高中数学新旧教材“立体几何初步”的比较研究

2022-06-07刘海霞陈小美彭叶辉

数学学习与研究 2022年6期

刘海霞陈小美彭叶辉

【摘要】教材是课程知识的载体，是教与学的桥梁，在课堂教学中发挥着無以替之的作用.教材分析与课程的架构、安排和实施紧密相关，也与教育目标和教育价值的实现紧密相关.以高中数学中的“立体几何初步”教材为例，本文从教材的内容、习题、概念等方面对2007版和2019版教材进行了简单的比较研究.

【关键词】数学教材;立体几何;比较研究

【基金项目】湖南省普通高等学校教学改革研究项目（湘教通〔2018〕436号-369）; 湖南科技大学教学改革研究项目（No. G31915）

一、引言

教材是实施新课改的重要资源，教材分析是实践教学的根本.章建跃提出教材内容的改革有两条“永恒”的理由：一是为与时俱进，二是为“减负”，并指出教材内容的改革要以“精简、增加、渗透”为方针.王成满等人认为数学教材的编写要注重整体性与系统性.吴立宝、曹一鸣两人提出教材分析的八个策略，以此来提高教材的“附加值”.“立体几何初步”是衔接初高中图形与几何知识的关键点，目前还缺少以其为研究内容的教材分析，因此，笔者试对其做简单的分析与比较，以期抛砖引玉.

二、教材内容的比较分析

（一）章节目录的比较

新、旧教材的目录按章标题→节标题→小节标题展开，新教材将立体几何初步知识重组为一章，并且节标题更为简洁.此外，与旧教材对比，新教材的小节标题有以下五点改变：（1）将棱台的结构特征移至圆柱、圆锥之前;（2）删除了台、球、柱、锥及简易组合体的三视图知识;（3）删除了中心投影及平行投影知识;（4）将台体、球体、柱体以及锥体的表面积和体积划分为棱体、圆体两部分;（5）增加了“线线平行”“线线垂直”两节知识.

从整体来看，新教材按新课标的要求删去了部分知识，更加强调前后知识之间的关联，并对一些知识进行了必要的分类，便于学生对知识点的理解和记忆.新教材中增加的知识则考虑到学生由易到难、由简到繁的认知特点，有助于学生逐步创建良好的空间观念.

（二）重要定理的呈现方式比较

2007版：（1）线面平行（判定）：思考→观察→探究→结论→例题练习;（2）面面平行（判定）：观察→探究→结论→例题练习;（3）线面平行（性质）：思考→结合判定定理得出结论→例题练习→总结思想方法;（4）面面平行（性质）：思考→结论→例题练习;（5）线面垂直（判定）：思考→探究→思考→结论→例题练习→探究;（6）面面垂直（判定）：观察→思考→结论→例题练习→探究;（7）线面垂直（性质）：思考→定理→例题练习→思考;（8）面面垂直（性质）：思考→结论→思考→例题练习→探究.

2019版：（1）线面平行：观察→判定定理→例题练习→连接线面平行的充分条件研究线面平行的必要条件→性质定理→例题练习;（2）面面平行：探究→判定定理→例题练习→研究面面平行的性质→性质定理→例题练习→总结思想方法;（3）线面垂直：观察→思考→探究→判定定理→思考→例题练习→观察→采用反证法得到性质定理→例题练习;（4）面面垂直：二面角→思考→观察→判定定理→例题练习→探究→性质定理→探究→例题练习→归纳.

对比来看，旧版教材多以思考导入为主，新版教材则以观察和探究导入为主;旧版教材将单个定理分别呈现，新版教材则更注重定理之间的承接，将判定定理及性质定理接踵呈现.旧版教材设置了8条知识链来呈现定理，新版教材则整合为4条知识链，加强了知识点的关联度.

（三）栏目设置的比较（见表1）

从表1中可以看出，新版教材较旧版教材的栏目设置更多样化，旧版教材以思考和探究为主，新版教材以观察和思考为主.新版教材增加了祖暅原理的探究与发现，可以引导学生探寻相关知识的开展历程，从中领会数学的价值，提升学生的数学应用意识和科学精神.另外，新版教材中还增加了几何学发展的文献阅读与写作，有利于培养学生收集和整理资料、撰写和论述内容的能力.

