反例在初中数学教学中的有效性探讨

万亮兵

【摘要】反例教学是新课改背景下初中数学创新应用的授课方式，在培养学生的逻辑思维、帮助学生加强知识理解、锻炼学生的解题能力等方面均具有重要的影响意义.基于此，为了提高反例在初中数学教学中的有效性，笔者通过阐述在初中数学学科中應用反例教学容易出现的误区，从概念理解、思维锻炼、知识巩固、观察意识、辩证能力、挖掘问题等角度分析有效的教学策略，以供参考.

【关键词】初中数学;反例教学;数学思维

一、引言

数学学科作为初中教育的主要组成部分，知识点大多比较抽象，不易理解.如果教师能在教学过程中适当地引入反例，就可以通过这种“反差”对比，帮助学生更好地掌握数学知识.对于反例的理解，通常定义为某种证明符合题干的要求，却不属于正确结论.换言之，可以认为猜想不符合逻辑，存在谬误.反例的实际应用也比较灵活，教师既可以用来培养学生的某种能力，也可以用来调节课堂氛围.但想要体现反例教学的高效性，还需要教师根据具体情况来具体分析，及时规避教学误区，总结切实有效的授课方案.

二、反例在初中数学学科中的应用价值

与正面教学不同，反例教学是常规教学模式的一种补充，它可以为学生提供更为新颖的思考方式，在潜移默化中帮助学生养成勤思考的优秀学习习惯.大量的教学实践和教学研究表明，反例教学具有以下几点应用价值：

1.有利于激发学生的学习兴趣.反例教学迥异于中规中矩的授课形式，可以给学生带来眼前一亮的学习感受.对于大多数学生而言，通过反例来探究数学知识，这种学习思路充满了新鲜感和刺激感.这有助于调动学生的学习积极性，让学生对数学新知识产生强烈的探究欲望.

2.防止学生思维僵化.在传统例题教学的影响下，许多初中生出现了思维僵化的情况，在面对数学问题时，只能按照正向思维尝试解答.而应用反例教学，可以引导学生从多个角度进行思考，使其产生豁然开朗的学习感受;对培养学生多元化的思考习惯、提高学生学习效率均能起到重要的影响作用.

3.营造融洽的教学氛围.利用反例教学，可以拓展出更多的授课思路，帮助数学教师更好地控制课堂节奏，营造和谐的教学氛围，在保障课堂教学质量的同时，有效培养学生的数学综合素质.

三、教师在初中数学学科中应用反例教学容易出现的误区

（一）反例的应用欠缺目的性

数学教师在应用反例教学时，要体现出一定的目的性，即其旨在锻炼学生的思维能力，或是纠正学生某种不良的学习习惯.若反例使用不当，学生将很难进入深度学习的状态，不仅对知识点的理解依旧会停留在表面上，还容易被教师提出的反例误导，导致自己的数学思维步入误区.因此，教师应当避免这一教学误区，多选择课程的重难点来针对性地引入反例教学.这样可以合理、高效地利用好课堂教学时间，让反例成为数学教学中的点睛之笔.

（二）过分注重反例的应用

有些教师过分迷信反例的应用，在教学中十分依赖反例教学，无论理论讲解或是习题剖析，都习惯性地引入反例.虽然反例的教学优势比较明显，但并不是所有情况都适宜应用这种教学策略.若教师一味地“偏科”教学，很容易导致反例教学的“反客为主”，使得教学效率不升反降.因此，教师应当审时度势，合理穿插正例和反例的应用，尽量将反例使用在“刀尖”上，帮助学生更好地突破学习难关.

（三）应用反例时未重视学生的实际学情

对于反例的应用，案例的选择十分重要.由于学生的学习习惯、思考方式、理解能力存在一定的差异性，所以意味着教师很难通过“一刀切”的方式，让反例教学达到理想的教学成效.有些学生能很好地理解教师举出的反例，甚至能做到举一反三.但还有一些学生，对教师所讲的反例接受度不高，很难通过反例来总结学习心得.更有甚者，还会受到反例的不良影响，将一些错误的解题方法应用到解题之中.因此，如果教师没有在反例教学中重视学生的实际学情，反例教学很容易向弄巧成拙的方向发展.换言之，因人而异是反例教学的关键点，但许多教师很容易忽视这个教学要素，使得学生很难通过反例的启示来掌握科学的解题技巧.

