利用分析推理思路提升数学运算能力

吴锡梅

[摘  要] 运算贯穿数学学习的始终，运算能力的高低直接影响着数学成绩的高低，然因部分师生对运算能力的认识不足，影响了学生运算能力的培养. 运算能力是学生综合素质的一种集中表现，对运算能力的追求不能仅停留于解决问题，还应关注方法和效率. 为提升运算能力，控制运算失误，应对运算的目标性、可行性、合理性、适配性进行分析，进而优化解题策略，提升解题效率.

[关键词] 运算能力;分析;解题效率

运算能力是学生必备的基本技能和基本数学素养. 随着课程的不断深入，运算的难度也在不断加深，然对于运算能力的培养却没有引起足够的重视. 部分师生认为，数学解题的关键是应用合适的解题方法和解题技巧寻找解题思路，只要思路对了，运算时细心一点就可以顺利求解. 正因为对运算能力的错误认识，使得学生在高考中常因计算错误而屡屡失分. 运算贯穿数学学习的始终，运算错误也伴之左右，若足够重视并有效控制运算失误，不仅可以降低解题错误率，而且可以提升解题效率并带给学生足够的自信心和成就感.

对于运算失误的有效控制应着眼于学生出现的错误，借助于错误所暴露出来的问题进行有针对性的训练是有效控制运算失误的最直接手段. 笔者结合学习案例及教学经验，对高中数学常见的运算错误总结如下：

（1）概念、定理滥用. 在应用基本公式计算时，由于对公式的理解不清出现了公式滥用，有时因忽视适用条件而造成错误.

（2）信息提取能力差. 面對问题的条件较多、需要多角度分析题目时，常因找不到解题方向而造成错误.

（3）分析能力差. 学生解题时仅仅将信息简单罗列，运用常规解法逐一运算，使得步骤多、计算量大，将运算复杂化，从而造成计算错误.

（4）运算机械化. 学生在解题时习惯生搬硬套、机械模仿，缺乏对问题本质的分析，转化意识差，不仅造成计算量大，而且往往因考虑不周、机械套用而使解题思路中断，从而引发错误.

学生出现以上运算错误虽然有一部分原因是粗心大意，然其主要原因是学生的基础知识不扎实，学习缺乏主动性，过于依赖教师、依赖强化训练，学生分析推理能力较弱，从而在计算时常有思路却很难求解. 为了改变这一情况，在教学中要充分利用好例习题示范功能，让学生理清算法，找准思路，进而有效控制运算失误.

笔者以一道典型数学题为例，借助于此题的求解过程提升学生的分析能力，有效控制运算失误.

案例 如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a>b>0）的右焦点为F（1，0），离心率为. 分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE=EF.

（1）求椭圆的方程;

（2）设直线AC，BD的斜率分别为k，k，求k+k.

[⇩] 目标性分析

运算前学生要先弄懂“算什么”，根据已有经验进行思考：若想得到该结论可以采用什么样的方法？即思考“怎么算”. 学生要根据已知和结论先形成一个整体的解决方案，接下来将方案进行逐一分解，进而形成不同的“子目标”，通过对“子目标”进行分析而形成一个“逻辑链”，进而使运算更具逻辑性和可控性.

题目的第（1）问是“求椭圆的方程”，即求a，b的值. 根据已知“右焦点为F（1，0），离心率为”可得c=1，又e=，故a=，所以b2=a2-c2=1. 所以椭圆的方程为+y2=1.

第（1）问虽是基础题，学生都能轻松求解，然分析其解题过程不难发现其是一个完整的“逻辑链”：从结论出发寻找a，b的求解方法，通过已知求出a值，又利用椭圆公式求出b值，最终得到答案.

[⇩] 可行性分析

考试时间有限，为了提升解题效率，在解题前应对解题策略有预判，切勿拿到题目就算、无法求解时再转换思路，那样不仅浪费了宝贵的解题时间，而且也会磨灭学生的意志，故在解题时学生要多考虑“能不能”，通过逻辑分析判断解题操作的可行性.

