基于历史名题的高中数学单元复习课教学

2022-06-09王芳

数学教学通讯·高中版 2022年4期

编者按

让数学文化全面融入数学课堂，是《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中提出的重要任务. 浙江省义乌市王芳名师工作室自2010年与华东师范大学HPM（History and Pedagogy of Mathematics）工作室合作，在汪晓勤教授指导下开发了“数学文化与概念教学”方面的二十余个课例. 反思之际，深感“数学文化与解题教学”研究之迫切. 于是以历史名题为依托，启动了“单元复习课”研究，借鉴《九章算术》《几何原本》，提出了一个“以逻辑演绎、运算建模为两个维度设计历史名题的问题框架”，并确定十节单元复习课以检验研究的可行性与普适性，该研究成果已荣获2021年浙江省精品数字教育资源优秀奖. 像这种高校学者引领、一线教师担纲的“数学文化与解题教学”HPM研究尚属首次. 本期推出的三篇论文体现了从理论到实践的研究脉络，以期为数学教师进一步开展数学文化教育提供参考.

[摘要] 以单元复习课为研究对象，探讨数学历史名题融入解题教学，纵深推进数学文化教育常态化. 历史名题具有反映数学本质思想、培养高阶数学思维、示范专业学习共同体等独特优势. 受《九章算术》和《几何原本》的启迪，以“刍甍”为例，探讨数学历史名题运用于高中数学单元复习课的教学策略：从课标、教材、学情等视角进行教学分析，以“逻辑推理”“数学建模”两种取向为经纬研发历史名题，构建问题框架，跨越古今中外，渗透数学文化，涵养人文情怀.

[关键词] 数学文化;历史名题;单元复习;问题链

[?]引言

教育部在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》[1]的“课程结构”中要求将“数学文化”全面融入课程内容. 当今，数学概念的文化内涵越来越多地得以挖掘与运用，但日常数学教学的另一主角——数学解题教学的变革相对缓慢，由此出现了：学生在概念学习中激发出来的兴趣、创意激情和探究精神被解题冲淡或压抑，教师在概念教学中的创新突破因解题教学又被“打回了原形”，一些新颖的数学试题尤其是高考中的创新试题，一旦推出就被快速分解为技巧化、程式化训练……要使数学文化教育向纵深推进，必须谋求解题教学的时代嬗变.

单元复习课是解题教学的常见课型，与章节的“概念教学”紧邻，对接轨概念教学人文涵养、延续数学文化教育的意义重大. 在现实中，单元复习课并未得到应有的重视，有“以考点关联紧密的题目来复习知识点”[2]，或“将其设计成专题复习课，有了高三的味道”[3]. 存在着题目组建分散、教学主题模糊、知识内容重复、教育功利化倾向等问题.

章建跃先生认为解题的目的应聚焦于加深理解和掌握“双基”，学会思考、培养和发展思维能力……这些目标的实现，根本上还要依靠“好题”[4]. 好的数学题能激活学生的思维，激发探究欲望，能调动所学的概念和性质，洞察数学本质，获得新的学习经验和认知体验. 然而，“提出好问题”对于大多数师生而言，并非易事. 早在2006年张奠宙先生就指出“提出好问题，是我们的薄弱环节”[5]，命制大量的“好题”更是难上加难.那么，数学文化中是否有现成的“好题”？如何挖掘与改造以贴合高中数学实际？如何组织与实施以提高单元复习课的教学品质？

[?]聚焦历史名题，优化单元复习

数学历史名题是经历了岁月检验而流传下来的好问题. 所谓历史名题，是在数学发展历史长河中形成的，对数学发展、数学应用和数学教学等方面起过或仍然起着重要作用，在数学史上产生较大影响、对数学发展有一定推动作用或在公众中引起广泛反响的数学问题[6]. 它们犹如数学世界的璀璨明珠，成为数学文化的鲜活代言. 历史名题在单元复习中具有独特优势.