（四）教材章节引入与章末小结的比较

旧版教材的章节引入从空间几何体的简单概念和用途入手，简单说明了章节的学习过程和目标;新版教材的章节引入首先让学生结合章前图回顾小学和初中的相关知识，其次给出章节的学习目标和具体顺序，最后给出基本方法和途径并结合数学核心素养对学生提出要求.新版教材与旧版教材的章末小结均通过“本章知识结构”和“回顾与思考”来呈现.不同的是，新版教材的章末小结不仅对知识点进行了总结，而且对章节所体现的数学核心素养和数学思想方法进行了总结;旧版教材的回顾与思考同步，新版教材则先回顾后思考.

三、教材习题的比较分析

（一）习题结构的比较

新、旧教材均按照知识点的顺序按序设置了三类练习题：小节练习、节末习题、复习参考题.旧教材将习题分为A、B两组，A组比较简单，B组对学生提出较高的要求;新教材将习题划分为三个层次：综合运用、拓展探索、复习巩固.与旧教材相比，新教材的习题难易程度划分得更明显，并增设了更多综合型的习题，在注重学生基础的同时兼顾了学生差异性.此外，新教材习题所用的插图也更贴近实际生活，提升了学生解决问题的情境性.

（二）习题数量的比较（见表2）

从表2中可以看出，新教材在旧教材的基础上增加了27.12%的习题量，并且这些增加的习题量主要体现在空间直线、平面的平行和垂直这类较难的知识点上，强调了学习不同知识的差异性，突出了章节重点.

（三）习题类型的比较（见表3）

选择、填空和判断是考试中常见的题型，这三类题型对学生掌握基础知识有着显著效果.从表3中可以看出，新教材对这三类题型做了适当的增加，体现了对于基础知识训练的重视.新教材删去了三视图和投影这部分知识，所以相应减少了作图题的题量.对于“立体几何初步”的计算，新课标仅要求了解一些简易几何体的表面积和体积的计算方法及用公式解决简单的实际问题，因此，新教材对计算题也做了相应的删减.此外，新课标对平行、垂直的性质与判定定理的论证提出了更为具体的要求，还要求学生能运用直观感知、推理论证等认识和探索空间图形的性质并创建空间观念，因此，新教材增加了简答和证明的题量来对应新课标提出的要求.

四、教材概念的比较分析

（一）概念的引入比较

2007版：（1）抽象图与生活实例图联结总结出概念的内涵与外延（如棱、多面体、旋转体等）;通过探究与思考给出立体图形的重要结构特征，进而结合抽象立体结构图给出概念（如圆锥、圆柱、棱锥等）.（2）利用生活常识或生活场景的陈述引出概念，给出概念之后再通过具体的生活实例来加深学生的印象与理解（如中心投影、投影线、平行投影等）.（3）通过思考并结合旧概念的呈现类比得到新概念，再结合探究思考与例题的讲解进行概念巩固，利用数学公式来简化概念的记忆与理解（如体积、表面积）.（4）通过观察与思考让学生运用几何抽象思维来形成概念的文字语言描述及数学几何语言的表述，形成相应重要公理的表达.除了相应的文字与符号语言外，教材中还增加了图形来加深学生的理解与记忆.

2019版：（1）观察生活图进而描述其结构特征，由特殊到一般总结出概念的外延与内涵，接着结合抽象立体图形给出概念的描述性定义（如空间几何体、轴、顶点等）.（2）通过与之前旧知识、旧概念的结合，对旧概念进行延伸，经过迁移与类比形成新的概念（如直棱柱、棱台、圆柱侧面的母线等）.（3）利用生活场景中蕴含的数学立体图形的知识，经由初中的相关知识扩充到高中新知，再让学生经历具体的作图过程，结合具体作图步骤形成概念，最后结合实际的作图例题加深学生对于概念的理解与应用（如斜二测画法）.（4）由例题导入，首先给出分析与解答的过程，其次给出特殊性及简单性的立体图求解的公式方法，然后递进思考非特殊及复杂的立体图与旧知识间的关系，最后结合新知例题形成概念公式，并进行归纳与整理.（5）基本事实概念由学生熟悉的生活常识给出，明确了数学与实际生活密不可分，也利于知识的理解和知识的迁移与应用，推论与相关重要定理则结合基本事实与思考类推来呈现，明确了知识间的贯串性.

