初中数学教学中培养学生逆向思维的有效策略

马新平

【摘要】逆向思维是创新思维的重要组成部分，能够帮助学生打破思维定式，使学生在解决问题时能寻求到更加新颖、独特的多样方式，有助于促进学生创新思维的发展.因此，初中数学教师必须顺应并创新教育理念，重视学生创新能力、创新意识和创新思维的发展.在教学中，教师要有意识地渗透并组织实施逆向思维训练，不断提高学生的数学思维能力、解题能力和创新能力，促进学生数学学科素养的发展.鉴于此，本文分析了初中数学教学中培养学生逆向思维的重要意义，并从概念与定义教学、公式与法则教学、定理教学以及解题教学四个方面入手，论述了培养学生逆向思维的有效策略.

【关键词】初中数学;逆向思维;解题教学;定理教学

一、逆向思维在促进学生数学思维能力发展方面的重要价值

逆向思维是从已成定论的观点反过来思考问题的一种思维方式.教师在初中数学教学中培养学生的逆向思维，对促进学生数学思维能力的发展有着重要意义，具体体现在以下三个方面.

（一）发展学生的数学思维品质

逆向思维是初中生必须具备的思维能力，教师在初中数学教学中渗透对学生逆向思维的培养，能够提高学生数学思维的深刻性、广阔性和批判性，提升学生的数学思维品质.从数学思维的深刻性来看，逆向思维能够引导学生深入思考和洞察问题的本质，找出本质属性的内在联系，从题目的隐含条件出发寻求找到最佳的解题方法;从数学思维的广阔性来看，逆向思维能够促使学生另辟蹊径处理问题，不再局限于单一的解题方式，让学生享受到便捷解题的成功感;从数学思维的批判性来看，逆向思维能够强化学生独立思考问题，运用所学知识对问题进行辨析与对比，提出不同于其他人的见解.

（二）丰富学生的数学思维方式

从当前的初中数学教学现状来看，大部分学生习惯于运用正向思维学习知识、解决数学问题，这就使得学生的学习方式单一、解题思维僵化，在遇到疑难问题时难以找到最便捷的解题方法.然而，教师在数学教学中培养学生的逆向思维，能够提高学生思维的活跃性和开放性，让学生打破常规的思维定式，从反方向来思考问题，拓展问题解决思路，使解题方法更具有灵活性，帮助学生掌握更多的解题策略，如反证法、逆推法、公式逆用法等，丰富学生的数学思维方式.

（三）增加学生数学思維的应用灵感

数学课程是初中生公认的学习难度较大的课程，许多学生都苦恼于复杂数学问题的解决，经常在详细学习数学知识概念后仍然无法将之灵活地运用于实践中，具体表现为多数学生在面对新题型时感到束手无策.这一问题的产生与学生数学应用思维的欠缺存在联系.初中生对数学的认知还停留在表层，即便积累了一定的数学知识，也无法顺利完成应用任务.逆向思维能力相当于为学生提供了看待问题的新视角，学生在逆推数学问题的过程中可以对问题的原理形成全新的认识，从而得到应用数学知识与思维的灵感，能够更加灵活地应对各类题型的变形，从而在解决问题的过程中准确地抓住重点.

二、初中数学教学中培养学生逆向思维的有效策略

初中数学课程中涉及的概念、定义、定理、法则、运算等教学内容都是开展逆向思维培养的重要材料，教师应在各个教学环节有意识地渗透逆向思维训练，促进学生逆向思维能力的发展.

（一）在概念、定义教学中培养逆向思维

新课程改革对初中数学课程的教学结构进行了调整，在规划教学目标时提出要巩固学生的基础能力，避免教师在教学中故意使用偏、难、怪的题目增加学生学习数学的难度.在此背景下，数学教师需要严谨地对待课堂教学，采用学生能够接受的方式进行逆向思维的培养，使学生在打牢基础的同时发展数学思维.数学是一门逻辑严密的学科，其中大部分定理都可以进行逆推验证.初中数学课程纳入的知识点较为基础，数学教师可以在讲解的过程中就加入逆向思维能力方面的引导，让学生尝试从正、反两个角度学习数学基础知识.由于初中数学中的部分概念、定义具有互逆性，教师可以采用正逆结合的教学策略对概念、定义进行讲解，使学生认识到概念、定义的互逆本质，深化对概念、定义的理解，从而减少概念、定义混淆情况的发生.

