逻辑推理能力在高中数学中的培养策略与教学策略分析

杨晶凤

【摘要】在教授数学的过程中，传授基础知识和训练基本技能是基础，提高学生的数学素养是关键.数学教学过程是培养学生的数学思维能力，特别是培养逻辑思维能力的过程.如何才能提高逻辑推理的数学素养呢？我的回答是：首先要激发学生的学习热情，让学生真正喜欢逻辑推理;其次就是在教学的实际情境中让逻辑推理在最大限度上发挥它的能力效果，以便更好地完成高中数学教学的任务. 本文以高中数学教学“函数的基本性质”中的逻辑性为例，分析了如何发展学生的逻辑推理技能，以及提高逻辑思维能力的教育战略.

【关键词】逻辑推理;高中数学;教学策略

一、引言

逻辑严谨是数学所具有的一个特点.通俗地说，根据已知条件能够判断未知条件的这种思维形式就叫作逻辑推理.它主要分为两类：一类是从特殊到一般的推理，推理的形式主要是归纳和类比;另一类是从一般到特殊的推理，并且在很大程度上是推理形式的演绎.数学中逻辑推理能力是指正确使用思维定律和思维形式来分析和综合数学对象或数学问题的属性，并通过推理创造的能力.其中一项能力应该是能够完成学生所需的基础数学的能力.它对学生的素质要求是：通过对高中数学课程的研究，使学生掌握逻辑思维的基本形式，提高思维的逻辑性，引导学生有逻辑地思考问题;能够了解更复杂情况下的对象之间的联系，并了解发展对象的上下文联系;形成有力的论据、方法、品质，思维上要有逻辑性，要具备理性思维，并提高沟通技巧.逻辑推理素养有三个层次水平，学生从中必须达到能掌握一些基本命题和证明定理方法的能力，以及能用严谨的、准确的数学语言系统地表述论证过程的要求.

二、逻辑推理在高中数学中的教学策略分析

在数学中逻辑推理发挥的作用可以说是独一无二的，它是高中数学课程实施的主要途径.在人教A版高中数学必修一的第三章第二节中介绍了有关函数的基本性质，其中函数单调性的证明引入了逻辑推理的知识.以下是针对逻辑推理在“函数的基本性质”教学中提出的教学策略，让学生在研究函数单调性的同时发展逻辑思维，在考虑这类问题时，能够知道遵循解题的规则.

例题1 已知函数f（x）=ax+bx2+1是（-1，1）上的奇函数，且f12=25.

（1）求f（x）的解析式;

（2）判断f（x）的单调性，并加以证明;

（3）若实数t满足f（t-1）+f（t）>0，求t的取值范围.

教师先要引导学生分析题目中的已知条件和隐含条件，把这些条件都一一列出来，再分析每个小题需要用到有关函数的哪些基本性质以及与那些性质相对应的概念和命题.教师在演示解题步骤的同时，要着重强调逻辑推理的书写格式， 让学生有循序渐进的推理基础，并能在上一个步骤的条件下得出接下来需要用到的结论.

（1）分析：函数有两个未知数，除了已知条件，只要学生掌握奇函数的特点，就能轻而易举地找出题目中的另一个条件f（0）=0，从而利用待定系数法求出a，b的值.

解 （1）由已知得

f（0）=0，

f 12=25，

则

b=0，2a+4b5=25，

解得

a=1，b=0，

∴f（x）=xx2+1，x∈-1，1.

（2）分析：在第一问的基础上，根据函数单调性的定义判断并证明函数的单调性，需要驗证当x1f（x2）.根据实数大小关系的基本事实，只需要验证f（x1）-f（x2）与0的大小关系.这一类题目可以用演绎推理的方法来证明，但是要明确使用演绎推理这类方法的前提.演绎推理一般是“三段论”的模式，像“若bc，ab，则ac”这种类型的推理规则称为三段论推理.它分为三个部分：主要基础、次要原理和推断，俗称大前提、小前提和结论.这类题目还要明确三段论的一般步骤：（1）①bc;②ab;③得出结论ac.

（2）函数f（x）在-1，1上单调递增.

解 证明如下：任取x1，x2∈（-1，1），且x1>x2，

则

f（x1）-f（x2）

=x1x21+1-x2x22+1

=x1x22+1-x2x21+1x21+1x22+1

=x1x22-x21x2+x1-x2x21+1x22+1

=x1-x21-x1x2x21+1x22+1，

∵x1，x2∈-1，1，

∴1-x1x2>0，

又x1>x2，

∴f（x1）-f（x2）>0，

从而f（x1）>f（x2），

即函数f（x）在-1，1上单调递增.

（3）分析：在做这种题的时候，对函数的基本性质掌握不熟练的学生第一想法可能是将t-1和t直接代入方程来求解不等式，不能充分利用题目所给出的已知条件.这样解题就大大增加了运算难度，也间接反映出学生逻辑推理能力方面的弱点.此题可以充分利用函数的奇偶性与单调性，等价转化不等式，解不等式可得结论.