1. 梳理单元知识，揭示本质思想

历史名题中蕴含着历代数学大师的智慧和力量. 例如，狄利克雷函数D（x）=0，x是无理数，

1，x是有理数表达了x与y一一对应的现代函数观，也是周期为任意非零有理数的典例.通过函数y=ln（x+1）与y=x，y=x-x2，y=x-x2+x3，…随着求导阶数的增加，直观表现出了麦克劳林在x=0的邻域中以多项式函数拟合某函数值的数学思想（如图1所示），揭示了微积分“以直代曲”“以曲代曲”无限逼近的数学本质. 历史名题还是催生新分支的诱因. 17世纪，“德·梅尔问题”促进了早期概率论的创立;18世纪，“哥尼斯堡七桥问题”启蒙了图论的诞生;19世纪，“四色问题”开拓了计算机证明数学定理的前景. 这些名题博大精深，与相应的单元知识天然交融，是培育数学核心素养的有机载体.

y=ln（x+1）

2. 培养理性思维，树立学习榜样

对于解题，波利亚（George Polya，1887—1985）曾言“未来的数学家应该是一个聪明的解题者”[7]. 在单元复习课中，各个数学知识不再囿限于新课时序，而被置于同一认知范畴中，此时学生所持有的知识系统与数学家接近，便于彼此对照. 英国数学教育家舍费尔德在《数学解题》中曾比较两位学生和一位数学家的解题过程，发现数学家的思维要复杂得多[8]，主要表现在：（1）在采用某一方法或解题途径前对各种可能性仔细地考虑后才动手解题. （2）在陷入思维误区或思路纠缠时，总能清醒地告诫自己要干什么、已有的信息是什么、根据这些信息做了什么、为什么要这样做. （3）即使出现了错误或曲折，并非简单地抛弃已有的工作，而是从中汲取有益的成分.利用历史名题，可以让学生与数学家进行比较、对照，然后反思，成长为“聪明的解题者”.

3. 示范专业学习，构建研修社群

数学文化意味着数学活动的“社会性”.在此意义上，教室内的学生、历史上的数学家构成了“共同体”，成员的观念、行为将受到所属群体的社会因素的影响.在学习氛围浓郁的班级可以看到：若干学生聚集讨论不同的解法，某学生的解法被赞同后遭受质疑或自我否定，某种不规范解答蕴含了丰富的直觉力与创造力……类似的情形在历史上也有发生，如“费马大定理”. 1847年，法国数学家拉梅（Lame，Gabriel，1795—1870）与柯西（Cauchy，Augustin Louis，1789—1857）在同一會场先后宣布自己差不多证明了这一猜想，数月后德国数学家库默尔（Kummer，Ernst Eduard，1810—1893）指出他们所依据的一个定理不成立，英国数学家怀尔斯（Andrew Wiles，1953—）在1993年作出了证明又自己发现了缺陷并修补了漏洞. 可见，“学生”与“数学家”组成的两类共同体存在着行为方式的相似性. 历史名题以课堂空间换取历史时间，通过共同体的对话，体验数学的文化传统、研究范式与探究精神.E227C040-01ED-487B-B6E2-172084992B78

[?]寻根经典名著，研发历史名题

一节单元复习课可能用到一个或多个历史名题，这些名题通常需经过改造才能适用于课堂. 有研究认为：基于数学史料的问题提出策略至少有七类[9]，包括“复制式”“条件式”“目标式”“链接式”等，这些方法同样适用于历史名题. 简单的历史名题需要提升，较难的则佐以铺垫，“前铺”与“后陈”之后又会形成多个数学问题.要使诸多问题形成清晰的结构，关键要研发这些问题的价值取向. 对此，不妨从数学的传世名著中寻找借鉴.

1. “演绎推理”取向的历史名题

《几何原本》被誉为“世上最美丽的逻辑剧本”[10]，是结构紧致、逻辑严密的典范. 以《几何原本》第一卷“几何基础”为例，本卷介绍了定义、公设、公理之后，相继论证了48个命题. 今择若干梳理如下.

欧几里得先根据定义1.15，再根据公理1.1，得到：

命题1.1 已知一条线段可作一个等边三角形.

推导命题1.2时用了六步，依次根据公设1.1、命题1.1、公设1.2、公设1.3、公理1.3、公理1.1，得到：

命题1.2 從一个给定的点可以引一条线段等于已知的线段.