例如，在讲解“方程的解”的概念时，教师既要让学生从正向思维的角度理解“使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解”，又要引导学生从逆向思维的角度理解“方程的解就是使方程左、右两边的值相等的未知数的值”.又如，在讲解“一元二次方程”的定义后，教师可以设计以下习题：当a为何值时，方程（a-1）xa2+3a-2+4x-7=0为一元二次方程？教师可以引导学生逆向思考一元二次方程的定义，即方程需要满足“未知数的最高次数为2”的条件，从而得出a2+3a-2=2，求出a=-4.

（二）在公式、法则教学中培养逆向思维

作为自然科学的奠基石，数学学科具有高度的抽象性，该学科在总结自然规律的过程中将所有因素抽象为符号，并整理成可信的公式.在学习数学公式的过程中，学生不仅要分辨出数学公式中各个符号代表的含义，而且要掌握数学公式的变形与应用，学会在实际的问题中找出与数学公式对应的条件，完成相关的计算与验证.因此，在培养学生逆向思维的过程中，教师可以采取讲解数学公式、法则变形与应用的方法，让学生在循环往复的逻辑思考中提升逆向思维能力.具体来说，初中数学中的部分公式和法则都是用等号连接左右两边的式子，两边的式子属于等价关系.但是，大多数学生在记忆公式和法则时习惯于从左向右记忆，而不会从右向左推导，这就使得公式和法则的运用较为死板.为解决这一问题，教师要渗透逆向思维训练，让学生学会灵活运用公式和法则.

例如，在平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的教学中，教师要向学生讲解等式的本质，从左边式子到右边式子是多项式的乘法，从右边式子到左边式子是因式分解.在这之后，教师可以布置练习题训练学生的逆向思维：计算20162-20152=？学生利用平方差公式从右到左进行因式分解，能够快速求出答案，并且这种求解方式更为简便，属于简便算法.E9972EAF-DF16-4739-A4E4-1C9DCA4909E3

（三）在定理教学中培养逆向思维

在进入初中阶段的学习后，学生会发现数学课程与过去存在很大的区别，教材中收录的知识不再与生活情境存在显著的关系，而是对生活中客观规律的抽象总结.初中生在数学学习中很难立刻适应这种状况，于是在逆向思维训练中受到较大的阻碍.为了转变学生的惯性思维，使他们接纳全新的学习模式，数学教师应采取图文结合的方式增强学生对数学定理的理解，扫清学生思维上的障碍，从而培养学生的逆向思维.初中数学课程中涉及的诸多定理具有互逆性，如角平分线、中垂线的性质与判定定理，等腰三角形的判定定理，平行四边形的判定定理，等等.在面对这些定理时，数学教师可以结合图示进行讲解，让学生对定理的具体含义产生正确的认识.此外，教师还要在教学中采用正向讲解与逆向讲解相结合的策略，激活学生的逆向思维.

例如，在讲解“勾股定理”这一内容时，教师可以布置以下习题巩固学生对勾股定理逆定理的掌握：如图1所示，四边形ABCD中的AB=12，BC=4，CD=3，AD=13，∠BCD=90°，求四邊形ABCD的面积.在解题的过程中，学生根据已知条件可知四边形的一个角是直角，自然会想到运用勾股定理解题，连接BD形成Rt△BCD，计算出BD.然后，教师可以引导学生从勾股定理的逆定理出发，证明△ABD是直角三角形，计算出△ABD的面积，最后相加△ABD和△BCD的面积得出四边形ABCD的面积.

（四）在解题教学中培养逆向思维

初中数学解题训练是培养学生数学思维的有效策略.在解题教学中，教师要渗透反证法、反例法、分析法等逆向思维方法，帮助学生掌握更多的解题技巧，提高学生对逆向思维的灵活运用能力.

1.反证法的应用

思维能力的发展大多以“认知冲突”为基础，学生在解决一个又一个“认知冲突”后，可以获得思维方法的更新与思维能力的提升.在逆向思维的培养中，数学教师可以遵循逆向思维的应用原理，将“反证法”用于其中，让学生针对具体的问题追求反证途径.初中数学题中有很多习题很难从正面进行推导解题，增加了解题过程的复杂性.针对此类题型，教师要引导学生运用反证法进行解题，从命题中的某一结论或条件的相反面出发，论证与命题中的其他条件相矛盾，说明结论的正确性，进而将复杂的问题简化处理.