解 （3）f（t-1）+f（t）>0可化为f（t-1）>f（-t），

即-1-t，

解得012，

∴t的取值范围为12

例题2 已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f x1x2=f（x1）-f（x2），且当x>1时，f（x）<0.

（1）求f（1）的值;3BF5A383-A483-4BF2-A7C3-556E1C681769

（2）证明：f（x）为单调递减函数;

（3）若f（3）=-1，求f（x）在2，9上的最小值.

（1）分析：题目要求的是f（1）的值，所以可以让学生把等式f x1x2=f（x1）-f（x2）中x1x2看成一个整体1，也就是让x1=x2，由此可以求得f（1）的值.

解 （1）令x1=x2>0，代入f x1x2=f（x1）-f（x2）中可得

f（1）=f（x1）-f（x2）=0.

故f（1）=0.

（2）分析：根据函数单调性的定义判断并证明函数的单调性，需要验证当x1>x2时，f（x1）f（x2）.由题目中所给出的条件：当x>1时，f（x）<0，我们就可以令x1x2>1，然后再根据实数大小关系的基本事实，去验证f（x1）-f（x2）与0的大小关系.这一类题目和例题1中的（2）一样，可以用演绎推理的方法来证明，但是要明确使用演绎推理这类方法的前提.演绎推理一般是三段论的模式，像“若bc，ab，则ac”这种类型的推理规则称为三段论推理.它分为三个部分：主要基础、次要原理和推断，俗称大前提、小前提和结论.这类题目还要明确三段论的一般步骤：①bc;②ab;③得出结论ac.

证明 （2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1>x2，则x1x2>1，

由于当x>1时，f（x）<0.

所以f x1x2<0，即f（x1）-f（x2）<0.

因此f（x1）

所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数.

（3）分析： 根据第二问的结论，我们已经得出了函数的单调性，而且题目中已经明确给出了函数自变量的取值范围，所以我们就利用题目中已给的等式f x1x2=f（x1）-f（x2）和f（3）=-1来求最小值. 教师在教学过程中要进行适当的引导，但又不把具体的答案告诉学生，以此来吸引学生的兴趣，让学生学会充分运用已知条件进行逻辑推理，拓展学生的思维，培养其独立解决问题的能力.

解 （3）∵f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，

∴f（x）的最小值为f（9）.

∵f x1x2=f（x1）-f（x2），

∴f93=f（9）-f（3）.

∵f（3）=-1，

∴f（9）=-2.

f（x）在[2，9]上的最小值为-2.

从以上例子中我们知道：学生必须清楚逻辑推理的定义、结构、形式和要求. 数学的逻辑推理能力是考核学生数学水平的重要标志，也是数学教师必须重视的教学内容之一.因此，教师在教学过程中，主要从以下几个方面着重培养.

（1）激发学习兴趣，提升学习能力

一方面，在人格上，教师要与学生建立良好的师生关系，教学相长，共同进步，多与学生互动和交流，在发挥教师主导性的同时更要注重发挥学生的主观能动性，使学生体验学习的快乐，改变学习态度，进而激发学生的学习兴趣，提升学习能力.另一方面，在教学内容上，教师在教学中要学会抓重点、难点及关键点，抓住教学内容的主要矛盾，要做好预设与生成，要从学生已有的知识经验和现实生活出发，多从如何让学生提升兴趣的角度思考.

（2）抓住数学本质，学会举一反三

逻辑思维的培养是数学教育的重要方面.在本质上，我们可以将思维概括为分析和综合、推理和应用，在外在表现上就成了速度和效率.教师只有把重心放在培养学生的逻辑思维能力上，使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，以便更好地促進课程目标的实现.教师要加强对学生数学能力的培养，最重要的是对学生逻辑思维能力的培养和训练.

首先是对学生思维敏捷性的训练.对高中生来说，课堂是教师训练学生思维敏捷性的主要场所.因此，教师要把更多的时间给学生，合理安排课堂教学，采用灵活多变的教学手段，合理利用感知规律，加强直观教学的效果，从而训练学生的思维并提高课堂教学的效率.

其次是对学生思维概括性的训练.要想对学生进行思维概括性的训练，教师可以在课堂教学中多设置一些讨论交流环节.教师通过让学生表达自己的想法，让其分析和探索解决问题的各种方式，总结出解决这些问题的方法，进而训练学生思维的概括性.

再次是对学生逆向思维的训练.教师要引导学生学会思考面对已知过程以外的其他过程，培养学生反向看问题的习惯，善于思考事物反向的结果.在讲解题目时教师要尽可能做到呈现多种解题过程，举一反三，尽可能地拓展学生的思路.

最后是重视学生对问题的反思.通过对多名学生的访谈，我了解到许多学生在完成家庭作业或进行大量的问题解决的过程中，都严重缺乏问题反思的意识.学生在努力思考和解决一道数学题之后，教师必须引导学生认真思考以下问题：题目想考查的知识点是什么？将考查我们的命题和推论，知识和技能的哪些方面？所求答案是否正确？题目中规定的条件是否完全适用？这个问题还有别的解决办法吗？这个问题有没有其他的解决方案？在众多解决方案中，哪一个是最简单的？这种思考问题的过程就是反思过程.