依次根据命题1.2、公设1.3、定义1.5、公理1.1，得到：

命题1.3 给定两条不等线段，可以在较长的线段上切取一条线段等于较短的线段.

依次根据命题1.1、命题1.3、命题1.8、定义1.10，得到：

命题1.11 过一条直线上的一个点，可以作该直线的垂线.

依次根据定义1.10、命题1.11、公理1.2、公理1.1，得到：

命题1.13 两条直线相交，邻角是两个直角或者相加等于180°.

依次根据命题1.13、公设1.4、公理1.1、公理1.3，得到：

命题1.14 两条不在一边的射线过任意直线上的一点，所构成的邻角若等于两个直角的和，那么这两条射线构成一条直线.

依次根据命题1.11、命题1.3、公设1.1、公理1.2、命题1.47、公理1.1、命题1.8，得到：

命题1.48 在一个三角形中，如果一边为边的正方形等于另两边为边的正方形之和，那么，后两边的夹角是直角.

将以上命题关系整理成图2.

通过这个有序组织传达了该卷主题——公理化思想. 欧几里得设定“点、线、面、角”为一切存在的始基，从5个公理、5个公设、23个定义出发，把大量有关各种几何图形性质的命题以公理化方法组织起来，建立了一个空间秩序久远而权威的欧氏几何体系. 沿着欧氏组织各个命题的逻辑线索探究下去，给人一种欲罢不能的、持之以恒的吸引力.

由此得到启发：

（1）历史名题的组织要有“整体性”，始终围绕主干知识与核心观念. 从图2可以看出，第一卷从命题1.1至命题1.48，前者有关正三角形，后者有关正方形，欧几里得用这两个特殊的几何图形作了首尾呼应，形成了浑然天成之感;并且，欧几里得总是用已证明的命题作为论证的基础，依靠确切的依据、严密的逻辑得出后继命题，使公理化思想昭然若揭.在课堂中展现这种整体构架，有利于学生快速把握单元复习的内容、重点，宏观了解教学的推进状态.

（2）题目之间以“问题链”连接，连接的依据是数学的基本要素. 命题1.1→命题1.2→命题1.3，是关于点与线段、长度的等与不等的基本问题;命题1.11→命题1.13→命题1.14，是关于简单的几何位置关系（包括角度）的问题;命题1.48是特殊的几何图形——正方形的问题. 纵横两个方向都采用了“问题链”的方式，这种逐层递进的方式能使学生置身于数学思考的情境，避免陷入“题海”，不仅有助于学生形成良好的学习体验，还能启发学生提出新的问题.

（3）“问题链”的设计要兼顾“开放性”. 观察第一卷“几何基础”的最后一个命题——命题1.48，与第二卷“几何与代数”的第一个命题——命题2.1“两条线段，其中一条被截分成许多段，那么以这两条线段为边构成的矩形的面积等于各截线段与未截的那条线段为边构成的矩形的面积和”构成了新的联系，比第一卷显然上了一个层次. 这种开放性为学生探究未知的数学设立了伏笔，虽然它“离开基础比较远一些，也应该有所接触，提高数学思维水平，扩展数学视野”[5].

此外，图2中所有命题的逻辑推演都运用了定义、公设、公理等，如从命题1.13推导出命题1.14就运用了2个公理和1个公设，根据需要随时调动数学知识，确保在单元复习课中问题解决与知识复习的兼顾.

2. “运算建模”取向的历史名题

《九章算术》构造了中国数学的算法体系，是经世致用、运算建模的典范. 它系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，以筹算为基础、从问题出发、以解决问题为宗旨，提供了诸多简练有效的运算操作模式. 《九章算术》中的246个题目并非简单的堆砌罗列，而是通过“举一反三”以诠释其操作模式. 以《九章算术》第五卷“商功”中的问题（18）至问题（22）为例.

问题（18）：

今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈. 问积几何？（注：1丈=10尺，1米=3尺）

答曰：五千尺.

术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.

刍童、曲池、盘池、冥谷，皆同术.

术曰：倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一. 其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤;亦并下中、外周而半之，以为下袤.