例题 已知三个方程x2+2x-2a+3=0，x2+（2a-1）x+a2=0，x2+（a-1）x+94=0中至少有一个方程有实根，计算a的取值范围.

分析 此题如果采用常规的正向思维进行解答，就需要考虑三种不同的情况，分别是一个方程有实根、两个方程有实根和三个方程都有实根，并且要再次对前两种情况进行分类讨论.为简化解题过程，教师可以引导学生以结论“至少有一个方程有实根”为思考点进行逆向推理论证，即三个方程都没有实根，进而简化解题过程，得出a≤14或a≥1.

通过在反证法中运用逆向思维，初中生完成了数学定理的正向理解与方向推导，对数学公式的严密程度产生了新的认识，从而在后续的学习中能够下意识地思考是否可以用反证法.

2.反例法的应用

数学学科的概念、公式除了限定条件十分清楚外，其证明方面也格外严谨，而在数学命题的讨论中，反例法的应用范围较广，是初中生学习数学时无法规避的手段.逆向思维作为一种充满批判性的思维，是应用反例法必不可少的一环.在初中数学解题中，对于证明命题为真的题型，学生需要给出严谨的证明过程，才能证明命题为真.在无证明推理过程的情况下，即便学生举出成百上千个例子，也无法证明命题成立.但是，要想证明命题不成立，学生只需要举出一个反例.因此，教师要指导学生善于应用反例法进行解题，培养学生的逆向思维能力.

例题 如果四边形中有一组对边相等，那么还需要添加什么条件，才能使它成为平行四边形？

分析 有的学生说：“添加‘这组对边平行的条件.”有的学生说：“添加‘另一组对边相等的条件.”还有的学生说：“添加‘一组对角相等的条件.”显然，前两名学生的说法是正确的.但是，对于后一名学生的说法不正确，用正向思维方式进行推导论证十分烦琐，教师可以引导学生采用反例法进行分析，举出一个反例推翻命题.在教师的指导下，学生举出用等腰三角形进行反证的方法，如图2所示，学生将等腰三角形沿着虚线剪开，旋转并拼接成四边形ABCD.虽然这一四边形的一组对边相等、一组对角相等，但不是平行四边形.

3.分析法的应用

在数学解题中，分析法是从结论出发，通过逐层解析明确使结论成立的充分条件，确保充分条件中有已知条件给出的已知量，再回溯解题思路证明结论的正确性.分析法是数学学习中极为常用的一种方法，初中生只有掌握足够的基础知识，并具备扎实的问题分析能力，才能在分析具体数学问题时做到面面俱到，而分析法的应用过程也是学生提升逆向思维能力的良好立足点.分析法的应用有助于培养学生的逆向思维能力，使学生逐步养成“想要证明什么，需要证明什么”的良好思维习惯，进一步明确解题思路.在分析法的教学中，教师需要一步步地引导学生进行思考，帮助学生掌握分析法的应用技巧.

例题 如图3所示，△ABD和△AEC是等边三角形，求证：BE=DC.

分析 大部分学生在看到这一数学题时会无从下手，因此，教师可以采用分析法帮助学生明确解题思路，具体引导过程如下，即教师提问：“要想证明BE与DC两条线段相等，需要先证明什么？”学生认为需要先证明三角形全等.教师接着问：“与BE和DC相关的三角形有哪些？这两条线段最有可能在哪两个全等三角形中呢？”学生列出三角形后，认为最有可能全等的三角形是△ABE和△ADC.教师继续追问：“要想证明你们说的两个三角形全等，需要满足什么条件？”学生回答：“AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC.”教师对学生的回答进行肯定和表扬.教师最后提问：“这三个条件在题中是否都是已知条件呢？”学生豁然开朗，从已知条件中得出了AB=AD，AE=AC，∠1=∠3=60°，通过已知条件证明了∠BAE=∠2+∠3，∠DAC=∠1+∠2，即△ABE和△ADC是全等三角形，BE与DC两条线段相等.

三、结语

综上所述，在初中数学教学中，教师要认识到逆向思维培养的重要性，将逆向思维培养贯串于新课教学与习题讲解的过程中，使学生学会运用逆向思维思考数学问题，扎实掌握数学概念、定义、定理、公式的本质，灵活运用所学知识解决数学问题，从而不断提高学生的数学思维能力，稳步提升学生的数学学习成绩.当学生具备逆向思维能力后，他们在面对复杂的数学问题时就不会再感到无从下手，而是能够灵活地调用所学知识对数学问题进行综合性的分析.

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