在整个数学理论的形成过程中都需要运用逻辑推理.在高中数学的教学过程中，教师要抓住逻辑推理的特点，即教给学生概念、命题、原理和方法.如果我们无法理解理论的本质，就无法理解如何将概念应用于具有理性的概念中去验证结论.数学教学的重中之重是概念、原理和方法的教学.学生只要掌握了逻辑推理的基本方法，使用逻辑思维工具来进一步理解新事物和解决新问题就容易多了.要想使分析、判断、推理之类的思考活动顺利进行，前提是必须掌握数学概念、原理和方法.

三、逻辑推理能力在高中数学中的培养策略分析3BF5A383-A483-4BF2-A7C3-556E1C681769

学生逻辑推理方法的掌握，解决问题能力的提高，都要具备以下几个方面的能力：

（1）能够深刻理解和灵活地使用基本知识的能力.大量的知识积累是我们顺利掌握逻辑推理方法的垫脚石.因此我们要做好充足的理论准备，掌握了理论知识，方法自然而然地就会运用了.

（2）发散思维.逻辑思维本身就具有很强的扩展性和灵活性，可以说它和发散思维是密切相关的，思维发散的人的逻辑性肯定是比思维不发散的人的逻辑性要强，因为思维发散的人的知识储备量大，基础知识更加牢固，知识运用起来更加得心应手，可以从多方面进行思维活动.当然这并不意味着知识越丰富，思维就越发散，往往还需要具备从多角度考虑问题的思想和能力，把所有可能的结果都想一遍，充分理解各事物之间的联系.

（3）表达能力.这里的表达能力不仅包括语言表达能力，还包括书面表达能力.学生不仅能把自己心里想的用清晰的语言表达出来，还能准确无误地在纸上写出来.学生在进行书面表达时，要掌握命题的规律和逻辑语言符号的运用.因此，表达能力的培养对于逻辑推理能力的形成是极其关键的.

（4）图形识别能力.我们将图形与数字相结合，提出数字形式的连接思想，使学生在图形中找到必要的条件，并根据条件画出所需要的图形.虽然在这篇文章中没有提到关于几何图形的例子，但是它与几何图形还是有很大的联系的.几何图形中包含许多的推理知识，对图形是否有着深刻的认识，直接影响到问题的解决.所以，在对学生进行逻辑推理能力的培养时，我们自始至终都不要忽略对学生的图形识别能力的培养.

[BT1]四、结束语

任何事物都是有规律的，逻辑推理也不例外.教师应该总结一些规律、技巧和方法，让学生理解并掌握这些规律、技巧和方法，以便学生能够顺利地解题，这样学生在做这一类题目的时候就不会因为没有头绪而产生恐惧心理.数学结论的过程教学并不重要，重要的是数学思维的过程.例如，教学生如何进行数学思维，特别是逻辑思维.从古代的“学以思为贵”到笛卡儿的“我思故我在”可以看出，思维能力的培养是学习过程的重中之重.学生的能力需要教师别出心裁地培育和训练，在当今社会，教师不僅能够传播知识，还要能挖掘学生潜能，培育学生的智慧.学生的逻辑思维能力与教师的启发诱导能力是成正比的.教师越会启发，学生的自我控制力、自我学习能力和自立能力就越强，这对学生以后的发展会更有帮助.

在平时的教学中，经过较长时间的训练和巩固，教师一定要让学生搞清楚题设与结论及它们之间的关系;正确进行推理的书写，明确推理的方法.培养学生的逻辑推理能力不是一天两天的事，需要教师和学生长期共同努力，要让学生养成多观察、勤动脑、多动手的习惯，要培养学生对逻辑的兴趣、对推理的兴趣，及时调整学生的学习策略，要帮助学生总结学习方法，要加强与学生的交流沟通.教师引导学生掌握了这些策略，也就进一步培养了学生的推理能力.

【参考文献】

[1]孙慧芳. 基于逻辑推理素养的高中数学课堂教学策略研究[J]. 现代商贸工业，2019，40（36）：175-176.

[2]孙玉娟. 高中数学教学中学生逻辑推理素养培养探析：以《二倍角的正弦、余弦、正切公式》一课为例[J]. 延边教育学院学报，2019，33（4）：146-148.

[3]陈平. 数学核心素养之逻辑推理在高中课堂中的应用实例分析[J]. 延边教育学院学报，2019，33（2）：132-134.

[4]张莺. 浅谈如何提升学生的数学逻辑推理能力[J]. 延边教育学院学报，2018，32（1）：102-104.

[5]胡学平，李院德. 逻辑推理核心素养的内涵与培养[J]. 教师教育论坛，2018，31（8）：74-76.

[6]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[7]缑艳，邓国军. 逻辑推理素养培养视角下的高中数学课堂教学策略分析[J]. 新智慧，2021（17）：89-90.

[8]沈静蕾. 高中生逻辑推理素养的现状及其发展策略研究[D].宁波：宁波大学，2019.

[9]赵丽君. 高中生数学逻辑推理能力的调查研究[D].曲阜：曲阜师范大学，2020.3BF5A383-A483-4BF2-A7C3-556E1C681769