（四）未能形成成熟的反例教学体系

关于反例教学，并不是单纯地在例题解析的过程中列举一些反例.数学教师在开展反例教学课程之前，必须要慎重思考，认真设计，规划好教学环节，才能取得良好的授课成效.但在教学实践过程中，部分数学教师未能形成成熟的反例教学体系，导致各个教学环节的衔接不够流畅，使得学生在学习反例时，很难把握住学习重点，总有一种突兀、不协调的学习感受.长此以往，很容易导致学生在解题时偏离方向的结果.同时，学生也难以通过反例教学的辅助，掌握数学题中蕴含的知识点和哲理.总而言之，教师想要保障反例教学的效率，必须先构建稳定的教学体系，在体系中合理融入反例元素，以提高学生的数学认知，促进学生思维的发散.

（五）反例教学比较急功近利

由于反例的思维方式与正面思考不同，初中生从接触到理解需要一定的接受过程.因此，数学教师适宜采用循序渐进的方式，遵循由浅至深、由易到难的教学原则，一步步拓展反例教学的深度.但在实际教学过程中，有些教师的反例教学过于急功近利，将教学过程与实践练习两个环节安排得过于紧凑，没有给学生留出讨论交流、内化吸收的时间.这也导致许多学生的认知水平还未跟上反例教学的深度，就要在解题中似是而非地进行训练.长此以往，不仅不利于学生解题思维的发展，还会对学生常规的做题习惯造成不良影响，彻底打乱学生的解题节奏，出现“邯郸学步”的学习情况.

四、教师在初中数学学科中合理展开反例教学的有效策略

（一）应用反例，加强概念理解

数学概念是教师应用反例教学的主要突破口，对于某些数学定理、基本法则、运算公式的理解和记忆，许多学生会习惯性地采用死记硬背的方式.而这种学习行为不仅效率低下，学习的质量也十分僵化.如果教师转变教学思维，适当地引入反例，就可以帮助学生触类旁通地思考数学概念，也可以帮助学生脱离机械式学习的困境，更为透彻地理解数学概念.

例如，有关人教版八年级数学上册第十二章“全等三角形”的教学，关于全等三角形的判定，其中一条判定原理为：两个三角形的两条对应边以及这两条对应边的夹角分别相等，则两个三角形满足全等的条件.有些学生向笔者询问为什么要规定为“夹角”，其他的角不可以吗？笔者随即引入反例，将定理改成“两条对应边以及其中一条对应边的对角相等”，再让学生尝试进行证明.学生在证明的过程中，发现一个锐角三角形与一个钝角三角形也符合这条改过后的判定定理，而锐角三角形和钝角三角形绝对不可能相互全等，这就证明反例不成立.以此作为铺垫，学生充分理解了为什么全等三角形中需要将夹角作为判定的条件.

（二）应用反例，锻炼数学思维

在新课程改革之前，数学教学对于学生思维能力的培养并不看重，学生理解数学知识主要依赖于教师的分析.在这种沉痼的教学方式下，学生的数学学习很容易向单一化的趋势发展.做题时只能采用教师讲授过的方法，不能进行个性化的创新思考，这对于学生未来的发展明显不利.数学教师可以应用反例教学，锻炼学生的数学思维，让学生对定理、公式、法则等知识点都能产生别出心裁的思考，从而理解得更为全面.

譬如，关于人教版九年级数学上册第二十一章“一元二次方程”的教学，笔者适当地引入了正例和反例，开展对比式课堂，让学生在比较学习的过程中拓展思维的深度.笔者在讲解完一元二次方程的解题应用，初步帮助学生掌握解题方法后，适时地引入思考题：为什么在判断ax2+bx+c=0是否存在实数根时，要先规定a≠0？并让学生尝试从正例和反例两个角度进行思考.学生在之前的学习中，了解到判定一元二次方程存在实数根的条件为b2-4ac≥0，所以，当a=0时，一元二次方程会转变成一元一次方程，则b2-4ac=b2，b2必定大于或等于0，而只有a≠0时，b2-4ac才有可能小于0.因此，通过正例和反例的对比，学生认识到了二次项系数是否为0的重要性，并使得其数学思维更加严谨.

（三）应用反例，巩固基础知识

在初中阶段，数学知识的理解难度又提升了数个台阶.在有限的课时内，教师要将大量的知识点印刻在学生的脑海中，这很容易造成学生数学根基的虚浮，知识点掌握得似是而非.因此，每经过一段时间的新知教学，教师都需要带领学生回顾旧知课程，并通过反例教学加以巩固，帮助学生加深知识记忆，防止出现张冠李戴的情况.

譬如，人教版七年级数学上册第三章“一元一次方程”的课程知识中对一元一次方程进行了准确的定义.其中有几个关键条件：（1）只有一个未知数;（2）未知数的最高次数为1;（3）方程为整式方程.为了帮助学生巩固学习成果，笔者举了一个反例让学生进行判断分析，即已知方程3x-2x=8，试问：这个方程是否属于一元一次方程？当学生看到只有一个未知数，且未知数并没有二次、三次等标记，就会误认为这个反例是正确的.此时，笔者再因势利导，标出“整式”这个重要条件，分析这个反例中未知数放在了分母上，属于分式项，不符合定义中关于整式的描述，所以是错误的.以此为例，学生不仅巩固了知识基础，对于“整式”也有了更深的理解.

