数形结合思想在高中数学中的应用
2022-06-07张鑫
张鑫
【摘要】数学是研究空间形式和数量关系的科学，数与形看似是两个部分的内容，实际上在数学中有着十分密切的联系.在高中数学的学习中，数形结合思想有助于学生理解数学内容;在高中数学的解题中，很多时候将数与形结合，可以简化解题过程，开拓学生思路.可见，数形结合思想是十分重要的.本文将简单阐述数形结合思想的实质和重要作用，然后举例说明数形结合思想在高中数学中的应用.
【关键词】数与形;数形结合思想;应用
一、数形结合思想的实质
数形结合思想方法的实质是指将抽象的数学语言和直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来.通过对图形的处理发挥直观对抽象的支柱作用，通过对数与式的转换，图形的特征及几何关系被刻画得更加精细和准确，这样就可以使抽象概念和具体形象相互联系、相互补充、相互转化.
二、数形结合思想在高中数学中的重要作用
（一）帮助学生理解新知识
在代数课堂的导入中，如果教师用教具或是多媒体展示出一个动态的教学案例，会引起学生兴趣、激发学生学习的欲望，可以顺其自然地引入一堂课.在高中数学教学中，对于很多知识点，教师直接讲解可能不会让学生理解到关键，甚至难以记住，而借助图形直观地向学生展示知识点的推理过程，可以促进学生理解知识，加深学生的印象.比如，教师在讲余弦定理的时候，可以用平面上的三角形通過向量法进行证明，让学生对余弦定理的记忆有一个几何层面的理解，这样会开阔学生的思维.几何直观与代数运算之间的融合，会让学生感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解.
（二）为学生解题提供新思路
数学内容本身具有普遍联系的特点，所以在数学解题中，为了解题方便，代数问题可以转化为几何问题来解决，几何问题可以转化为代数问题来解决.很多时候代数问题直接推导求解会很麻烦，如果可以用几何图形进行解决，那么代数问题会解决得更加容易.比如，在求一元二次不等式的解集时，我们可以画出对应的二次函数的图像，观察图像与横轴交点情况，图像在横轴上方时，不等式大于零，图像在横轴下方时，不等式小于零.
（三）促进学生思维的发展
对于数学中较难理解的概念或者定理，教师若分别从数与形这两个角度阐述，则可以使学生对这部分知识的理解更为深刻、具体，从而丰富学生头脑中的认知结构.代数主要运用的是抽象思维，几何主要运用的是形象思维，而数形结合思想则要求学生的思维在抽象思维与形象思维之间转换，这一定会促进学生数学思维的发展，并且这种相互转换的方法也会使学生在生活中受益.在数形转换的过程中，学生会从一个目标出发，沿着不同的途径去思考，探求多种答案，这可以发展学生的发散思维.
（四）发展学生数学能力和数学核心素养
数形相辅，借助几何图形来帮助学生理解较难理解的数、数量关系，可以最大限度地促进学生数学逻辑思维的发展.这个过程要求学生能将表达空间形状、大小、位置关系的数学语言与具体的实际特征结合起来，提高学生的快速匹配认知能力与空间想象能力.在数形转换这个过程中，数形结合思想有助于发展学生的逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.
三、数形结合思想在高中数学中的应用
（一）数形结合思想在函数中的应用
数形结合思想在函数中的应用有很多：通过数形结合思想求函数最值问题、通过导数图像的正负画出原函数图像的单调性、结合一元二次函数的图像可以判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数.下面举一个分段函数求最值的问题，通过画函数图像可以直观地解决问题.
例1 设函数f（x）=x3-3x，x≤a，-2x，x>a.
（1）若a=0，则f（x）的最大值为;
（2）若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是.
分析 这是一个分段函数，题目中分段函数的分界点并没有明确给出，首先不看两个问题，直接将f（x）两段在R上的图像画出来.先画出三次函数的图像，为了画出三次函数图像，要研究三次函数的导数图像.假设y=x3-3x，那么它的导数y′=3x2-3，导数图像如图1.这样便由导数的正负知道了三次函数的单调性，由此可以画出三次函数在R上的图像，如图2.然后看另一个函数y=-2x，很明显这是一个一次函数，图像为单调递减、过（0，0）点的一条直线.将三次函数和一次函数这两个函数的图像放在一个直角坐标系里，如图3.
