的主因是学生忽视了函数的定义域，可见学生对函数奇偶性概念的理解还不够深刻. 通过结果反思让学生认识到自己的不足，这样经历自我发现和自我纠正的过程，可有效避免错误的再次发生.

总之，合理应用解后反思不仅可以优化解题过程，提高解题准确率和解题效率，而且有利于培养学生发现问题和解决问题的能力，有利于提升学生的数学素养，有利于养成严谨的学习习惯，进而为学生的长远发展奠基.