（四）应用反例，培养观察意识

部分学生的数学成绩偏低，并不是因为思维愚钝，而是由于学生的观察意识不佳，不能敏锐地挖掘题目中的重要信息.尤其在解析几何题方面，学生应当养成仔细观察的审题习惯.初中阶段的习题相对来说十分灵活，在思维层面比较发散.教师若想减少学生的做题纰漏，可以通过反例教学来找出病根，帮助学生改正各种非正常的解题错误，有效端正学生的学习态度.

譬如，有关人教版七年级数学上册第四章“几何图形初步”的教学，笔者在讲授“直线、线段、射线”的知识时，在黑板上用一根固定长度的格尺分别画出直线、线段、射线，并对学生提出反例问题：这三种线的长度一样，是否正确？如果学生没有仔细审题，将三种线都误当作线段，自然会认为笔者的结论正确.相反，若学生细致地观察和思考，不难发现线段的长度是固定的，而直线和射线是无限长的，以格尺来绘制三种线，是笔者的一种思维干扰行为.因此，通过笔者的引导，学生在解题时更加注意题干中的细节，审题的仔细程度也有所提升.

（五）应用反例，提高辩证能力

对于学生的解题过程，辩证分析是至关重要的环节.证明题是初中数学习题中的一大特色，它需要学生打破常规，能灵活运用固定的数学定理.如果学生不能在证明题中做到这一点，数学解题能力将很难得到质的提升.因此，教师需要巧妙地应用反例教学，提高学生的辩证水平.

譬如，有关人教版八年级数学下册“勾股定理”的教学，笔者在为学生讲解完勾股定理中的数量关系以后，对学生提出反例思考：现在我们知道直角三角形的两条直角边a，b与斜边c满足a2+b2=c2，那么如果反过来，知道a2+b2=c2，是否能确定该三角形属于直角三角形呢？笔者通过反例教学，鼓励学生逆推勾股定理.这不仅帮助学生加深了知识理解，在面对直角三角形的问题时，学生也能有意识地向数量关系上思考，这充分提高了学生的辩证解题能力.

（六）应用反例，挖掘学习问题

初中生在学习数学时，经常会因为知识认知上的偏差而出现做错的情况.教师可以对学生常见的学习问题进行全面的挖掘与整理，完成最后的汇总，从中提取出学生普遍存在的共性问题或个性问题，在课堂上以反例教学的方式逐一加以讲解.此外，在完成讲解后，笔者鼓励学生建立错题集，将学习过的反例记录下来，定期复习回顾，总结自己在解题和理解时容易出现的逻辑思维问题，从而做到有则改之，无则加勉.

笔者通过长期的反例教学，帮助学生解决了许多学习理解方面的不足之处.下面几条反例命题均为学生错题集中频率较高的共性问题.比如：（1）有三條直线两两相交，其中一定会有三个交点.该命题错误，也可以只有一个交点.（2）若ab<0，则a>0，b<0.该命题错误，也可能是a<0，b>0.（3）任意三条线段都能组成三角形.该命题错误，必须要保证任意两条线段的长度和大于第三条线段.以此为例，在长时间的反例教学和错题积累中，学生的做题准确率明显提升，呈现出良好的趋势.

五、结束语

对于初中数学的实践教学，应用反例可以帮助学生扎实地记清概念，掌握科学的辩证思维能力，在计算训练和复习环节中也有不菲的教学价值.因此，初中教师深入探索反例的高效应用，对促进学生数学核心素养的成长大有裨益.笔者总结当前教育工作者对于反例方面的研究，虽然都表现了比较成熟的教学思路，但多以中规中矩的授课方式在课堂上引入反例，整个教学过程鲜少体现出趣味性.因此，如何让反例教学更加趣味盎然、引人入胜，也是笔者接下来需要重点研究的教学课题.

【参考文献】

[1]张海燕.巧用反例益处多：探讨初中数学教学中反例的有效运用[J].中国教师，2020（S01）：119.

[2]孙寿春.初中数学反例教学的应用策略研究[J].中学数学，2020（1）：77-78.

[3]王旺国.反例在初中数学教学中的运用[J].考试周刊，2020（3）：84-85.

[4]黄雪峰.巧用反例妙处多：初中数学教学中反例的运用[J].中学课程辅导（教师通讯），2019（21）：108.

[5]宋健飞.反例在初中数学教学中的运用[J].数学学习与研究，2019（15）：59.

[6]许加斌.初中数学教学中反例的运用[J].甘肃教育，2019（13）：171.