解 （1）当x≤0时，此函数为三次函数;当x>0时，此函数为一次函数.由图3可知，函数最大值在x=-1处取得，函数值为2.
（2）如果a<-1，结合图3，最大值正常在一次函数上取，由于一次函数定义域是x>a，所以在一次函数上取不到最大值，满足题意.如果a≥-1，根据图3可知函数在x=-1时取到最大值，不符合题意. 所以实数a的取值范围是a<-1.
（二）数形结合思想在集合中的应用
在集合的学习中，要求学生能够理解韦恩图所表示的集合，能够说出集合间的基本关系.不等式的解集通常可以用数轴表示出来，将表示不等式的集合在数轴上画出来，可以清晰地看出表示不等式的集合之间的关系.在这部分知识的学习中，需要用到数形结合思想.
例2 正确表示图中阴影部分的是（ ）.
分析 本题要求学生用代数语言表示几何图形所呈现出的信息，阴影部分是在整个长方形中除去两个椭圆，这两个椭圆有公共部分，那么根据集合的并集和补集的定义即可求出答案.本题通过几何与代数的结合考查了学生对集合基本运算的掌握程度.
解 用集合语言表示就是在全集U中扣除集合A和集合B的并集，即C选项的
例3 设集合A={x|1 分析 通过画数轴可以直观地看出，要使AB，那么a必须是大于2的数.然后考虑当a=2时的情况，由图可得当a=2时，B={x|x<2}，刚好满足AB. 解 由数轴可知，a的取值范围是a≥2. （三）数形结合思想在证明基本不等式时的应用 不等式是高中数学的一个重要的代数内容，基本不等式a+b2≥ab（a>0，b>0）的证明方法有很多，比如，用代数证明： 要证 ab≤a+b2，① 只要证 2ab≤a+b.② 要证②，只要证 2ab-a-b≤0.③ 要证③，只要证 -a-b2≤0.④ 要证④，只要证 a-b2≥0.⑤ 显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立.以上的过程倒过来就是基本不等式的代数证明方法. 这样的证明方法简单易理解，但是如果和几何图形联系起来证明，可以更加开阔学生的思维，发展学生直观想象和逻辑推理的数学学科核心素养.下面是基本不等式的几何证明方法. 如图6，AB是半圆O的直径，OC为半径，F为直径AB上的任意一点，令AF=a，BF=b，作EF⊥AB交半圆弧AB于点E，那么半圆半径OC=a+b2.由于EF⊥AB，所以∠1+∠2=90°.由于点E为半圆弧上的点，所以AE⊥BE，即∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3，即△AEF∽△EBF.那么有aEF=EFb，即EF=ab. 连接OE，在Rt△OEF中，斜边OE大于直角边EF，所以有半径OC>EF，即a+b2>ab;当a=b时，Rt△OEF的斜边OE等于直角边EF，此时三角形变成一条线段，所以有OE=EF，即a+b2=ab. 于是a+b2≥ab（等号成立条件：a=b）得证. （四）数形结合思想在立体几何中的应用 在学习证明空间中直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系以及二面角的余弦值等问题时，可以根据题目情况建立一个空间直角坐标系，把所研究的立体图形放在空间直角坐标系里，标出所需要的点的坐标，计算空间向量、方向向量等，把立体几何问题转化为代数的运算问题进行研究，有助于培养学生的问题解决能力. 例4 如图7，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. （1）求证：O1O⊥底面ABCD; （2）若∠CBA=60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值. 证明 （1）因为四边形ACC1A1是矩形，所以CC1⊥AC，同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD，而AC∩BD=O， 因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知O1O∥CC1，故O1O⊥底面ABCD. 解 （2）因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等， 所以四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD. 又O1O⊥底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直. 如图8，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz. 不妨设AB=2，因为∠CBA=60°，所以OB=3，OC=1. 于是相關各点的坐标为O（0，0，0），B1（3，0，2），C1（0，1，2）. 