新版教材在概念引入的方法、顺序及着重点上都有所不同，较旧版教材而言，新版教材偏向于先由思考和例题来引入，即先置疑，再解答，最后给出描述;旧版教材则多由观察和探究入手，即先现象，再描述，最后解答.从整体来看，新版教材更注重知识概念的衔接与联结，注意从学生已有的认知基础出发，层层递进，突出特殊到一般以及类比的数学思想.新版教材较旧版教材而言，在概念的引入上，其抽象图形的数量进行了部分删减，多以生活实景图引入，更注重数学知识与实际生活之间的联系.

（二）概念的陈述比较

新版教材较旧版教材的概念陈述方面最突出的区别是，新版教材用维恩图对概念间的关系进行了总结，用图示法更好地说明了各个概念之间的区别及联系，这种方法更加简洁且一目了然.此外，在概念的陈述方面，新版教材还注重概念知识的相互转化，如内涵与外延的细致变化，这能更有效地使学生在脑中构建本章的知识结构图，从而深化对概念知识的整体认识.

五、教材编排结构的比较分析

2007版：空间几何体章节分三层展开：一层分为直观图和三视图、结构、表面积与体积.二层分为：（1）球、柱、锥（结构）;（2）直观图三视图;（3）表面积、体积.三层：台（锥）.点、平面、直线间的位置关系章节按三层展开：一层为公理（1，2，3，4）.二层为平面、直线的位置关系.三层為面与面之间的位置关系，线与线之间的位置关系，线与面之间的位置关系.

2019版：空间几何体章节分四层展开：一层是现实生活中的物体.二层是平面、点、直线的位置关系及几何体（空间）.三层分为：空间几何体：（1）台、球、柱、锥的结构特征;（2）立体图形的直观图;（3）台、球、柱、锥的体积及表面积.直线、平面、点之间的位置关系：（1）线与面之间的位置关系;（2）面与面之间的位置关系;（3）平面的基本性质;（4）线与线之间的位置关系.四层分为：（1）平面、直线的垂直;（2）平面、直线的平行（线与面之间的位置关系）.

新版教材较旧版教材最大的区别在于垂直、平行（空间）关系之间的转化，新版教材增加了线面垂直到线线平行以及面面平行到线线平行的性质推导，凸显了立体几何知识的逻辑推理性、证明联结性.

六、新教材编排的突出特点

（一）注重培养学生获得知识的手段以及方法

要认识和探索空间图形，离不开推理论证、操作确认、度量计算以及直观感知的方法，也离不开通过具体的实物模型进行结构特征的辨认，从而细致刻画其图形性质.结合新课标提出的学业要求，新教材也注意到对学生独立查阅、独立论述、独立撰写提出相应的要求.

（二）注重与实际生活的联系，以及概念知识的迁移与类比

新教材在极大程度上考虑到学生的认知基础，兼顾了学生初中已学习的相关知识，从而能更好地将知识进行贯串，更加注重与实际生活的联系，由此加深了学生对知识的运用性理解.

（三）注重知识的关联性和基础性，兼顾互异性

新教材在旧教材的基础上对某些知识点进行了增减，并调整了部分知识点的位置，使得知识结构的整体逻辑顺序更符合学生认知结构的发展.新教材增加了直线与直线平行和垂直的论证，使知识按“线线→线面→面面”的顺序展开，更加有规律和系统，习题也按难易程度进行了题量分配，有利于学生对知识的整体建构.

（四）注重数学技能的培养和数学思维方式的渗透

新教材加深了学生对类比与化归、数形结合等思维的领悟，培养了学生抽象概括、空间想象以及逻辑推理的能力.

（五）重视立体几何初阶知识的本质

新教材在习题数量和难度上都分别多于和难于旧教材，总体上更倾向于促进学生对知识的转化和应用.新教材将旧教材中习题的层次划分进行重组，有利于学生对知识点的逐步深入，而且新教材中题型和结构的优化增强了学生解题的灵活性.