比如：求解第（2）问时，椭圆的方程为+y2=1（已求解），那么求直线AC，BD的斜率可以利用坐标法进行，即利用已知求出直线AB和直线CD的方程，接下来联立方程求出A，B，C，D四点的坐标，求出坐标后再根据两点式求解直线方程，该思路是常规解题思路，通过该方法可以得到最终的答案;然其计算过程大，运算会占用大量的时间，而且运算时稍有疏忽就会直接影响全局，故该方法不是最优的解题方法，其可实施性较弱，因此解决此题应继续寻找其他方法.

通过可行性分析可知，上面的解题方法需要较多时间，故学生可尝试另辟蹊径. 若没有前期的分析，学生求解直线AB和直线CD的方程后才发现计算各点坐标需要复杂计算，那时若再改用其他方法就浪费了前期运算的时间，但若继续求解却依然需要很多时间，此时就会处于两难的境地，不仅浪费了时间而且容易产生急躁的情绪，不利于求解成功. 因此，可行性分析在运算过程中至关重要.

[⇩] 合理性分析

数学解题思路和解题方法较多，其运算方法和途径也有所不同，然如何运算才是最方便的，其是否符合运算习惯、是否有据可依，如何才能使运算趋于合理，是合理性分析需要解决的问题. 运算时必须着眼于细节，每一步都要细心考量，使每一步变形都要有理有据，进而使运算朝着预期目标发展. 部分学生因缺乏对运算合理性的分析，在运算时毫无目的，算到哪一步就是哪一步，在化简运算时越化越繁，与运算结果越来越远. 对运算合理性的分析是运算的重要环节之一，应引起足够的重视.

比如：求解第（2）问时，设直线AB的方程为y=kx，直线CD的方程为y=-k（x-1）. 设A（x，kx），B（x，kx），C（x，k（1-x）），D（x，k（1-x）），则直线AC，BD的斜率之和k+k=+，计算时不能着急求解，而应先观察. 通过合理性分析发现其不能化简，而是需要通分，即k+k=. 因利用四点坐标求解计算量较大，故要借助于整体代入法进行求解，化简时尝试转化为x+x和xx这样与根和系数的关系相关的形式，为接下来的计算做好准备，于是简化变形得k+k=·[2（xx-xx）-（x+x）+（x+x）].

为了确保运算的合理性，要对解题思路和解题方法进行监测和评价，要充分结合已有认知，重视解题通性通法的应用，以保障计算过程朝着预期的方向发展，进而提升运算效率.

[⇩] 适配性分析

运算效率及运算能力的提升需要数学经验的积累，什么样的问题采取什么样的方案，这是对学生基本技能的考量，也是对学生逻辑分析能力的考查.

比如：该题求的是含参的直线斜率，解决此类问题时可以应用“设而不求”的解题方法，即设A（x，kx），B（x，kx），直线AB的方程为y=kx，其与椭圆+y2=1相交于A，B两点，则有+y2=+k2x2==1，即（1+2k2）x2-2=0，即可求得x+x和xx的值，利用整体代入法求解以减少解题步骤、提升解题效率.

在日常教学中要重视解题方法的积累和数学思想的应用，如整体法、数形结合法等，运用合适的解题策略往往可以优化解题方案，可以有效避免复杂运算带来的不确定因素，其对解题能力和运算效率都是一种提升.

高中数学运算是一个复杂的过程，是对学生综合能力的考查，高考中80%的题目都需要运算，因此要学好数学、要在高考中取得好成绩就不能忽视运算能力的培养. 对数学运算能力的考核不单是解决问题，更重要的是能高效解决问题. 众所周知，高考数学计算量较大，若不重视效率将很难取得较好的成绩. 因此，控制运算失误更需要从效率的层次去思考，如本案例中整体代入法的应用，其有效规避了复杂运算的风险，提升了解题效率. 在运算中，要善于从宏观的角度去观察和推理，在日常训练中注意多种算法的应用，从而从多种算法中总结和归纳出最优方案，进而将其内化为经验，为日后的高效运算打下坚实的基础.

总之，在运算中注重分析可有效控制运算失误，可使运算更具目的性和方向性，其有利于解题效率的提升. 为此，在教学中对运算能力的提升不能仅停留于盲目的“题海”强化训练，那样不仅容易使学生产生消极情绪，而且容易因缺乏分析而出现“一错再错”的现象，从而影响学生学习的积极性，不利于学生解题效率的提升.