“刍甍”的本义为盖上草的屋脊，这里指底面为矩形的屋脊状的楔体，如图3所示. 问题（18）翻译成现代文，即a=2丈，b=4丈，c=3丈，h=1丈，求楔体的体积.“术”的意思是把下底边长b乘2，加上边长a后乘c，再乘高h，然后除以6，得计算楔体的体积公式V=，代入数据即得刍甍的体积V==5（立方丈）.E227C040-01ED-487B-B6E2-172084992B78

《九章算术》没有给出公式推导，而是强调“刍童、曲池、盘池、冥谷，皆同术”，其中刍童、盘池、冥谷分别指上下底面皆为长方形的草垛、土坑、墓坑（图4的左图），曲池指上下底面皆为扇形的水池（图5的右图）. 显露出对模型进行算法建构与运用的取向，这与单元复习课突出核心思想方法的目标是一致的.

由此得到启发：

（1）配套同类设计，为学习者架设建模的阶梯. 《九章算术》以问题（18）建立模型，随即给出了问题（19）——“今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？”该刍童可直观切割出两个刍甍（如图4所示），根据“术”，两次运用公式V=，可得V刍童==26.5（立方丈）. 先帮助学习者熟悉公式V=的结构，然后以问题（20）、问题（21）、问题（22）进行巩固.

（2）同类问题有变化、引申与拓广，以增长学习智慧. 问题（20）求的是曲池（图5的右图）的体积，运用公式V=，把多面体刍童推广到曲面几何体，表达了我国古代数学以常见的几何体为基本模型、解决实际问题的特点. 其实，这里还隐含着微积分雏形，显示出“幂势既同，则积不容异”的数学思想.

（3）为模型赋予实际情境，渗透经世致用与品格陶冶. 问题（21）求的是盘池的体积，之后紧随了一个“负土筑池”的问题：“今有盘池，上广六丈，袤八丈，下广四丈，袤六丈，深二丈. 问积几何？”[11]随后根据工人负土行走难度不同制定了工费计算标准：背筐运土往来70步，其中20步上下脚手架，在脚手架上行走每2步当作平步5步计算，身上背筐步履艰难，每10步当11步计算，现场装卸所用的时间折算成30步……从中可以感受到，数学应用于现实的情境远比想象的复杂，负土过程描述了劳动的艰辛，步数的折算考验着管理者的智慧与公平. 类似例子在《九章算术》中大量存在.

[?]教学建议

1. 拓宽分析视角，精选历史名题

运用历史名题，忌为历史而历史，忌因名题而陷入“题海”，科学分析教学的各个环节，恪守运用历史名题的初衷，更好地帮助学生进行单元复习. 从课标视角细化单元的教学要求，注意核心素养在不同阶段的学习定位、不同单元相应的德育目标;从教材视角分析单元在新版教材中的位置、与前后章节的关系，厘清主干知识与核心思想方法;从学生视角剖析认知特点，关注单元学习过程中的困难，根据群体特点制定学习共同体的建设方案.

把单元教学与历史名题作为两大客体进行辩证分析，使历史名题既凸显新理念又能回应现实：哪些因素引发了执教者求索于数学史？与该单元相关的历史名题有哪些？选择某个历史名题的依据是什么？以怎样的方式进入教学？选择的历史名题能达到怎样的教育效果？在扩展视野时，要立足课标教材，尊重课堂学情，使历史名题更好地匹配于教育教学.

2. 图式名题关系，构建问题框架

不因追求演绎高度而盲目加大问题难度，也不因讳言操练而回避规律性总结与巩固. 吴文俊先生认为：“在数学发展的历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演繹体系曾多次反复消长，交替成为数学发展的主流.”[12]《几何原本》与《九章算术》代表了中西方数学的文化传统，两种取向并重，能使历史名题的教育效果倍增. 不妨借鉴图4，把这两种取向作为问题设计的两个维度. 纵向以“逻辑演绎”为导向设计逐层递进的“问题链”，感悟数学的理性;横向以“运算建模”为导向设计同类巩固的“问题链”，巩固落实学习经验. 双链合璧，形成一个基于历史名题的问题框架.