易知n1=（0，1，0）是平面BDD1B1的一个法向量. 设n2=（x，y，z）是平面OB1C1的法向量，则n2·OB1=0， n2·OC1=0，即3x+2z=0，y+2z=0. 取z=-3，则x=2，y=23，所以n2=（2，23，-3）. 设二面角C1-OB1-D的大小为θ，易知θ是锐角， 于是cos θ=cos 〈n1·n2〉=n1·n2n1n2=2319=25719. 故二面角C1-OB1-D的余弦值为25719. （五）数形结合思想在杨辉三角中的应用 杨辉是我国古代著名数学家，1261年杨辉所著的《详解九章算法》中提出了由一组罗列的数组成的三角形，我们把它称为杨辉三角.计数原理是高中数学重要的内容，这一章中的排列与组合和二项式定理与杨辉三角有着密不可分的联系. （a+b）n的二项式系数为Ckn（k=0，1，2，…，n），根据图9可以发现，杨辉三角的第n行的第r个数可以表示为Cr-1n，第n行就是（a+b）n的展开式的二项式系数.而且二项式系数的对称性、增减性、最大值等性质在杨辉三角的性质中都有体现. 观察杨辉三角的规律可以发现，相邻的两行里除了最外边的数，其余的数都等于它肩上的两个数相加.也就是Crn=Cr-1n-1+Crn-1，根据组合数的性质，可以证明此式. 可见，杨辉三角的性质与二项式系数和组合数的性质有很多共同之处.这就是数学知识具有普遍联系的体现，数形结合思想在此得到了完美的应用.在研究数学问题时，我们可以多角度出发，从不同方面研究问题. （六）数形结合思想在方程与不等式中的应用 在初中阶段，我们可以从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式.在高中阶段，我们同样可以借助二次函数来理解一元二次方程和一元二次不等式，通过函数图像的交点情况来理解三者之间的关系. 例5 解不等式x2-12x+20<0. 分析 要想解x2-12x+20<0这个不等式，可以先观察一元二次不等式x2-12x+20<0与二次函数y=x2-12x+20之间的关系.6431836A-566A-4583-9308-6E90413E5E21 如图10，在平面直角坐标系中画出y=x2-12x+20的函数图像，函数图像与x轴有两个交点，这两个交点的横坐标就是方程x2-12x+20=0的两个实数根，即x1=2，x2=10，所以二次函数y=x2-12x+20的图像与x轴的两个交点是（2，0）和（10，0）.实际上，x1=2，x2=10就是二次函数y=x2-12x+20的两个零点. 根据函数图像可以看出，二次函数y=x2-12x+20的零点将x轴分成三段.当2 解 根据函数图像可知，一元二次不等式x2-12x+20<0的解集是{x2 中学数学的思想方法有很多，数形结合思想是比较常见的一种思想.实际上，在中小学阶段，学生就已经接触到了这种思想.比如，在小学阶段，我们解决工程中的单位“1”问题时，通常是画一条线段，根据题意把线段分成若干份，进而更直观地解决较难理解的代数运算问题;在初中阶段，数形结合思想体现得更为直观，比如动点问题，我们需要结合图形中的情景进行逻辑推理与数学运算.总之，数形结合思想贯串学生数学学习的整个过程.本文简要介绍了数形结合思想在高中数学中的应用.在高中数学的内容中，本文概述了函数、集合、基本不等式、立体几何、杨辉三角和方程与不等式中体现出来的数形结合思想.除此之外，向量的三角形法则与平行四边形法则用来计算向量的和与差，圆锥曲线中可以用方程的方法来描述某一点的轨迹，线性规划通过函数图像画出可行域来求最值，数列的取值情况也可借助函数图像来考虑，导数的几何意义用切线的斜率表示，概率与统计中的几何概型等，都体现了数形结合思想.这说明数学中的各个板块之间的联系需要在学习中深入研究，感悟其中蕴含的数学思想，领悟其中的解题方法.数学来源于生活，数学中解决问题可以从多个角度考虑，生活中的问题也是如此，思考问题时不能具有思维定式，要具有发散思维，要有创新意识. 【参考文献】 [1]张连生.星推荐一本涂书（初中数学）[M].天津：天津人民出版社，2017. [2]程晓亮，刘影.数学教学论：第2版[M].北京：北京大学出版社，2013. [3]張茜. 高中数学中的数形结合思想研究[D].哈尔滨：哈尔滨师范大学，2019. [4]宋佳玮. 数形结合思想在高中数学解题中的应用探讨[D].唐山：河北省唐山市第一中学高二18班， 2018. [5]袁爽，顾洪敏，刘金英. “二次函数y=ax2的图像”（第1课时）教学设计与点评[J].中国数学教育（初中版），2012（5）：20-24. [6]孙义荣. 浅谈数形结合思想在春季高考数学复习中的作用[J].新校园（下）， 2017（8）：59.6431836A-566A-4583-9308-6E90413E5E21