以下作一范例：将《九章算术》第五卷“商功”中的问题（18）、问题（19）、问题（20）分别归作一类，作为问题1.1、问题1.2、问题1.3，完成“了解算法→运用算法→拓广算法”，形成“运算建模1”——刍甍的体积公式.

通过问题1.1设计问题2.1：证明刍甍的体积公式V=.

作辅助线（如图6所示），可得直三棱柱EAD-FBC的体积V=S·EF=ach，四棱锥F-BBCC的体积V=S·h=··c·h=，而四棱锥E-AADD的体积与之相等，运用割补法得到刍甍的体积V=V+2V=.

继续以刍童、曲池、盘池等设计问题2.2……形成“运算建模2”——出入相补原理.

受“负土筑池”的启发，增加实际情境，设计问题3.1……形成“运算建模3”——合理的数据运算与分析.

将以上问题组织为图7.

3. 跨越时空交流，彰显人文内涵

基于历史名题的单元复习课，不能一味地解题，而是要关注名题的社会背景、文化差异，凸显各个题目之间的人文关系，开放课堂交流，集结共同体的智慧，共同领略历史名题的方法之美、探究之乐、文化之魅.例如，用“出入相补原理”求刍童的体积时，可以出现多种方案（如图8所示）.

方案①②：把刍童分解成2个刍甍;方案③：右侧分解出一个刍甍但左侧需要继续切割;方案④：补形出一个更大的刍甍后，所求体积为V-V;方案⑤：补形存在着思维漏洞，即四条侧棱延长后未必相交于一点，这与教材中的习题类似（如图9所示）[13]，是学生学习棱台概念的典型错误. 棱台由棱锥截得，上下底面平行且四条侧棱延长后相交于同一点. 图9①即刍童，其上下底面平行，但四条侧棱却可以不交于同一点.

该几何体在现实生活中大量存在（如高台、凳子等）. 学生难以理解：如此常见的几何体为什么没有成为欧氏体系中的“基本几何体”？从中可见我国古代数学的“实用主义”与西方数学的“抽象主义”的文化差异. 事实上，用刍甍切割刍童比用棱台、棱锥来切割要显得简单，这体现了一种文化的内在和谐性. 在a=b时刍甍即棱柱，又体现了多元文化的互通共融. 两种取向都具有去粗存精、至精至简的思想内涵.

[?]总结展望

从数学到解题是智力的角逐，而从解题到数学则是观念的回归. 近几年高考卷中人文色彩浓郁的考题崭露头角，显示出数学文化融入数学解题的广阔前景. 高中数学课程中存在着大量的历史名题，如函数导数中的泰勒公式、麦克劳林公式，解析几何中的阿基米德三角形、阿波罗尼斯圆，数列中的斐波那契数列、奥雷姆问题，等等，它们自带文化基因，又融合于单元之中，是推进数学文化全面融入高中数学课程的重要载体.

以历史名题为契机，挖掘数学解题的文化内涵，提升教师设计问题的层次，让学生经历高品质的解题过程，从而感受数学理性的思维范式与认识模式，以及独特的美学维度与价值判断，实现立德树人的教育效果.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 陈晓丹. 指向深度学习的高三数学深度备课——三角函数单元复习为例[J]. 数理化解题研究，2019（30）：5-6.

[3] 罗建宇. 整合教材典型问题发展学生数学学力——高一“函数”单元复习课的实践与思考[J]. 江苏教育，2019（75）：45-49.

[4] 章建跃. 章建跃数学教育随想录[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[5] 张奠宙. 中国数学双基教学[M]. 上海：上海教育出版社，2006.

[6] 黄加卫. 议数学历史名题在高中数学教学中的价值与定位[J]. 中学教研（数学），2008（09）：44-47.

[7] 波利亚. 怎样解题[M]. 涂泓，冯承天，译. 上海：上海科技教育出版社，2002.

[8] 郑毓信，梁贯成. 认知科学建构主义与数学教育[M]. 上海：上海教育出版社，2002.

[9] 汪晓勤，沈中宇. 数学史与高中数学教学——理论、实践与案例[M]. 上海：华东师范大学出版社，2020.

[10] 欧几里得. 几何原本[M]. 燕晓东，译. 南京：江苏人民出版社，2011.